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［参照用 記事］

反転可能マルコフ圏は条件化可能

雑記／備忘

\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\In}{\text{ in } } \newcommand{\id}{\mathrm{id} } \require{color} \newcommand{\Keyword}[1]{ \textcolor{green}{\text{#1}} }% \newcommand{\For}{\Keyword{For } }% \newcommand{\Define}{\Keyword{Define } }% \newcommand{\Declare}{\Keyword{Declare } }% \newcommand{\Where}{\Keyword{Where } }% 表題の事実は、長／ジェイコブスの以下の論文の p.11 Proposition 3.10 として記述されています。

  • Title: Disintegration and Bayesian Inversion via String Diagrams
  • Authors: Kenta Cho, Bart Jacobs
  • Submitted: 29 Aug 2017 (v1), 8 Feb 2019 (v3)
  • Pages: 39p
  • URL: https://arxiv.org/abs/1709.00322

が、毎度「どうやるんだっけ？ ウーン、ワカラン」となるので絵を載せておきます。

\cat{C} をマルコフ圏として、次の射（同時分布）を考えます。

\quad p:{\bf 1} \to X\otimes Y \In \cat{C}

\cat{C} は反転可能、つまり任意の射と分布（域が {\bf 1} である射）に対してベイズ反転が存在するとします。射 g は次のように定義します。右肩のダガーマークがベイズ反転を意味します。

\Declare g:X \to X\otimes Y \In \cat{C}\\ \Define g := (\pi^1_{X,Y})^{\dagger p}\\ \Where\\ \quad \pi^1_{X,Y} := \id_X \otimes !_Y

g は第一射影 \pi^1_{X,Y} のベイズ反転ということです。

絵を描くときの約束は：

  • X ： 赤いワイヤー
  • Y ： 青いワイヤー
  • p ： 三角
  • g ： 斜線網掛けの四角

ベイズ反転の公理的な特徴付けから次が成立します。

射 f は次のように定義します。

\Declare f:X \to Y \In \cat{C}\\ \Define f := g; \pi^2_{X, Y} = (\pi^1_{X,Y})^{\dagger p}; \pi^2_{X, Y}

この f が、最初に与えられた同時分布 p の条件化になっていることを示します。そのためには、次の等式を示せばOKです。

\quad p_{!1};\Delta_X ( \id_X \otimes f) = p\\ \Where\\ \quad p_{!1} := p;\pi^1_{X, Y} = p;(\id_X \otimes !_Y)

絵算で示しましょう。

左から右に見ていくことにして； 1番目から2番目は、対角射 \Delta の余可換律です。2番目から三番目はスワップ〈対称〉に沿って射 f をスライドさせています。

1番目から2番目は、g が第一射影のベイズ反転であることを使って変形（黄緑の枠内）しています。2番目から3番目は特に何もしてません（絵を整理しただけ）。

3番目から4番目は、対角射の余単位律です。最後はスワップを二度行うと何もしない、ということです。

以上で目的の等式

\quad p_{!1};\Delta_X ( \id_X \otimes f) = p

が示せました。f が p の条件化になっています。つまり、反転可能マルコフ圏は条件化可能であることが分かりました。