ファンタジー： (-1)次元の圏と論理

しばらくブログを更新してなくて「死んでるんじゃないか？」と思われているので、なんか書きます。

クリスマスらしく(?)、詩的（ポエティック）な話をします。「詩的」を悪い意味にとれば、曖昧でハッキリしない話となります。良い意味にとれば、楽しいファンタジーが含まれる、ってことです。

内容：

The Power of Negative Thinking （by バエズ）

随分と前（2006年）ですが、ジョン・バエズ（John Baez）が"The Power of Negative Thinking"の話をしてました。ネガティブシンキングは、ポジティブシンキングにあやかったんだか皮肉ったんだか？ いずれにしても、「ネガティブに考えるといいよ」って話で、次の講義録の第2章のタイトルです。

• Title: Lectures on n-Categories and Cohomology
• Authors: John Baez (Talk), Michael Shulman (Note)
• Pages: 66p
• URL: https://arxiv.org/abs/math/0608420

バエズの言うネガティブシンキングは、正の次元だけではなくて“負の次元も考える”ということです。(-1)次元、(-2)次元とかです。この記事では、(-1)次元の圏に注目します。

で、まったくの余談を挿入するんだけど、ネガティブならぬポジティブシンキングというと、ジイさんの僕は1990年代に一世を風靡した故・斎藤澪奈子さんを思い出しますね。さかんに「ポジティブシンキング」とおっしゃっていました*1。一方、"Power of Negative Thinking"で検索すると、ジョン・バエズより先にジーザス&メリー・チェインというバンドのCDが引っかかります。

Power of Negative Thinking: B-Sides & Rarities

高次圏の話

ポジティブ＝上昇志向で考えると、0次元のモノ、1次元のモノ、2次元のモノ、… と、次元は正の方向に昇っていきます。ネガティブ＝下降志向で考えると、0次元のモノ、(-1)次元のモノ、(-2)次元のモノ、… と、次元が下降していきます。このときの次元は、高次圏の文脈で考えます。というわけで、負次元のモノを語る前に、高次圏の話をザッとしておきます。

n次元の圏を単にn-圏〈n-category〉と書くことにします。n ≧ 2であるn-圏は高次圏〈higher category〉と言ったりします。n = 1 のときは普通の圏です。高次圏の一般論はとても難しくて、どう定義すればよいのかも分かっていません（「n-圏の難しさについて」とそこから参照されている記事群を参照）。比較的に扱いやすい種類として厳密なn-圏〈strict n-category〉があります。いま、「厳密」の定義はしませんが、国語辞書に載っている「厳密」とは違います。

かつての用語法では、厳密なn-圏を単にn-圏と呼んでいて、必ずしも厳密とは限らない一般のn-圏に別な呼び名を与えていました。

n	厳密なn-圏	一般のn-圏
2	2-category	bicategory
3	3-category	tricategory
4	4-category	tetracategory

最近では、形容詞strict（またはstrong）とweakを付けて区別することが多いと思います。

n	厳密なn-圏	一般のn-圏
2	strict 2-category	weak 2-category
3	strict 3-category	weak 3-category
4	strict 4-category	weak 4-category

ここでは、高次圏としては一番次元が低い2-圏を主に扱います。strictかweakかはあまり突っ込まないことにします。

2-圏の例：圏の圏

2-圏の例で、もっともポピュラーなのは“圏の圏”Catでしょう。Catは2次元の圏なので、0次元, 1次元, 2次元の射を持ちます。

• 0次元の射とは、対象のこと。つまり、（小さい）圏が0次元の射。
• 1次元の射とは、関手のこと。
• 2次元の射とは、自然変換のこと。

Catを1次元の圏（普通の圏）と考えるならば、C, D∈|Cat|に対してCat(C, D)は関手の集合になります。しかし、2次元の圏だと考えれば、Cat(C, D)は単なる集合ではなくて圏です。よって、Cat(C, D)はホムセットではなくてホム圏〈homcategory〉と呼ぶべきです。

