…記事がありました。 米田埋め込みは圏論ではお馴染み。継続渡しへの変換はコンピュータ・プログラミングではお馴染み。この2つは、実は同じものなんだよ。なんで、誰もこのことを言わないんだろうね？The Yoneda embedding is familiar in category theory. The continuation passing transform is familiar in computer programming. They're the same thin…

…がありまして、えー、米田の補題がらみです。（このネタはまったく不人気ですがね。）内容： The Yonedaへのスローなアプローチ 部分圏と充満部分圏 忠実関手と充満関手 忠実関手の例 埋め込み関手と部分圏 関手圏 米田関手を探そう 次回は 参考： 圏論番外：米田の補題に向けてのオシャベリ 圏論番外：米田の補題の周辺から ●The Yonedaへのスローなアプローチ「圏論番外：米田の補題に向けてのオシャベリ」にも書いたのですが、最近の圏論の教科書では、米田の補題を早い段階で導…

…ある。 この事実は、米田の補題から出てくるのですが、ここでは直接的に示してみます。「直接的」とは言っても、米田の補題の証明の一部分を切り取ったような感じなのですが、それでも少しだけ簡明でしょう*1。以下で、いま述べたこの定理をできるだけ明白・露骨・丁寧に説明したいと思います。最後のほうで、この定理の応用例を挙げます。（[追記 date="翌日"]'Y'と'X'、'f'と'i'を書き間違えていたところがあったので、修正しました。[/追記]）内容： 記号の約束 反変ホム関手 今回…

…圏を別な圏に（例えば米田埋め込みで）埋め込んで眺めたり、背理法を使ったり、と、やりたい放題。“なかの人”は、非常に制限された行為しかできません。できることは、だいたい次のようなこと。 個々の対象や個々の射は見える。それらを比較もできる。 対象の恒等射を見つけることができる。 2つの射が結合可能かどうか判定し、結合可能なら結合して射を作れる。 2つの対象／射のモノイド積を作ったり、モノイド単位を見つけることができる。 モノイド積の結合法則や単位法則を知っていて、（自然変換の成分…

…外に出られない神様？ -- 変なヤツらだ。内部的な随伴性の超越的な証明は今度（いつか分からない）紹介します、たぶん。米田の補題が活躍しますよ。[追記]トラックバック／コメント蘭で、色々なやりとりがありましたが、（この部分以外の）本文への修正や追加はしません。その代わり、「閉圏、弱いラムダ計算、弱い論理」で、似た話題を扱っています。[/追記] *1:この例は、Lawvereの1973年の論文のもので、有名ですね。 *2:難しくないかもしれないけど、僕は全然思いつかなかったです。

米田の補題は圏論の有名な定理、米田信夫さんはその発見者。なのに、 google:米田の補題 米田信夫 今日（2007-01-19）現在、事実上僕が書いたエントリーだけ。マイヒル／ネロード（Myhill/Nerode）の定理は、形式言語理論の有名な定理。だが、 google:マイヒル ネロード これも僕のところ（メモ編）だけ。「ネロード」を「ネローデ」にしても他に一件。ウーム、… …

…た音）。あっ、いや、米田の補題はやるつもりですよ、ええ。それはいいんですけどね、第8歩の冒頭で「新年の挨拶なんてのは省略。」と書いたのですが、なんか松の内も過ぎて「新年の挨拶」でもしたくなったよ。まー、圏の定義とかやせた圏（thin category）の補足説明するついでに、圏論（そのコンピューティング・サイエンスへの適用）プロモーションの方針(?)でも述べるべ。内容： 圏の直感的イメージを作る：孤立から連絡へ 論理とやせた圏 重い圏から軽い圏へ 圏もどきと構造付き圏 まとめ…

気まぐれに、米田の補題（Yoneda lemma）について書きたくなって、「はじめての圏論」の第8歩を書いたわけです。が、コメント欄に自分で書いたごとく： 「はじめての圏論」のここで米田の補題を突っこむのは、解説の流れとしてはムチャクチャですな。 教科書や講義の構成だったらマズイのでしょうが、まー、思い付きと気まぐれの産物だから、こんなこともあるのよね。で、第8歩から何回かに渡って、米田の補題を目指して書くだろうと思います。米田の補題の具体例が欲しかったので、順序集合、プレ順…

…ってみよう。なんか、米田の補題（The Yoneda Lemma）について書きたくなった（単に気まぐれだけどね）。が、具体的に手でいじれる事例が欲しい。そこで、次のような方針にしました。 事例としてはやせた圏（thin categories）を使う。 “やせた圏＝プレ順序集合”に関して、米田の補題に相当する結果を先に示しておく。 この具体例を適宜参照しながら、一般的な米田の補題を説明する。 というわけで、今回はやせた圏（特に“とてもやせた圏＝順序集合”）の性質を多少詳しめに調…

…ダとブレイド 番外：米田の補題に向けてのオシャベリ 一部のプログラミング言語の背景として、圏論（カテゴリー論）が使われたりするせいか、以前に比べれば多少は圏論に興味を持つ人が増えたような気がしなくもないような。でも、安直な入門的文書はあまり見かけないですね。もちろん、シッカリした教科書や論説はあるんですが、どうもシッカリし過ぎているような。例えば、圏の例として「コンパクト・ハウスドルフ空間と連続写像の圏」とか言われてもねぇ（この例はいい例なんですけど*1）。かといって、空な圏…