タイトルはダブルミーニングです。ひとつは「二重圏は面白いよなー」ということ。もうひとつは「興味深い二重圏の事例を幾つか紹介するよ」ということです。過去記事への参照をたくさん含むので、二重圏関連のハブ記事になっています。最後に、まだ触れたことのない二重圏についての記事予告（当てにならないけど）があります。
「プロ関手と関係のアナロジー」で次の2つの二重圏が似てる、という話をしました。
二重圏 $`\mathbf{ProfDC}`$ ：
- 対象： 小さい圏
- タイト射： 関手
- プロ射： プロ関手
- 二重射： 制限自然変換（「二重圏化と米田モナド」参照）
二重圏 $`\mathbf{RelDC}`$ ：
- 対象： 集合
- タイト射： 写像〈関数〉
- プロ射： 関係
- 二重射： 制限包含関係
次の図式で表される制限包含関係 $`\alpha`$ とは、$`R \subseteq (f\times g)^{-1}(S)`$ のことです。右肩の $`{}^{-1}`$ は逆写像ではなくて、部分集合の逆像です。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}}
%\newcommand{\msf}[1]{\mathsf{#1}}
%\newcommand{\o}[1]{\overline{#1}}
%\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
%\newcommand{\op}{\mathrm{op}}
\newcommand{\In}{\text{ in }}
\newcommand{\hyp}{ \text{－} }
%\newcommand{\twoto}{\Rightarrow }
`$
$`\quad \xymatrix{
A \ar[r]|{/}^R \ar[d]_f
\ar@{}[dr]|{\alpha}
&B \ar[d]^g
\\
C \ar[r]|{/}_S
&D
}\\
\quad \In\mbf{RelCD}
`$
$`\mbf{ProfDC}`$ と $`\mbf{RelDC}`$ は、二重圏の最重要な例だと言っていいでしょう。
もっと簡単で近づきやすい例は、次の古い過去記事にあります。
上記過去記事の二重圏は：
- 対象： 自然数
- タイト射： 自然数のあいだの比較〈大小関係 | 不等号〉
- プロ射： 非負実数係数の行列
- 二重射： 行列のあいだの“サイズ拡張しての比較”
二重圏の特殊なものとして、単一対象の二重圏や“やせた二重圏”（フレーム〈境界〉ごとに二重射が高々ひとつ）があります。それについては以下の過去記事達で話題にしています。
二圏があれば即座に二重圏を作れる方法として、クインテット構成があります。以下の過去記事で書いています。
通常の圏も、射のあいだの等式を2-射とみなして2-圏です。よって、普通の圏〈1-圏〉$`\cat{C}`$ からもクインテット構成で二重圏を作れます。以下の過去記事でその構成法を扱っています。
上記過去記事の二重圏は：
- 対象： もとにする圏の対象
- タイト射： もとにする圏の射
- プロ射： もとにする圏の射
- 二重射： 可換四角形
実は、アロー圏〈arrow category〉 $`\mrm{Arr}(\cat{C})`$ はそのようにして作った二重圏です（二重圏として扱っていないとしても）。アロー圏と“バンドル達の圏”と“可換四角形達の圏”は同じものです。いずれも二重圏とみなせます。
可換四角形を特にプルバック四角形に限っても二重圏です。プルバック四角形達の二重圏はアロー圏の部分圏として構成できます。これは、アロー圏からのコドメイン関手のデカルト射の圏（を二重圏に仕立てたもの）です。デカルト射については、以下の過去記事を見てください。
“アロー圏からのコドメイン関手のデカルト射”という概念は複雑ですが、出来上がる二重圏はそれほど複雑ではありません。
- 対象： もとにする圏の対象
- タイト射： もとにする圏の射
- プロ射： もとにする圏の射
- 二重射： プルバック四角形
順序に関連する二重圏として、順序ブリッジ達の二重圏があります。以下の過去記事で記述しています。
順序ブリッジ達の二重圏では：
- 対象： 順序集合
- タイト射： 単調写像
- プロ射： 順序ブリッジ〈モジュラー関係〉
- 二重射： 制限包含関係〈順序ブリッジのあいだの射〉
次の過去記事では、線形代数を展開するためのフレームワークとしての二重圏 $`\mbf{DLA}`$ を定義しています
二重圏 $`\mbf{DLA}`$ では：
- 対象： 有限次元内積ベクトル空間（実数係数）
- タイト射： 線形写像
- プロ射： 双線形形式
- 二重射： 制限等式
ここで、制限等式と呼んでいるものは、以下の状況における等式 $`A(\hyp, \hyp) = B(\widetilde{F}, G)`$ のことです。