集合以外のホムを考えることは重要です。例えば、豊饒圏〈enriched category〉の文脈では、距離空間は圏とみなせますが、そのときのホムは非負実数値なので、ホム値〈homvalue〉と呼ぶのがふさわしいでしょう（豊饒圏や距離空間の話は、例えば「モノイド圏、豊饒圏、閉圏と内部ホム」、「移動のコストとしての距離」参照）。ホム集合に限らず、ホム圏やホム値もあるので、一般的にはホムシング〈homthing〉と呼ぶことにします。

さて、Catの話に戻ります。0-射の集まりもホムシングだと考えましょう。すると：

• 0-射の集まり＝0-ホムシング は、対象達の集合（あるいは類）だからホム集合
• 1-射の集まり＝1-ホムシング は、関手と自然変換からなる圏だからホム圏
• 2-射の集まり＝2-ホムシング は、自然変換のからなる集合（あるいは類）だからホム集合

各次元のホムシングを明示的に表すために次の記法を導入します。

• Hom⁰_Cat = |Cat| = (Catの対象の集合＝圏の集合)
• Hom¹_Cat(C, D) = (CからDへの関手と自然変換がなす圏)
• Hom²_Cat(F, G:C→D) = (CからDへの関手F, Gを繋ぐ自然変換がなす集合)

0次元のホムシングは1個しかありませんが、高次のホムシングはたくさんあります。次元が高くなると、ホムシングはどんどん細分化されます。0次元のホムシングはこれといった構造を持たない集合（あるいは類）ですが、1次元のホムシングは圏という豊かな構造を持ちます。次元が上がった2次元のホムシングは再び無構造になります。

0次元のホムシングは無構造で、1次元ではホムシングが構造を持ち、ホムシングの次元が上がると構造が失われる傾向があります。この傾向性を探る（つうか眺める）のがこの記事の目的です。

なお、もっと2-圏の例を知りたいなら、「モナド論をヒントに圏論をする（弱2-圏の割と詳しい説明付き）」に10個の例を挙げています。

(-1)-圏とは何か

冒頭で触れたバエズのネガティブシンキングの話、負（マイナス）の次元を持つ圏について、まずは結論を言ってしまいましょう。(-1)次元の圏とは、真偽値〈真理値 | truth value〉です。真偽値とは真または偽のことですね。

この唐突な主張に対して、バエズは幾つかの根拠を示しています*2。僕は、そのうちのひとつしか覚えてないので、根拠をひとつだけ述べます。

負の次元にいく前に、0次元の圏（i.e. 0-圏）とは何でしょうか。n-圏は、n-射まで持つ圏なので、0-圏は0-射まで、いや0-射しか持たない圏です。0-射とは対象のことでした。となると、0-圏は単なる集合です。

• 0-圏とは集合
• 0-圏の0-射は集合の要素

これはいいですよね。

n-圏に対する一般的な法則として次があります。

• n-圏の1-ホムシングは、(n - 1)-圏である。

n = 2, n = 1 のときに確認してみます。

• 2-圏の1-ホムシングは、(2 - 1)-圏である。2 - 1 = 1 だから、1ホムシングは1-圏。
• 1-圏の1-ホムシングは、(1 - 1)-圏である。1 - 1 = 0 だから、1ホムシングは0-圏、つまり集合。

形式的に、n = 0 を代入してみます。

• 0-圏の1-ホムシングは、(0 - 1)-圏である。

もし、この世に(-1)-圏が在るなら、それは0-圏の1-ホムシングとして観測されるはずです。0-圏とは単なる集合だったので、集合の1-ホムシングを定義できれば、それが(-1)-圏となります。

Sを単なる集合として、a, bをSの要素（対象、0-射）とします。Hom¹_S(a, b) って何だろう？ -- これが課題です。

単なる集合は何の構造も持たないのですが、集合が集合であるための最低限の条件があります。それは、要素が区別できることです。なにかの集まりSからaとbを取り出したとき、a = b か、それとも a ≠ bかを判定できなくてはなりません。無構造の集合といえども、要素の同一性（or 非同一性）という“構造”は備えています。

