テンソル記法の決定版は（たぶん）これだ！ - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

昨日話題にしたネルソン〈Edward Nelson〉のテンソル記法は、けっこう便利だと思うのですが、テンソル空間 -- 例えば V $\otimes$ W^* に対して N(V/ W) = 2-Lin((V⁺, W), R) を引き合いに出すところが、人によっては分かりにくいでしょう。あまり普及しないのも、それが原因かも知れません。

ネルソン記法にも不満な点があるわけです。伝統的（あるいは因習的）記法は、もちろん不満だらけです。ディラックのブラケット記法は「よくできているなー」と感心するのですが、やはり幾つかの不満があります。

これら諸々の不満を並べてみて、不満を解消できるテンソル記法はないものか？と、しばらく考えてみました。現時点において、次のような記法が（僕の判断基準では）最良だと思います。

名称	記法	意味
適用（評価）	$< f\mid x>$	線形形式 f をベクトル x に適用した値
適用（評価）	$f x$	上と同じ（併置による略記）
基底ベクトル	${}^I[{}_i ]$	i∈I で識別される基底ベクトル
基底コベクトル	${}^I[{}^i ]$	i∈I で識別される基底コベクトル
左スカラー乗法	$s\triangleright x$	ベクトル x の s 倍
右スカラー乗法	$x\triangleleft s$	ベクトル x の s 倍
テンソル積	$x \otimes y$	ベクトル x とベクトル y のテンソル積
基底テンソル	${}^I[{{}_{i,j}}^k ]$	${}^I[{}_i ] \otimes {}^I[{}_j ] \otimes {}^I[{}^k ]$ の略記

このなかで、「i∈I で識別される」がポイントです。I はインデックス集合〈indexing set〉ですが、次のどの解釈をしても大丈夫です。

I は番号（整数）の集合である。
I は（番号とは限らない）ラベルの集合である。
I はベクトル空間 V の基底である。
I はベクトル空間 V の双対空間 V^* の基底である。

もちろん、心のやすらぎのために、どれかひとつの解釈に固定することも出来ます。

伝統的記法が困る点のひとつは、併置による略記が使われ過ぎなことです。上記の記法では異なる演算子記号を与えている次の演算達、そしてスカラーの掛け算がすべて併置で表記されます。

適用
左スカラー乗法
右スカラー乗法
テンソル積
スカラーの掛け算

[追記]伝統的テンソル計算で、併置が一番使われる場面は“縮約”ですね。縮約は、テンソル積の順序交換と適用の組み合わせとも言えます。成分だけの計算だと縮約は簡単ですが、（成分ではなくて）テンソルの縮約をテキストで書くのは面倒です。このことも、テンソル（の実体）を扱わずに成分だけを扱う理由かも知れません。[/追記]

これらの演算に別な記号を明示的に使うのは、確かに煩雑です。省略したくなります。省略したいなら省略してもかまいません。問題は、明示的に書きたいときに書く方法がないことです。ちゃんと書く方法があるのなら、そこから徐々に省略はできます。

