昨日の記事「何故にあえてJ言語を学ぶのか？」のタイトルの「J言語」を、「確率」に置換してみました。J言語のマイナーさに比べれば、確率論はメジャーな学問です。でも、僕にとっては難解という点では共通です。
確率論の枠組もよく分かりませんが、個々の具体例も難しい！ 「ベルトランの箱」「バナッハのマッチ箱」「ポリアの壺」「エーレンフェストの壺」とか、なぜか「人名＋容器」で命名された著名な問題群がありますが、理解も計算も出来ません、苦手だ。
そんな僕の確率学習に対する動機は、超フィルター（ultrafilter）と確率遷移系（stochastic/probabilistic transition system）です。
集合X上の超フィルターは、標本空間X上の確率測度との類似性があります（「超フィルター（ultrafilter）って何なんだ： 点？ 確率測度？」参照）。そして、集合Xにその超フィルター拡張UF(X)を対応させる関手をベースにモナドを作れます（「超フィルターモナドの位相的な解釈」参照）。UF(X)はXの拡張なので、X⊆UF(X) とみなすことができて、もともとのXには存在しなかった超準な点を追加したのがUF(X)です。
可測空間X上の確率測度の全体をPM(X)とすると、PM(X)は超フィルター拡張モナドと似た性質を持つのではないか？ と期待できます。実際、三十数年前、1981年にミシェル・ジリィ（M. Giry）がポーランド空間*1の圏の上に、現在、ジリィ・モナドと呼ばれるモナドを構成しています。
また、それよりさらに二十年ほど前の1962年、ローヴェル（Lawvere）は、公開はされなかった論文 "The category of probabilistic mappings" で、確率写像の圏を定義しているようです。ローヴェルの確率写像の圏は、ジリィ・モナドのクライスリ圏だと思ってもいいようです（たぶん）。
なんらかの条件を付けて扱いやすくした可測空間＆可測写像の圏をMとして、M上のジリィ・モナドが構成できたとして、それを G = (PM, μ, η) とします。ジリィ・モナドGのモナド単位 ηX:X→PM(X) は、Xの点をディラック測度として確率測度とみなすものです。モナド乗法 μX:PM(PM(X))→PM(X) は、あんまりよく分からんのですが、関数空間上の積分のようなものかと。ともかく、圏M上のジリィ・モナドGによるクライスリ圏をPとします。
圏Pの射が、（おそらくは）ローヴェルの言う確率写像（probabilistic mappings）です。確率写像は確率関係（stochastic relations）と呼ばれることもあります。なぜなら、Pの射は、集合のあいだの関係を測度化・確率化したものとみなせるからです。おおよそ、次の対応関係があります。（確率関係と確率写像は同義です。）
| 普通の関係圏 | 確率関係圏 |
|---|---|
| 集合 | 測度空間 |
| 写像 | 可測写像 |
| 部分集合 | 確率測度 |
| べき集合モナド | ジリィ・モナド |
| 関係 | 確率関係 |
単なるべき集合モナドより、空集合を除いたべき集合を考えたほうがジリィ・モナドに近いかも知れません。一方、ジリィ・モナドを拡張して、未定義を許す確率部分写像（確率部分関係）を定義することもできます。
関係圏Relが、集合圏Setの上の共変べき集合モナドPowのクライスリ圏（と圏同値）であるのと同様に、確率関係圏（＝確率写像圏）PはM上のジリィ・モナドGのクライスリ圏なのです。
Sを関係圏Relの対象（単なる集合）として、自己射 f:S→S in Rel は、非決定性遷移系の生成作用素となります。f0 = idS, f1 = f, f2 = f;f, f3 = f;f;f, ... という系列が、離散時間パラメータ 0, 1, 2, 3... に沿った非決定性の時間発展を表します。同様に、確率関係圏Pにおける自己射fは確率遷移系の生成作用素となります。fの繰り返し結合（iteration）f0, f1, f2, f3, ... は離散時間マルコフ過程を表すはずです。
特にSがn個の要素からなる有限集合のときは、圏Pの自己射 f:S→S は、n次の確率遷移行列となります。通常のモナドの理論では、ジリィ・モナドGが有限集合の圏からはみ出すのでうまくないですが、アルテンキルヒ等の相対モナドを使うと、有限集合の圏だけで自己完結的に（正方行列とは限らない）確率遷移行列の圏を構成できるかもしれません（未確認、アヤシイ）。
ところで、確率遷移行列の列ベクトルは、成分が非負で総和ノルムが1のベクトルです。つまり、ノルム球と正錐（非負錐と言うべきか？）の共通部分、正球面とでも呼ぶべき図形に入るベクトルです。そういう正単位ベクトルを何個か並べると（正方行列とは限らない）確率遷移行列が出来るわけです。
ここで、総和ノルム以外、二乗和ノルム（ユークリッド／ヒルベルト・ノルム）とか最大値ノルムでも同じような議論ができるでしょう。ノルムの変更を、「マスロフ式算数がやたらに面白いんですけど」で述べたプランク定数（の逆数）でパラメトライズしたらなんか面白いような気もします（面白くなくてもワタシャ知らないけど）。
確率遷移行列の積の公式を連続化すると、チャップマン-コルモゴロフの公式でしょうが、これを確率関係圏の枠組みで考えるとどうなるのでしょうかね？ 離散時間マルコフ過程の1ステップが圏の射ですから、連続時間なら無限小な射が必要そうです。「無限小な射」って、それなに？
なんだかよく分からないことばかりですが、少しでも分かると楽しいかも知れないので、確率の勉強をしようかな、と。
最後に参考文献：
- Title: A categorical foundation for Bayesian probability
- Authors: Jared Culbertson, Kirk Sturtz
- URL: http://arxiv.org/abs/1205.1488
- Title: Characterizing the Eilenberg-Moore Algebras for a Monad of Stochastic Relations
- Author: Ernst-Erich Doberkat
- URL: https://eldorado.tu-dortmund.de/bitstream/2003/2717/1/147.pdf
- Title: The Metric Monad for Probabilistic Nondeterminism
- Author: Franck van Breuge
- URL: http://www.cse.yorku.ca/~franck/research/drafts/monad.pdf
