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［参照用 記事］

デカルト構造の無限タワー： 怖がらずに登れ

雑記／備忘

「マイクロコスモ原理と構造の無限タワー」に、yamさんからコメントをいただきました。yamさんの疑問（モヤモヤ）は、少し前に僕が持っていた疑問（モヤモヤ）とたぶん同種のものでしょう。その疑問（モヤモヤ）は、「もう、無限に続くタワーを登るしかないんだな」と僕が覚悟を決めた動機のひとつでした。

順序対（ペア） (a, b) はどっから来るのでしょう？ その起源、故郷はどこにあるのでしょうか？ -- これがその疑問（モヤモヤ）です。順序対（ペア）は無限の彼方、天空の世界からやって来ると考えざるを得ず、順序対（ペア）の故郷を訪ねるには、デカルト構造の無限タワーを登るしかないようです。（下の絵はタワーじゃなくて豆の木）

*1

内容：

記法の変更と追加

「マイクロコスモ原理と構造の無限タワー」と記法を少し変えます。それについては、メモ編の次の記事に書きました。

太字や下線などの装飾を使うのが辛い（欠点もある）ので、ダッシュ（プライム、シングルクォートで代用）を使うことにしたのが大きな変更点*2。例えば、Y(U, U) は Y'(U, U) とします。それと、単位対象（0-射）と単位射（1-射）を区別します。

  • 単位対象は1（イチ）と書く。とある圏Cに注目してるなら、1∈|C|。
  • 単位射はi（小文字アイ）と書く。i:1'→C なので、iはCの外にある射。

さらにいくつかの約束をここで追加します。

中置演算子記号を前置演算子記号（関数記号）にしたいときは、Haskellのセクション記法と同様に丸括弧で囲みます。例えば、掛け算 a×b は (×)(a, b) とも書きます。僕は、(×)をしばしばYと書いてました。Yを使う理由は「モノイドやモノイド圏の指標 補足解説」に書いています。

n-圏の結合〈composition〉はイッパイあり得ますが、それらを一律に「#」で表すことは「マイクロコスモ原理と構造の無限タワー」でやりました。このとき、上下の添字（#nk の n, k）は省略することがあります。自然変換（成分表示）の下添字も明らかなら省略することがあります。省略は好ましくないけど、簡潔さのため（めんどうだしさぁ）。

なにか対象A（アトムかも知れないし、集合かも知れないし、圏かも知れないし、関手かも知れないし、2-圏かも知れないし、…）があるとき、その恒等を一律にA^と書きます。これはDOTNの流儀です。AとA^を同一視してしまう流儀もあります -- 簡潔だけどちょっと分かりにくいので採用しません。

デカルト構造

小さいデカルト圏 C = (C, ×, 1, α, λ, ρ) を考えます。圏論的直積がデカルト・モノイド積×で与えられます。デカルト・モノイド積の単位対象1は、Cの終対象になっています。α, λ, ρ は、モノイド圏としての律子（律子に関しては「律子からカタストロフへ」を参照）です。

デカルト圏Cのデカルト・モノイド積×のプロファイルは：

  • (×):C×C→C in Cat

んっ？ … オイオイオイオイ、C×C の×って何だよ？ -- これは2-圏Catに備わったデカルト・モノイド積です。Catは単なる2-圏ではなくて、デカルト2-圏だったのです。Cの構造の一部である×とCatの構造の一部である×を区別するにはダッシュ記法（「モノイドやモノイド圏の指標 補足解説」参照）を使います。

  • (×):C×'C→C in Cat
  • (×'):Cat×''Cat→Cat in 2-CAT

2-CATは、必ずしも小さくない2-圏からなる3-圏とします。2階層分だけ書きましたが、(×''), (×'''), (×''''), ... の定義は無限に続きます。この無限性から逃れようがないです。でも、安定するなら平気です。

ここであやしいことを口走りますが； 「安定するなら平気」と思うことが、無基底・無限階層の世界における「悟り」なんだと思います。無限性を拒絶せずに受け入れるのです。

デカルト圏に話を戻します； デカルト圏は単なるモノイド圏以上のものです。デカルト構造を記述するには、モノイド構造に対し、さらに構成素を付け加える必要があります。追加の構成素は、終射 !、射影 π1, π2、対角 δ です。集合圏は小さな圏ではないですが、説明のために集合圏で言えば：

  • !A:A→単元集合 は、単元集合への唯一の写像
  • (π1)A,B:A×B→A は、第一射影の写像
  • (π2)A,B:A×B→B は、第ニ射影の写像
  • δA:A→A×A は、a|→(a, a) という写像

!, π1, π2, δ は自然変換ですが、そのプロファイルは、2-圏Catのなかで次のように書けます。

  • ! :: C^⇒!'C#i : C→C in Cat （i:1'→C in Cat）
  • π1 :: (×)⇒(π'1)C,C : C×'C→C in Cat
  • π2 :: (×)⇒(π'2)C,C : C×'C→C in Cat
  • δ :: C^⇒δ'C#(×) : C→C in Cat