要素の同一性／非同一性の記述として、次のような定式化はどうでしょうか。

• a = b のとき、Hom¹_S(a, b) = True
• a ≠ b のとき、Hom¹_S(a, b) = False

集合の1-ホムシングとして、TrueまたはFalseのホム値をとるとします。すると、ホムシングは次のようになります。

n	n圏の1-ホムシング	1-ホムシングとなるモノの全体
2	ホム圏	圏の圏Cat
1	ホム集合	集合圏Set
0	ホム値	ブール集合{True, False}

n-圏の(n + 1)-射

強い説得力はないかも知れませんが、0-圏より低い次元の存在物があってもいいかな、くらいは感じていただけたでしょう。前節の議論は、次のことを指導原理にしていました。

• n-圏の1-ホムシングは、(n - 1)-圏である。

これは一般化できて、

• j≧1 に対して、n-圏のj-ホムシングは、(n - j)-圏である。

n = 2 の場合で言えば：

• 2-圏の1-ホムシングは、(2 - 1)-圏である。1-圏は圏なのでホム圏。
• 2-圏の2-ホムシングは、(2 - 2)-圏である。0-圏は集合なのでホム集合。

ここで、j = 3 を代入すると、

• 2-圏の3-ホムシングは、(2 - 3)-圏である。(-1)-圏は真偽値なのでホム値。

2-圏の3-ホムシングは真偽値らしいのですが、本来3-ホムシングとは何であるべきでしょうか。3-ホムシングは3-射の集まりと考えるのが自然です。もし（Catとは限らない）2-圏Kにも3-射があるとすれば、2-射 α::f⇒g, β::f⇒g に対して Ψ:::α≡>β::f⇒g のような形をしているはずです。

もともとは2射までしかない2-圏に3-射を導入するとすれば、2-射の恒等くらいしか候補がありません。つまり、3-射 Ψ:::α≡>β::f⇒g が存在するのは α = β のときに限り、Ψ = Id_α と考えます。結局、2-圏Kに対して以下の命題はどれも同じ意味になります。

• Ψ:::α≡>β::f⇒g in K
• α = β, Ψ = Id_α in K
• Hom³_K(α, β) = (α = β ならTrue, α ≠ β ならFalse)

やっぱり2-圏の3-ホムシングは真偽値のようです。その真偽値は、2-射の等しさを表現します。

地下室と屋根裏部屋に潜む論理

2-圏でオフィシャルに認められた射は、0-射, 1-射, 2-射です。ホムシングも、0-ホムシング, 1-ホムシング, 2-ホムシングは明確に定義されています。それに対して、(-1)-圏や3-ホムシングは無理にひねり出した印象があります。そうだとしても、結果は真偽値というよく知られた概念なので、排除すべき理由も見当たりません。

真偽値といえば、論理の中心的概念です。論理では真偽値が主役として最初から登場します。トポスのような、論理の圏論的定式化でも、ブール集合に相当するサブオブジェクト・クラシファイアがあり、真偽値は終対象からサブオブジェクト・クラシファイアへの射として定義されます。いたってまっとうな扱いです。

論理における真偽値の主役級の扱いに較べて、今回の真偽値の登場の仕方はどうでしょう。本来は人が住むべきではない地下室と屋根裏部屋に隠れていた得体の知れない生き物を引きずり出したら真偽値だった、と、そんなストーリーでした。

0-圏の1-ホムシングとしての(-1)-圏、n-圏の(n + 1)-ホムシングという奇妙な出自を持つ彼ら（TrueとFalse）は、論理的な働きをしてくれるのでしょうか。

