「緩関手、反緩関手、強関手、厳密関手とか、おぼえられねー」で、モノイド圏とモノイド関手の定義を述べたりしました。その動機は、ジョイアルとストリート（Joyal, Street）による（僕には）不思議な感じの定義と定理を理解したいと思ったからです。
通常、集合ベースの構造を圏のなかで考えると、より複雑な構造が得られます。例えば、ベクトル空間の圏のなかでモノイドを考えると、これは代数（僕は古い用語「多元環」を使うことが多いですが）となります。代数は、前もって足し算とスカラー乗法を持ってますから単なるモノイドよりは複雑と言えます。圏の圏における圏対象は二重圏です。二重圏も単なる圏よりは複雑です。
ところが、群の圏のなかで群対象を考えると、実質的に可換群になってしまいます。複雑にならないで、かえって簡単な構造になってしまうのです。これは、群ではなくてモノイドでも成立することで、モノイドの圏のなかでモノイド対象を考えると可換モノイドになります。このことは、「序数、基数、モノイド圏とエックマン／ヒルトン論法」で述べました。
さて、ジョイアル／ストリートの結果は、モノイド圏の圏で単位律を満たす二項演算系を考えると、それはブレイド付きモノイド圏になる、というものです。ジョイアル／ストリートは、モノイド圏を台とする二項演算（binary operation）をアッサリと乗法（multiplication）と呼んでいます。
不思議なことに、ジョイアル／ストリートの乗法は結合的な演算ではありません。要求しているのは左右の単位律だけです。単位だけがあって結合性がない演算というのは、あまりみかけません。役に立つとも思えません。しかし、モノイド圏の圏のなかで単位律だけを満たす演算を考えると、それがモノイド圏のブレイディングを定義するのです。
ベースとなる圏が固い構造を持つとき、そのなかで高階・高次の構造を作ってみても、あまり自由度がないので単純なものしか出てこない、というようなことでしょうか？ ウーン、よくわかんない。不思議だなー。