$`\quad \xymatrix{
V \ar[r]|{/}^{A} \ar[d]_F
\ar@{}[dr]|{\alpha}
& W \ar[d]^G
\\
X \ar[r]|{/}_{B}
& Y
}\\
\quad \In \mbf{DLA}`$
詳細は「線形代数の二重圏 Double Linear Algebra」を見てください。
圏 $`\cat{C}`$ のなかのスパンの圏 $`\mrm{SPAN}(\cat{C})`$ や、ホム圏を同型同値関係で割って作った $`\mrm{Span}(\cat{C})`$ は、2-圏や二重圏の構造を入れられます。スパンの二重圏も典型的な二重圏です。以下の過去記事で、1-圏におけるスパンと2-圏におけるスパン、スパンのあいだの射について解説しています。
スパンの二重圏では：
- 対象： もとにする圏の対象
- タイト射： もとにする圏の射
- プロ射： もとにする圏のなかのスパン、またはスパンの同型同値類
- 二重射： スパンのあいだの射
スパンの足〈foot〉をモナドで修飾することもできます。その場合については以下の過去記事を参照。
以下の最近（2025年4月）の記事で、相対モナドを使って行列計算の圏を構成しています。
当該記事では二重圏に触れてませんが、次のような二重圏を容易に構成できます。
- 対象： 集合（行列のインデキシング集合）
- タイト射： 写像〈関数〉
- プロ射： 行列
- 二重射： 行列のあいだの制限変換
制限変換とは、行列の成分のあいだになんらかの“変換”（成分ごとの射の集まり）があるとき、制限（タイト射ペアによるプレ結合引き戻し）と変換を組み合わせたものです。
行列の成分としては、自然数や非負実数のような半環の要素を考える場合が多いですが、圏の対象や射を行列成分にすることもできます。以下の古い過去記事で書いています。
ちょっと毛色が変わった二重圏の例として、半グラフを対象とする二重圏があります。
この二重圏では：
- 対象： 半グラフ
- タイト射： 半グラフのあいだの準同型写像〈半グラフ射〉
- プロ射： 半グラフ変形
- 二重射： 半グラフ2-射（上記過去記事にはハッキリ書いてない）
圏論で重要な概念である随伴系〈随伴関手ペア〉は、それらをすべて集めて組織化すると二重圏になります。以下の過去記事で記述しています。
けっこう複雑な構造になりますが、その構成素は以下のようです。
- 対象： 圏
- タイト射： 関手
- プロ射： 随伴系〈adjunction | adjoint system〉
- 二重射： 互いにメイト〈mate〉である2つの自然変換
随伴系、遷移系、丹原プロ関手などを組織化すると、2次元では足りずに3次元、あるいはそれ以上の次元の構造になるようです（以下の過去記事達を参照）。
最近、「これも面白いなー」と思っている二重圏があります。一般化距離空間〈generalized metric space〉や、そのもとになる構造に関連する二重圏です。
集合としての $`\mbf{R}_{\ge 0}^\infty`$ を次のように定義します
$`\quad \mbf{R}_{\ge 0}^\infty := \{x\in \mbf{R} \mid x \ge 0\}\cup \{\infty\}`$
この集合上に、普通の足し算と全順序を入れた構造も同じく（記号をオーバーロードして） $`\mbf{R}_{\ge 0}^\infty`$ と書きます。
以下のような二重圏 $`\mbf{Discrp}`$（"discrepancy" から）を考えます。
- 対象： 集合
- タイト射： 写像
- プロ射： 直積集合から $`\mbf{R}_{\ge 0}^\infty`$ への関数
- 二重射： 制限順序関係
制限順序関係の説明をします。以下の状況を考えます。
$`\quad \xymatrix{
A \ar[r]|{/}^F \ar[d]_f
\ar@{}[dr]|{\alpha}
&B \ar[d]^g
\\
C \ar[r]|{/}_G
&D
}\\
\quad \In \mbf{Discrp}
`$
ここで、$`A, B, C, D`$ は集合、$`f, g`$ は単なる写像、$`F, G`$ は次のような関数です。
$`\quad F : A\times B \to \mbf{R}_{\ge 0}^\infty \In \mbf{Set}\\
\quad G : C\times D \to \mbf{R}_{\ge 0}^\infty \In \mbf{Set}
`$
二重射 $`\alpha`$ は、以下のような順序関係（比較）です。順序が逆のように思えるでしょうが、これであってます。
$`\text{For }a\in A, b\in B\\
\quad F(a, b) \ge G(f(a), g(b))
`$
この定義で簡単な二重圏が出来上がります。この二重圏も十分に面白いと思います。詳細は（たぶん）いずれ。