ここで：

  • !' :: Cat^⇒!''Cat#i' : Cat→Cat in 2-CAT （i':1''→Cat in 2-CAT）
  • π'1 :: (×')⇒(π''1)Cat,Cat : Cat×''Cat→Cat in 2-CAT
  • π'2 :: (×')⇒(π''2)Cat,Cat : Cat×''Cat→Cat in 2-CAT
  • δ' :: Cat^⇒δ''Cat#(×') : Cat→Cat in 2-CAT

デカルト圏Cをホストする2-圏であるCatがデカルト圏であり、×', 1', α', λ', ρ', !', π'1, π'2, δ' を備えているのです。そのデカルト圏Catをホストする3-圏である2-CATもまたデカルト圏の構造（×''など）を持つのです。

「デカルト圏をホストする（より高次の）圏はデカルト圏である」というマイクロコスモ原理は無限に適用できるので、デカルト構造という構造は（上方）無限タワーを形成し、この無限タワーを通してしかデカルト構造の包括的理解は得られません。

幸いにも、デカルト構造の無限タワーは安定し、Catより上の次元（階層）では同じことの繰り返しになります。構造をホストする環境の次元はどんどん上がりますが、その環境の2-構造（0射, 1射, 2射 までの構造）しか関与しないので、神ならぬ我々でも無限の彼方まで見通すことができます。それが「安定する」の意味です。

無限タワーを恐れず、積極的に登ろうという気分を盛り上げるには、「高次圏： 無基底・無限階層 補足」、特にスザウィールの言葉を参照。

二項演算とペアリング

二項演算とペアリング（ペアを作る操作）は密接に関連しています。この二者の相関が、ジグザグ状の軌跡を描いて無限タワーを登っていくことになります。その様子を見てみましょう。

なんかの二項演算の中置演算子記号を・とします。a, b に対して a・b を考えることができます。とある範囲Aのなかでしか a・b は定義できないでしょう。つまり、a∈A, b∈A に対して（のみ）、a・b ∈A が定義される。

記号・を前置演算子記号（関数記号）に変更すると、a・b は (・)(a, b) と書けます。これはまた、ペア (a, b) を関数 (・) に入れた (・)((a, b)) とみなされて、次のプロファイルを得ます。

  • (・):A×A→A

集合の直積記号×は中置演算子記号です。集合 A, B に対して、A×B を考えることができます。直積といえども、とある範囲C（多くの場合はSet）でしか A×B は定義できないでしょう。つまり、A∈0C, B∈0C に対して（のみ）、A×B ∈0C が定義される。x∈0Y は、x∈|Y| と同じ意味です。

記号×を前置演算子記号（関数記号）に変更すると、A×B は (×)(A, B) と書けます。これはまた、ペア (A, B) を（二項）関手 (×) に入れた (×)((A, B)) とみなされて、次のプロファイルを得ます。

  • (×):C×'C→C

圏の直積記号×'は中置演算子記号です。圏 C, D に対して、…[以下省略]…

今述べたような文面は、いつまでもいつまでも続くのです。しかし、「同じことを言ってるだけじゃないか」となります。無限に続くが循環する、安定するのです。循環も含めてデカルト構造の無限タワーを構成します。

ここで重要な注意は、これぞデカルト構造の無限タワー〈The infinite tower of cartesian structures〉と呼べるモノは特にないことです。集合圏以外にデカルト圏はいくらでもあります。ひとつ選んだデカルト圏をホストする“より高次の圏”もいくらでもあります。いくらでもある選択肢の無限階層があり、そのなかから我々は目的や好みに応じてひとつの無限タワーを選ぶだけです。無限タワーが無限にあり、特別な基底はなく、それらは相互依存しています。

おわりに

デカルト構造の無限タワーは安定します。安定するので、ある階層から先は同じことの繰り返しになります。別な言い方をすると、指標と等式的法則により、あからさま〈explicitly〉に循環定義を書き下せるってことです。

循環定義を書き下す作業は、やれば出来ることですが自明ではありません。記法・図法の工夫をしないと、なかなかうまく書き下せないですし、意外に量があるんですよね。僕が見た範囲では、デカルト構造のキチンとした循環定義は公開されてないようです。内容的には“当たり前のことの再確認”なので、誰もやりたがらない作業なのかな？ できれば、デカルト構造の全貌（＝無限タワーの総体）を晒したいと思っています。

*1:画像： https://fanart.tv/movie/81005/jack-the-giant-slayer/ 映画『ジャックと天空の巨人』

*2:手書きのときは、オーバーラインがいいかも知れません。オーバーラインなら、2本、3本重ねることが出来て、比較的に視認性もいいですから。