例として、次の基本的な展開公式を取り上げましょう。

$x = \sum_{i\in I} (\; < {}^I[{}^i ] \mid x> \triangleright\; {}^I[{}_i ] \;)$

これは、ベクトル空間 V の基底 { ${}^I[{}_i]$ | i∈I }⊆V により、ベクトル x∈V を展開しています。

まず、インデックス集合 I は了解されているものとして省略します。

$x = \sum_{i} (\; < [{}^i ] \mid x> \triangleright\; [{}_i ] \;)$

適用は併置で略記します。

$x = \sum_{i} (\; ( [{}^i ] x )\triangleright\; [{}_i ] \;)$

慣例に従い、 $[{}^i ] x$ を $x^i$ と書きます。

$x = \sum_{i} (\; x^i \triangleright\; [{}_i ] \;)$

$[{}_i]$ を、ディラックのケットベクトル $|i\rangle$ で書くと、

$x = \sum_{i} (\; x^i \triangleright\; |i\rangle \;)$

左スカラー乗法も併置で略記します。

$x = \sum_{i} (\; x^i |i\rangle \;)$

ケットベクトル $|i\rangle$ の代わりに $b_i$ （i でインデックスされた基底ベクトル）とすれば、

$x = \sum_{i} (\; x^i b_i \;)$

アインシュタインの規約に従い総和記号を省略すると、

$x = ( x^i b_i )$

$b_i$ は了解されているものとして省略すると、

$x = ( x^i )$

省略し過ぎた気がするので、インデックス集合 I を復活させれば、

$x = ( x^i )^{i\in I}$

となります。

$( x^i )$ とか $( x^i )^{i\in I}$ は、最終的に得られる表示です。簡略な記法では、このような表示がどうやって得られたのか？関与している対象物と操作〈演算〉、メカニズムを推測することが出来ません。表示を機械的に取り扱う手順だけは出来ても、背後の実体は謎のまま、またはボンヤリ曖昧に想定するだけになります。

最初の記法 $\sum_{i\in I} (\; < {}^I[{}^i ] \mid x> \triangleright\; {}^I[{}_i ] \;)$ は確かに煩雑ですが、対象物・操作・メカニズムへの豊富なヒントが含まれます。煩雑さという代償を払って、明確で間違いが少ないというメリットを得ているのです。そしてその煩雑さは後からいくらでも解消できます（今やってみたように）。煩雑さの解消の逆向きの行為、つまり、省略されまくった記法から背後にある対象物・操作・メカニズムを推測するのは極めて困難です。

今回は記法を出しただけで、背後にある対象物・操作・メカニズムの説明はしてませんが、具体的な構文そのものより、「簡潔さは犠牲にしても、省略や同一視を避けて、明確で間違いにくい構文にする」という構文設計のポリシーが重要です。伝統的記法は、「明確さや間違いにくさは犠牲にしても、省略や同一視を多用して、簡潔な構文にする」というポリシーを採用しています。伝統的記法は既に広く使われているので、その欠点を補うために、逆のポリシーの構文があってもいいと思うのです。

[追記]「決定版」と言いながら「修正が入るのはどういうこった!?」なんだけど、タイトルに「たぶん」を入れておいたから許して。

適用〈評価〉は、通常の意味より一般化して、 $\cdots\otimes A^*$ と $A\otimes\cdots$ の並びから A^* と A を消すような演算に拡張。絵を描かないと分かりにくい。論理で言えば￢A or A を排中律で消すこと。とりあえず、一般化適用〈一般化評価〉と呼んでおくか。
併置による略記は、原則的になし（オフィシャルには認めない）とする。省略・略記の規則は別に設ける。
結合〈合成〉を忘れていた。
双対に左双対 A^* と右双対 ^*A の別があったほうがよいのかな？
フレーム概念を導入する。フレームは F:I→V、コフレームは G:J→V^* で、像集合が基底になるもの。
縮約については別に述べる。

修正版の表：

名称	記法	意味・注意
一般化評価	$< y \mid x>$	(絵を描かないと説明し難い)
結合（合成）	$g \circ f$	反図式順
基底ベクトル	${}_F[{}_i ]$	フレーム F により、i∈I で識別される基底ベクトル
基底コベクトル	${}_F[{}^i ]$	フレーム F により、i∈I で識別される基底コベクトル
左スカラー乗法	$s\triangleright x$	ベクトル x の s 倍
右スカラー乗法	$x\triangleleft s$	ベクトル x の s 倍
テンソル積	$x \otimes y$	ベクトル x とベクトル y のテンソル積
基底テンソル	${}_F[{{}_{i,j}}^k ]$	${}_F[{}_i ] \otimes {}_F[{}_j ] \otimes {}_F[{}^k ]$ の略記