データベース:: 記法と用語のまとめ - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

シリーズ・ハブ記事：

データベース:: テーブルのキーって何なのよ？

以下の3つの過去記事で定義した／使った記法と用語をまとめておきます。

記法と用語：

$`\mathscr{D}`$ ：ドメインの集合、要素は基本データ型となる集合
$`C = \{c_1, \cdots, c_n\}`$ ：カラム名の集合（通常、全順序を仮定する）
$`S : C \to \mathscr{D}`$ ：テーブルスキーマ
$`S = (c_1 : D_1, \cdots, c_n : D_n)`$ ：テーブルスキーマの表示（$`D_i = S(c_i)`$）
$`S = (D_1, \cdots, D_n)`$ ：カラム名が番号のときのテーブルスキーマの表示（$`D_i = S(i)`$）
$`S = ()`$ ：空なテーブルスキーマ
$`t = (t_1, \cdots, t_n)`$ ：タプル（カラム名の集合 $`C`$ に全順序を仮定してる）
$`\mathrm{Tuple}(S)`$ ：テーブルスキーマが決めるタプル空間（すべてのタプルの集合）
$`X, Y \subseteq C`$ ：カラム名の集合の部分集合、これを「カラム」「複合カラム」と呼ぶこともある。
$`S|_X`$ ：テーブルスキーマの $`X`$ への制限、$`X \subseteq C`$
$`\pi_X = \pi^S_X : \mathrm{Tuple}(S) \to \mathrm{Tuple}(S|_X)`$ ：カラム名集合に付随する射影関数
$`\pi_c = \pi^S_c : \mathrm{Tuple}(S) \to S(c)`$ ：カラム名の射影関数
$`\pi_{\{c\}} = \pi^S_{\{c\}} : \mathrm{Tuple}(S) \to \mathrm{Tuple}(S|_{\{c\}})`$ ：カラム名の単元集合に付随する射影関数（カラム名の射影関数と微妙に違う）
$`\Gamma \subseteq \mathrm{Pow}(\mathrm{Tuple}(S))`$ ：テーブルクラス$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}\newcommand{\u}[1]{\underline{#1}}\newcommand{\bs}[1]{\boldsymbol{#1}}`$
$`\bs{t} = (C, S, \Gamma)`$ ：テーブル構造
$`\mrm{SKey}(\bs{t}), \mrm{CKey}(\bs{t})`$ ：テーブル構造の超キーの集合と候補キーの集合、$`\mrm{Pow}(C)`$ の非空部分集合
$`\widehat{S} = \mrm{Tuple}(S)`$ ：タプル空間の短縮記法
$`\widehat{S}[X] = \mrm{Tuple}(S, X) = \mrm{Tuple}(S|_X)`$ ：制限されたタプル空間の短縮記法
$`\pi_{X, Y} = \pi^S_{X, Y} : \widehat{S}[X] \to \widehat{S}[Y]`$ ： $`Y\subseteq X \subseteq C`$ のときのタプルを射影する関数
$`\Pi_X = \Pi^S_X = (\pi^S_X)_* : \mrm{Pow}(\widehat{S}) \to \mrm{Pow}(\widehat{S}[X])`$ ：テーブルインスタンスを射影する関数
$`\Pi_{X, Y} = \Pi^S_{X, Y} = (\pi^S_{X, Y})_* : \mrm{Pow}(\widehat{S}[X]) \to \mrm{Pow}(\widehat{S}[Y])`$ ： $`Y\subseteq X \subseteq C`$ のときのテーブルインスタンスを射影する関数
$`\kappa_X : \widehat{S}[X] \supseteq\!\to \widehat{S}`$ ：超キー $`X`$ のキーセクション関数（部分関数）、特定の状況では $`\pi_X`$ のセクションになっている。
$`(\bs{t}_i)_{i\in I}`$ ：テーブル構造のインデックス族
$`(i, X, j, Y, r)`$ ：参照（$`i, j\in I, X\subseteq C_i, Y\subseteq C_j`$）
$`X \subseteq C_i`$ ：参照カラム（複合カラムでもよい）、外部キー
$`r : X \to Y \text{ where }X\subseteq C_i, Y\in \mrm{SKey}(\bs{t}_j)`$ ：カラム（複合カラムでもよい）間の関数（双射）、カラム名をリネームするだけの関数
$`\hat{r} = (r^{-1})^* = (r^*)^{-1} : \widehat{S_i}[X] \to \widehat{S_j}[Y]`$ ：参照関数、カラム名のリネームに伴うタプル空間の同型
$`\rho_r = \hat{r}`$ ：参照関数の別記法