等式的代数構造

我々がよく知っている代数構造、例えばモノイドを考えます。モノイドの構成要素は次のものです。

• 集合 M
• 写像 m:M×M→M
• 要素 e∈M

集合圏とは限らないデカルト圏（終対象1を持つとする）Cでモノイドを考えるなら、

• Cの対象 M
• Cの射 m:M×M→M
• Cの射 e:1→M

二項演算も単位元もどちらも射として定式化します。

これだけだと演算の法則性が何もないので、モノイドの法則（公理）を導入します。

• ∀x, y, z:M. m(m(x, y), z) = m(x, m(y, z))
• ∀x:M. m(e, x) = x
• ∀x:M. m(x, e) = x

上記の法則記述には集合概念を使っているので、一般的なデカルト圏で通用するようにしましょう。射の等式（可換図式と同じ）で書き直します。話を簡単にするために、左単位律だけを扱います。特定の a:1→M in C を選んだとき、次の等式は一般のデカルト圏で意味を持ちます。

• ;m = a : 1→M in C

このような等式をたくさん（無限個かも知れない）並べれば、∀x:M. m(e, x) = x の代用になります。前節の議論から、等式は圏の2射とみなすことができます。すると、モノイドのような等式的な法則を持つ代数構造は、次のモノ達で構成できます。

• Cのひとつの0-射 M
• Cのふたつの1-射 m:M×M→M と e:1→M
• Cのたくさんの2-射

たくさんの2-射の一例が、LeftUnitEq_a::(;m)⇒a:1→M in C です。結合律、右単位律も、たくさんの2-射で表現できます。等式の性質（反射性、対称性、推移性）は、恒等2-射、2-射の可逆性、2-射の結合演算によって保証されます。

圏（普通の圏＝1-圏）の等式的理論とは、実はたくさんの2-射を使った議論となります。2-圏で等式的理論をしたいなら、0-射, 1-射, 2-射以外に、3-射（等式と同じ）をたくさん使えばよさそうです。

宇宙創生と反転原理

話はさらに詩的（ポエティック）になります。

前節で述べたことは、n-圏の(n + 1)-射、あるいは(n + 1)-ホムシングを使えば、等式的理論は構成できて、モノイドのような等式的代数構造は、その枠組に包摂できるだろう、ということです。

しかし、我々は普通、等式／等号を集合圏の2-射／2-ホムシングと捉えたりはしません。集合S上の等号は、外延としては対角集合 Δ_S = {(x, y)∈S×S | x = y}、内包としてはブール値をとる述語関数 eq:X×X→Bool, eq(x, y) = if (x = y) True else False と考えます。ここで、Bool = {True, False} です。

ブール集合（真偽値の全体）Boolは、最初から我々がいる世界Setのなかにあり、最初から見えています。屋根裏部屋に隠れているわけではありません。このギャップがとても気になります。僕が考えた（夢想した）詩的解釈は、僕らが見ているあのBoolはアバター〈化身〉であり、実身は集合圏Setの外に居るのだろう、というものです。

上記の詩的解釈を説明するには、集合圏だけではなくて、すべてのnに対するn-圏を総体として考える必要があります。その総体は、いわば圏論的宇宙です。n-圏の全体をn-Catと書くことにします。n = 0 のとき、0-圏は集合だったので、0-圏の全体0-Catは集合圏Setに他なりません。1-Catは、普通の圏の圏なので、1-Cat = Cat です。

今までの話から、(-1)-圏はTrueまたはFalseなので (-1)-Cat = {True, False} です。ただし、今のところ {True, False}∈|Set| とは考えていません。(-2)-圏には触れませんでしたが、(-2)-圏とは“なにか1つの値”と考えられます。その値を仮にアスタリスク（'*'）で表しましょう。(-2)-圏では、個と全体の区別もなく、(-2)-圏の全体も*です。

1. (-2)-Cat = *
2. (-1)-Cat = {True, False}
3. 0-Cat = Set
4. 1-Cat = Cat
5. 2-Cat = (すべての2-圏達)
6. ...

