渋谷に行くのは億劫になったので、圏のファイブレーションでも調べようか、と。スピヴァックがグロタンディーク、グロタンディークと言っているのも理由があることで、グロタンディーク構成／グロタンディーク・ファイブレーションはやっぱり使うのですよ。
ファイブレーション界隈も用語がけっこう乱れているので、調べて整理しようと、Wikipedia項目 http://en.wikipedia.org/wiki/Fibred_category とnLabの http://ncatlab.org/nlab/show/Grothendieck+fibration を見比べたりました。
まず、英語の綴りがfibreとfiberがあるんですよね。とりあずfibre使うことにします。それで、fibre category と fibred category は全然意味が違います。なので、日本語で「ファイバー圏」は紛らわしいので使わないことにします。ファイバード圏とか言うのもどうも落ち着かない（僕は英語の-edとかをカタカナ語に反映させるのは好きじゃないのです）。それで結局、ファイブレーション（fibration）を使ってます。
ファイブレーションと同値な概念であるインデックス付き圏（indexed category）でも、インデックスの圏（index category）が出てきます。これは英語でも紛らわしいので、base category とか indexing category とか言うほうが多いようです。
ファイブレーションの定義の反変を共変に変えたものは、cofibred category と呼ぶこともありますが、opfibrationがいいようです。日本語だと反ファイブレーションか反対ファイブレーションでしょう。インデックス付き圏では、共変版は余インデックス付き圏と呼ぶこともありますが、反インデックス付き／反対インデックス付き圏のほうが言葉使いが揃いますね。
ファイブレーション関係の用語では形容詞としてのデカルト（cartesian）がイッパイ出てきます。cartesian morphism がクセモノで、cartesian arrow/map と同じ意味のときもありますが、cartesian functor のことを cartesian morphism と言うこともあります。そもそもcartesianは使われ過ぎなので、cartesian functor（ときに cartesian morphism）よりは、morphism of fibrations（ファイブレーション準同型）が混乱が少ない気がします。
ファイブレーションの準同型（morphism of fibrations, cartesian functor）の実体は関手の組で、さらにファイブレーションの準同型のあいだを繋ぐ自然変換があります。この自然変換は cartesian natural transformation と呼ばれます。「デカルト圏、デカルト関手、デカルト自然変換」が一群の関連した概念の系列ならいいのですが、そうではありません。「ファイバー圏、ファイバー関手、ファイバー自然変換」もセットでは使えません。fibre (fiber) functor は別な意味で使われています（→ http://ncatlab.org/nlab/show/fiber+functor）。
しかも、圏の射がデカルト（cartesian）だという定義も安定してなくて、デカルト、弱デカルト（weakly cartesian）、強デカルト（strongly cartesian）なんて言葉がありますが、三種の概念があるのではなくて、ある人のデカルトが別の人の弱デカルトだったりするのです。
C:I→Cat がインデックス付き圏のとき、f:i→j in I に対する C[f]:C[j]→C[i] は関手ですが、これは reindexing functor, substitution functor, reduct functor 等と呼ばれます。逆像関手（inverse-image functor）と呼ぶ人もいます。それにあわせてでしょうか、φ:E→B がファイブレーションであるとき、f:X→Y in B に対して、φ(m) = f となるデカルト・アローmを、fの逆像と呼ぶことがあります。ややこしいのは、反対ファイブレーションのときは、mはfの順像（direct image）と呼ぶんですよね、ベースから持ち上げているのに。
反変でも共変でも、φ(m) = f となるデカルト・アローはデカルト持ち上げ（cartesian lifting）と呼べばいいだろう、と。ファイブレーションのファイバーに入る射を垂直（vertical）と呼んでいる例は多いので、デカルト・アローは水平（horizontal）と呼べばいいじゃないかと僕は思うのですが、水平の使用例は見つかりませんでした（何か事情があるのか？）。cleavageを固定したときのデカルト持ち上げを平行移動射（transport morphism）と呼ぶことはあるようです。
今出てきたcleavageって言葉は定訳がないようですが、英辞郎によると「裂くこと、切開、分割、裂け目、割れ目、亀裂、溝」。splitという概念も出てくるので分割、分裂は使いにくいので切開でしょうか？ あるいはカタカナでクリーベッジ？ 意味としてはたぶん選択でしょうが、選択って言葉じゃ平凡過ぎますね。「cleavageを固定した」という意味の形容詞はclovenとcleavedの両方の例がありました。
ウーム、ややこしい。ですが、依存型の議論でもファイブレーションが必要そうなので、まーしょうがない。
