ホム関手が指数とみなされる理由

Cが圏であり、A, Bは圏Cの対象とします。AからBへの射の全体は C(A, B) と書かれ、ホムセット（ホム集合）と呼ばれます。Hom_C(A, B) という書き方もあります（昔はこの記法が主流だった）。Cが了解されているなら、単に Hom(A, B) とも書きます。

いまは詳しく説明する気はないのですが、対象だけじゃなくて射に関しても、Hom(f, B) とか Hom(f, g) とかの書き方が合理化されます。結果的に、Hom(-, -) は、C^op×C→Set という関手になるので、Hom(-, -) はホム関手となります。

ホム関手は指数関数の類似物とみなされます。指数関数とは、b^a の形で、二変数関数として扱うことも、aかbのどちらか一方を固定した一変数関数とみなすこともあります。aを固定した λx.x^a は、指数関数というよりベキ（漢字で書くと冪）関数ですが、ここでは、「指数、ベキ（冪）、累乗」をうるさく区別しないことにします。

さて、集合圏のなかで考えることにして、0は空集合、1は単元集合（例えば 1 = {0}）とします。プラス記号は集合の直和、掛け算記号は集合の直積、イコール記号は集合の同型を意味するとして、次の等式が成立するのは分かるでしょう。

1. Hom(A + B, C) = Hom(A, C)×Hom(B, C)
2. Hom(A, B×C) = Hom(A, B)×Hom(A, C)
3. Hom(0, A) = 1
4. Hom(1, A) = A
5. Hom(A, 0) = 0 （ただし、A≠0）
6. Hom(A, 1) = 1
7. Hom(0, 0) = 1

これらは、指数に関する次の等式に対応してます。

1. c^{a + b} = c^a×c^b
2. (b×c)^a = b^a×c^a
3. a⁰ = 1
4. a¹ = a
5. 0^a = 0 （ただし、a≠0）
6. 1^a = 1
7. 0⁰ = 1

書き方は随分違いますが、内容的には同じでしょ。

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[追記]次の記事にもっと基本的なことが書いてあります。

• なんでソコに、足し算、掛け算、累乗の記号を使うのですか？

似た話題：

• 圏の指数を表す記号法
• 指数法則に類似のセクション公式

[/追記]
[さらに追記]
一般論は、

• 指数関手と構文論・意味論

[/さらに追記]