CとDが圏のとき、ベキ（指数）DCを考えます。DCは、CからDへの関手の圏です。
- 圏の対象： Obj(DC) = Func(C, D)
- 圏のホムセット： F, G ∈Func(C, D) に対して、DC(F, G) = Nat(F, G)
ここで、Func(C, D)は関手（functionじゃなくてfunctor）の集合、Nat(F, G)は自然変換の集合です。Func(C, D)は共変関手の集合ですが、反変関手を使っても同様に（しかし方向が逆な）定義ができます。
Catは、小さな圏を対象として、そのあいだの関手を射とする圏だとします。
背景だとか事例だとかを省いて、天下りにインデックス付き圏（indexed category）を定義すると； Iを小さい圏*1として、反変関手 A:Iop→Cat がインデックス付き圏です。反変か共変かはあまり気にする必要はありません。習慣上、反変が定義に採用されていますが、共変で考えても同じことです。
とても紛らわしいのですが、関手Aがインデックス付き圏のとき、圏Iは、このインデックス付き圏のインデックスの圏です。似た用語で区別が付きにくいので、「インデックスの圏」よりベース圏と呼ぶほうがいいかも知れません。
二重の上付き添字を避けるため、Iの反対圏IopをI'と書くことにします。ベキCatI'は関手の圏で、その対象とは、I'→Cat という関手です。つまり、CatI' は、「インデックスの圏（ベース圏）がIであるインデックス付き圏」の圏ということになります。2つのインデックス付き圏のあいだの射は、CatI'の射として定義できます。
さらに記法を簡略化するために、CatI'をCat[I]と書くことにします。Cat[I']でないことに注意してください。ここから先の話はだいぶ曖昧になります。圏のサイズをどう扱っていいのか分からなくて、僕には正確な定式化を書き下せないのです。まー言いたいことは、I |→ Cat[I] という対応が（サイズが大きな）インデックス付き圏になるよ、ってことです。
Eが、I, J, Kなどの圏を含むような「圏の圏」だとします。CATは、CatとかCat[I]（＝CatI'）とかを含むような「圏の圏」だとします。CATは、Catよりは一回り大きな圏の圏です。I |→ Cat[I] という対応は、Obj(E)→Obj(CAT) という写像になります。これは自然な方法で関手 E→CAT に拡張できます。
F:I→J が圏Eのなかの射、つまりは圏Iから圏Jへの関手とします。Fから、F*:Cat[J]→Cat[I] という関手が誘導されます。F*は次のように定義されます。
- A∈Obj(Cat[J]) に対して、F*(A) は、関手の結合 F;A で定義される。（共変と反変の結合なので、若干の注意が必要。）
- (ψ::A⇒B)∈Cat[J](A, B) に対して、F*(ψ)::F*(A)⇒F*(B) は、{ψF(i) | i∈Obj(I)} として定義される自然変換。
結局、Eに含まれる圏をインデックスの圏とするインデックス付き圏の全体は、いちレベル上のインデックス付き圏 E→CAT を構成していることになります。標語としては、「インデックス付き圏の全体はインデックス付き圏である」となります。
インデックス付き圏の事例はイッパイあります。また紹介する機会もあるでしょう。
*1:「小さい」という条件を課さないときもあります。
