二重圏のもっと簡単な例：圏の可換四角形の二重圏

二重圏の例としては、普通の圏から構成できる非常に簡単な例があったわ。Cが圏として、Cから二重圏Dを構成できます。二重圏Dの素材である D₀, D_h1, D_v1, D₂ は：

1. D₀ := Obj(C) = |C|
2. D_h1 := Mor(C)
3. D_v1 := Mor(C)
4. D₂ := Cの可換四角形の全体

Cの可換四角形とは、f:A→B, g:C→D, j:A→C, k:B→D をCの射だとして、次のような可換図式です。

    f
 A ---> B
j|      |k
 v      v
 C ---> D
    g

この四角形をαとして、top, bottom, left, rightを次のように定義します。

1. top(α) = (f:A→B)
2. bottom(α) = (g:C→D)
3. left(α) = (j:A→C)
4. right(α) = (k:B→D)

もうひとつの可換四角形βがあって、top(β) = bottom(α) のとき、四角形を縦にくっつけたハシゴを作って外側の四角形をみると、それは再び可換四角形となります。この四角形が「αとβの縦結合」です。left(β) = right(α) のとき、縦の代わりに横にくっつければ、「αとβの横結合」が定義できます。

二重圏Dの構成要素である4つの圏は：

1. D_h1 := C
2. D_v1 := C
3. D_2h := 可換四角形の横結合の圏
4. D_2v := 可換四角形の縦結合の圏

細かいところをフォローすれば、立派な(?)二重圏の出来上がり。