デイヴィッド・スピヴァックは、データベースを関手圏を使って定式化しました。それで僕は、「関手圏って役に立つんだなー」と思ったわけですが、改めて見渡してみれば、そこいらじゅう関手圏だらけですがね。
内容：
群が作用する集合、あるいは群の表現
G = (G, e, ・) が群のとき、Gが作用する集合AをG-集合と呼びます。作用とは、α:A×G→A という写像で、単位律 α(a, e) = a と結合律 α(α(a, x), y) = α(a, x・y) が成立するものです。左右を入れ替えた G×A→A を考える場合もありますが、本質的な違いはありません。Aがなんらかの意味で幾何的な集合のときは、G-集合をG-空間とも呼びます。
αをカリー化して、α' = λx∈G.(λa∈A.α(a, x)) を考えると、α'は、GからAuto(A)への写像になります。ここでAuto(A)とは、f:A→A という写像で可逆（同型写像、全単射）なもの全体からなる集合です。Auto(A)は写像の結合（合成）を演算として群になります。ですから、α':G→Auto(A) は、与えられた群Gを、集合A上の写像達により表現することになっています。
Auto(A)の要素は集合Aの置換とも呼ばれるので、α':G→Auto(A) は群Gの置換表現ってやつですね。集合Aの代わりにベクトル空間Vを使って、写像も線形写像に限ると、Auto(V) は可逆な線形写像からなる群となり、G→Auto(V) は群の線形表現です。Vに基底を入れて行列を考えるなら、可逆正方行列によって群を表現することになります。
モノイドが作用する集合、あるいは加群
群は逆元を要求するので、コンピュータの計算現象にはなかなか適用できません。逆元の条件をはずしたモノイドなら、計算の文脈でも頻繁に登場します。
群のときと同様に、M = (M, e, ・) がモノイドのとき、Mが作用する集合AをM-集合と呼びます。作用の定義は群のときと同じです。作用αをカリー化して、α' = λx∈M.(λa∈A.α(a, x)) を考えると、α'は、GからEnd(A)への写像になります。End(A)は、f:A→A という写像です。可逆性は要求しません。End(A)は写像の結合（合成）を演算としてモノイドになります。α':M→End(A) は、モノイドMの写像表現ですね。Aを状態空間と考えれば、Mが状態遷移を与えます。特に、MがアルファベットΣから生成された自由モノイドのとき、Σ*-集合とはオートマトンのことです。
モノイドMとM-集合の概念を、そっくりベクトル空間の圏に移しましょう。同じ記号Mを使いますが、Mはベクトル空間です。モノイド乗法mは、m:M(×)M→M という線形写像です。(×)はテンソル積です。なので、mはM上の双線型写像と考えられます。他に単位元 e∈M があって、単位律と結合律が成立するので、結局、M = (M, e, m) は、多元環（必ずしも可換とは限らない代数）です。ベクトル空間Aに多元環Mが作用するとは、Mによる右（左も可）スカラー乗法が定義されていることなので、AはM上の加群となります。
集合圏におけるモノイドMに対するM-集合を、ベクトル空間の圏で考えると多元環M上の加群となります。背景となる圏が違うだけなので、僕は、M-集合とM-加群をあまり区別しないで使っています。状態遷移系やオートマトン*1のことも加群と呼んでもいいような気もします（違和感を持つ人もいるでしょうが）。
圏が作用する集合、一般化加群
モノイドMは圏の特別な場合でした。対象がただ1つの圏がモノイドなのです。M-集合（Mの表現）とは、圏とみなしたMから集合圏Setへの関手 F:M→Set です。|M| = {0} として、F(0) = A と置きます。x∈Mは、x:0→0 という射ですから F(x):F(0)→F(0)、つまり、F(x):A→A、さらに F(x)∈End(A) となります。逆に、特定の集合Aと M→End(A) というモノイド準同型写像を与えれば関手が確定します。
M-集合が関手のことだと分かったので、Cが圏のとき、関手 F:C→Set をC-集合、または圏Cの表現と呼んでもいいでしょう。Cの対象は1つとは限らないので、X∈|C| ごとに集合 F(X) が決まります。スピヴァックの関手データモデルなら、Cはデータベーススキーマで、C-集合はデータベースインスタンスです。集合圏の代わりにベクトル空間の圏を採用すれば、圏Cの線形表現となります。特に、Cが順序集合や有向グラフのときは箙＜えびら＞（quiver）の表現として知られているようです。
ホムセットに足し算が定義された圏（Ab-豊饒圏）Cを考えましょう。対象が1つだけなら、圏の結合を掛け算と考えて、Cは多元環となります。多元環の表現と多元環上の加群は同じことで、足し算を保存する関手 F:C→Ab となります。圏の対象がイッパイあるときも、足し算を保存する関手 F:C→Ab を、表現または加群と考えてよいでしょう。
今までの話から、圏Cから出る関手 C→Set、C→Vect、C→Ab などは、表現または加群の概念の一般化だとみなせます。したがって、関手圏 [C, Set]、[C, Vect]、[C, Ab] などは、圏Cの表現の圏またはC上の加群の圏となります。特別な場合として、群／モノイドの表現、オートマトン、データベースインスタンス、箙の線形表現、多元環上の加群などがあります。
参考エントリー：
前層、インデックス付き圏、導来子
圏Cに対して、関手圏 [Cop, Set] は、C上の前層の圏と呼ばれます。個々の関手が前層です。習慣上、反変関手を前層と呼びますが、矢印の向きだけの問題なので、前層の圏とは要するに関手圏のことです。
おそらく歴史的には、空間X上の開集合の包含順序から作られたやせた圏をCとしたケースが前層（や層）の起源でしょう。しかしスピヴァックは、Cとしてデータベーススキーマ（テーブルとカラムの仕様）を使って関手データモデルを構成しました。集合圏の代わりにモナドのクライスリ圏Kを使った [C, K] の例も色々と出しています（Kleisli Database Instances）。
単一のデータベーススキーマだけではなくて、考える範囲のデータベーススキーマの全体をSchとすると、S∈|Sch| に対する S|→[S, Set] はSch上で定義された関手 DB:Sch→CAT に拡張できます。DB(S) = [S, Set] がS上のでデータベースインスタンスからなる圏です。
DB:Sch→CAT は、Schをベース圏（インデキシング圏）とするインデックス付き圏となります。Sch を指標圏とみなしたインスティチューションの構造が入ります（「一般関手モデル：インスティチューションとの関係」参照）。また、DB:Sch→CAT は、導来子（derivator）とみなせそうです（グロタンディークの導来子の条件を多少弱める必要があるかも知れませんが）。
と、なにやら関手圏がやたらに出てきます。関手圏て、現象を記述する基本的な言葉なのかもなー、と思ったりします。
