檜山の生存確認／安否情報用の小ネタを書きます（5日間あいだが空きましたが、僕は元気です）。
多様体上の流れ〈flow | フロー〉については、「流れとリー微分 // 大域的な曲線（運動）と流れ」とその直後の節「局所的な流れ」で説明しています。この2つの節に対して、ちょっと補足します。
上記の過去記事で、「時間的に大域的」という言い方を使っています。
ここでの「大域的」は時間的大域性で、無限の過去から無限の未来まで続く運動だということです。
空間的な大域性と区別しにくいので、「時間的に大域的」を長期的〈long-term〉と呼ぶことにします。「時間的に局所的」は短期的〈short-term〉です。
| 空間的性質 | 大域的 | 局所的 |
|---|---|---|
| 時間的性質 | 長期的 | 短期的 |
多様体M上の流れφが大域的長期的ならば、φ:M×R→M という写像で、特に言うべきことはありません。いつでも大域的長期的な流れが在るとは限らないので、局所的短期的な流れ φ:M×R⊇→M が必要になります。ここで、記号'⊇→'は部分写像〈partial map〉を表します。つまり、φは、M×Rの部分集合でだけ定義されています。その部分集合がφの定義域〈domain of definition〉です。
φの定義域を def(φ)⊆M×R と書きます。たいていの場合、def(φ) として次の形の集合を考えれば十分です。
- 開集合 U⊆M と 正実数εに対して、{(p, t)∈M×R | p∈U かつ -ε < t < ε}
定数値εの代わりに、正実数値関数 δ, ε:U→R>0 を使えばもっと一般化できます。
- {(p, t)∈M×R | p∈U かつ -δ(p) < t < ε(p)}
時刻0での位置の集合 U×{0}⊆M×R は必ず定義域に含まれます。
定義域がΔであるM上の局所的短期的流れの全体を LFlow(Δ, M) と書くことにします（local flow のつもり）。注意すべきは、大域的長期的流れも特殊な局所的短期的流れであることです。定義域を特定しないすべての局所的短期的流れの集合（大域的長期的流れも含む）は LFlow(M) です。先に述べたように、LFlow(U×(-ε, ε), M) を考えればたいてい間に合います。
「流れとリー微分 // 大域的な曲線（運動）と流れ」で定義した流れの速度ベクトル場〈velocity vector field〉は、局所的短期的流れに対しても定義できます（定義方法は同じ）。流れの速度ベクトル場は、次のような写像になります。
- VVF:LFlow(U×(-ε, ε), M)→ΓM(U, TM)
ここで、ΓM(U, TM) は、Mの開集合U上で定義された接ベクトル場（接ベクトルバンドルのセクション）の集合です。流れの定義域としてより一般的な形を許しても、VVFは定義できます。
- VVF:LFlow(Δ, M)→ΓM(U, TM) where Δ = {(p, t)∈M×R | p∈U かつ -δ(p) < t < ε(p)}
さて、問題はVVFの“逆写像”です。一般的には、VVFの逆写像は存在しません（特別な場合には存在します）。つまり、X∈ΓM(U, TM) を決めたときに、Xを速度ベクトル場とする流れは決まりません。
「決まりません」の意味が微妙なので、次のような問を想定すると、よりハッキリするでしょう。
- U上の局所ベクトル場Xに対して、流れの定義域 Δ = {(p, t)∈M×R | p∈U かつ -δ(p) < t < ε(p)} の δ, ε を好き勝手に選んだとき、Xを速度ベクトル場としてΔを定義域とする流れが存在するか？
- U上の局所ベクトル場Xに対して、流れの定義域 Δ = {(p, t)∈M×R | p∈U かつ -δ(p) < t < ε(p)} の δ, ε をうまいこと選んだとき、Xを速度ベクトル場としてΔを定義域とする流れが存在するか？
好き勝手に選ぶ場合は、長期的流れになるように（δ = ε = ∞ と）選んでもいい（好き勝手なんだから）ので、次の問に特殊化できます。
- 局所ベクトル場Xに対して、Xを速度ベクトル場とする長期的流れが存在するか？
これは一般的にはNOです（YESとなる特別な場合はあるが）。例えば、M = U を2次元の帯状領域 {(x, y)∈R2 | 0 < x < 1} として、大域的クトル場を定数値ベクトル場 X(x, y) := (1, 0) （x方向に速度1で進む）とすると、運動（流れの流線）は長期的運動にはなりません。
運動の継続期間 -δ(p) < t < ε(p) をpごとにうまいこと選べば、Xを速度ベクトル場とする流れの存在は保証されます（常微分方程式の解の存在から）。
さらに問題になるのは、「うまいこと選ぶ」選び方は一意的か？ です。ある継続期間で流れが存在するなら、継続期間をより短く取り直してもいいので、文字通りの一意性はありません。「一意的か？」の意味は、「The・うまいこと」のような規準的〈canonical〉な継続期間の選び方があるか？ です。MやUを特定しない一般論としては、この問は難しすぎますし、規準的な継続期間の選び方が必要になるわけでもありません。
結局、次のような事実を前提にすることになります。
- U上の局所ベクトル場X（U = M なら大域ベクトル場）に対して、流れの定義域 Δ をうまいこと選べば、Xを速度ベクトル場としてΔを定義域とする流れ（長期的とは限らない）が存在する。
- 流れの定義域のうまい選び方は一意的ではない。が、Δ と Δ' を定義域とする流れは、Δ∩Δ' 上では一致する。