(-2)から始まることになったのは、我々が次元の付け方を間違えてしまった、ということでしょうが、致し方ありません。-2, -1, 0, 1, 2, ... という次元（番号付け）をこのまま使います。

(-2)-Cat, (-1)-Cat, 0-Cat, 1-Cat, 2-Cat, ... と次元で番号付けられた系列の全体が圏論的宇宙です。次元が増えるにしたがって、複雑さが増す階層になっています。また、次元番号を“時間”と解釈すると、宇宙創生の歴史がこの系列にエンコードされているとも思えます。

太古、宇宙には個も全体もなく、ただ「無」（*）だけが在りました。その後、真と偽の区別が生まれ、そしてビッグバンにより、今ある集合の全てが生まれたのです。その後は、次元を増やす射の概念により、宇宙にどんどん複雑なモノが追加され続けます。

このような宇宙の構造を見ていると、次の事実に気が付きます。

• j次元の圏の全体は、(j + 1)次元の圏とみなせる。

簡単な例は j = -1 で、「(-1)次元の圏の全体は、0次元の圏とみなせる」です。言い方を変えれば、

• 真偽値の全体は、集合とみなせる。

(-1)次元の圏（真偽値）の全体である(-1)-Catが、Boolという名前を与えられて、Bool∈|Set| となるのです。これが、「僕らが見ているあのBoolはアバター〈化身〉」と思う根拠です。アバターの実身はもちろん(-1)-Catです。

j = -2 で考えると、

• (-2)次元の圏の全体は、(-1)次元の圏とみなせる。

(-2)次元では個と全体の区別がなく、(-2)次元の圏の全体も*です。ですから、

• *は、真偽値とみなせる。

このみなし方は、*をTrueとみなすことでしょう。(-1)-Catのなかに棲む住人達は、自分たちが見ているTrueは、1次元低い世界にいる*のアバターだと捉えることでしょう。

さて、j = 0 ではどうでしょうか。

• 0次元の圏の全体は、1次元の圏とみなせる。

これは、

• 集合圏は、圏とみなせる。

ですから、お馴染みの主張です。とはいえ、直接的に Set∈|Cat| と言ってしまうのは問題があります。Catのなかに入り込めるようなSetのアバターが必要です。あるいは、Setを直接格納できるほどに巨大なCatを考えるべきかも知れません。まー、技術的な困難はありますが、j≧0 に対する「j次元の圏の全体は、(j + 1)次元の圏とみなせる」は首肯できる命題でしょう。

ここまでは、あらゆるモノを含む宇宙、マクロコスモスの話でした。宇宙のなかから特定のn-圏をひとつ取り出して眺めてみます。このn-圏Kも構造を持ち、ミクロコスモスを形成しています。Kのホムシングはn次元より上、(n + 1), (n + 2)にもあるとして順に見ていくと：

• Homⁿ⁺²_K = *
• Homⁿ⁺¹_K(α, β) = True（α = β のとき） または False（α ≠ β のとき）
• Homⁿ_K(f, g) = ( (n - 1)射fとgを繋ぐn-射の集合 )
• ...
• Hom⁰_K = |K|

「...」で省略した部分には、複雑な構造を持つホムシングが並ぶかも知れません。

ミクロコスモスKの構造を見ると、マクロコスモスである圏論的宇宙の歴史を、次元が高いホムシングから次元が下降する方向に再現しています。これは、「マクロコスモスの時間発展が、発展方向が反転する形でミクロコスモスのなかにエンコードされている」と言ってもいいでしょう。発展方向とは、次元番号が増える方向です。仮に、宇宙の反転原理とでも呼んでおきましょう。

圏論的宇宙＝マクロコスモスと、特定のn-圏＝ミクロコスモスは、反転原理によってお互いを写し合っているようです。

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(-1)次元の圏を契機に、圏論的宇宙の景色が少しは見えたような気がします。断片的ではありますが、他にも面白い景観や現象があります。このファンタジーに、リアリティが加わるといいんですけど…

*1:僕は、彼女のルックスが訳も無く嫌いで、何の興味も抱かなかったので実はよく知らんのですけどね。

*2:主たる動機は、圏論的周期律表〈periodic table〉を完全に埋める、ということだったみたい。