- 日時: 2017/02/11 (土) 10:00 ~ 2017/02/12 (日) 17:30
- 会場: 名古屋大学情報科学棟１階 第１講義室（名古屋大学東山キャンパス）
- 登録URL: https://atnd.org/events/82626
ここで何を話そうかな、ってことですが：
僕は谷村先生の「物理学者のための圏論入門」の直後なので、圏論入門を補足する実例を紹介するつもりです。少数（ひとつかふたつ）の事例・例題に沿って、ストリング図の使い方を説明します。
選ぶ実例によって話の内容は変わりますが、その実例を選ぶ際の基本方針は決めています。
- ストリング図を話題にしたいので、（当たり前ですが）ストリング図が効果的に使える例。
- 少ない予備知識で理解できる例。特定分野（コンピュータ科学やら物理やら）の知識を要求せずに、圏に関しても定義くらい知っていればいい例。
- 通常の圏を拡張・一般化した概念が含まれる例。
すべての条件を満足する例を探すのは難しそうですが、できるだけこの基準に沿うようにしよう、ということです。
最後の条件である「通常の圏を拡張・一般化した概念」についてちょっと説明しておきます。
通常の圏を拡張する方法には以下のようなものがあります。先に言っておきますが、箇条書きの後に簡単な説明を付けますが、そこに出てくる難しげな用語は気にしないで流し読みしてください。
- 豊饒化
- 内部化
- 高次化
- 弱化
- 多重化
- 他にもある（関手圏、スパンの圏、etc.）
豊饒化とは、圏のホムセットを、集合から何らかの圏（豊饒化ベース圏； enriching category）の対象に替えることです。例えば、ホムセットをベクトル空間に替えれば、ベクトル空間の圏で豊饒化した圏ができます -- 係数体がKのとき、K-線形圏と呼んだりします。
内部化とは、何らかの圏（外部圏、環境圏）のなかで圏対象を作ることです。例えば、圏の圏Catのなかで圏対象＝内部圏を作ると二重圏（double category）になります。
高次化は、2次元以上の射を追加することです。“射のあいのだ射”、“射のあいだの射のあいだの射”などを考えます。2-圏や双圏は2次元の圏です。
弱化とは、圏の条件となる結合律や単位律を、等式から何らかの同値関係へと弱めることです。モノイド圏のモノイド積は、一種の結合演算ですが、その結合律や単位律は等式としては（一般には）成立しません。法則が、等式から同型・同値に弱められています。
多重化とは、射の項数（アリティ）を増やすことです。入力項数を1からnにすると複圏（オペラッド）になります。出力項数も増やすと多圏になります。
これらの拡張方法は互いに独立ではありません。キッチリとは分類できない例がいくらでもあります。圏の圏Catを使って豊饒化すると、それは高次化した圏の例にもなります。内部圏として定義したニ重圏も、高次な圏の一種です。モノイド圏や双圏では弱化も起きています。
「通常の圏論もよく知らないのに“圏の拡張”とか言われてもなー」と思う方もいるでしょうが、圏論を使おうとすると、割と早い段階で拡張せざるを得なくなるんですよ。
実は、ストリング図という絵（picture/diagram/graphics）を使うことは、「通常の圏＝1次元の圏」ではあまり意味がないんです。ストリング図は平面に描くのですが、平面には左右方向と上下方向のふたつの方向がありますよね。それぞれの方向に圏の演算を対応させます。圏の演算といえば結合（composion; 合成）ですが、もし結合だけならふたつの方向は要らないです。
ふたつの方向を使うということは、結合以外に第二の演算を考えることです。第二の演算は、モノイド圏のモノイド積（monoidal product）であったり、2-圏／双圏の横結合（horizontal composition）であったりします。ストリング図を使う状況は、必然的に第二の演算を持つ圏を扱う状況、別な言い方をすると2次元的構造を持つ圏を扱う状況なんです。
圏が高次元化する現象は容易に起きるのですが、高次の圏の扱いは難しいです。その難しさを視覚的プレゼンテーションにより軽減してくれるのがストリング図です。ストリング図を使うと、テキスト記号による計算や証明が劇的に簡素化されることがあります（いつでもうまくいくわけじゃないけど）。
この劇的な効果が（適切な例により）うまく伝わるといいんだけど …
