酒井さんのヒビルテ経由;『論理と計算のしくみ』という本に曰く(Φは空集合のつもり):
A≠Φ ならば,AΦ は一つの関数からなる集合であり,一方 ΦA=Φ でもあるので,これらの二つの場合が交錯する ΦΦ という式は,矛盾していると考えることも出来る。
『論理と計算のしくみ』はまったく見てません*1が、「矛盾していると考えることも出来る」はウソで、「矛盾していると考えることは出来ない」でしょう。
酒井さん:
A≠Φ ならば AΦ と ΦA は重ならないし
そのとおりです。どこにも矛盾なんてないですよ。念のため論理式で書き下せば、iをΦからAへの(唯一存在する)埋め込みとして、
- A≠Φ ⇒ (AΦ = {i})∧(ΦA = Φ)
ΦΦという式を作るには、AΦ または ΦA のAをΦにしなきゃいけない、それで、AをΦで置き換えると、
- Φ≠Φ ⇒ (ΦΦ = {i})∧(ΦΦ = Φ)
「矛盾」という言葉を使っているのは、上の論理式(formula)の含意(記号「⇒」を使った)の右側
- (ΦΦ = {i})∧(ΦΦ = Φ)
について言っているのでしょうが、含意の左側が Φ≠Φ なんだから、これは単に「矛盾 ⇒ なんでもいい」(この場合は「矛盾 ⇒ 矛盾」)という、古典論理では当たり前のことを言っているに過ぎません。「お日様が西から昇るんだから、なんでもあり」というバカボンのパパの論法ですね。
言いたいことはわからんでもないけど
僕は、何を言いたいのかサッパリわからないなぁ。
*1:したがって、引用文がなにか特殊な文脈内で語られている、という状況は(仮にあったとしても)無視しています。