「あー、なんか分かったかも」という気分。半グラフ達が作る圏や複圏〈オペラッド〉に関して長いことモヤモヤしてたのですが、霧が晴れそうです。これで、スケマティック系のまともな定式化も出来そう。
要するに道具立てが足りてなかったのです。その道具立てが表題の“圏達の圏のなかのスパン達の二重圏”です。なかなかに大規模・複雑な構造なんですが、これを使えばモヤモヤが解消できる手応えがあります。スケマティック系に関して「これでいける」と感じたのは実は初めてです。ずっと「これじゃない」感がつきまとっていたので。
“圏達の圏のなかのスパン達の二重圏”は、まったく新しい構造というわけではなくて、コンテキスタッド（旧称・依存アクテゴリー、「コンテキスタッド、包括圏、ハイパードクトリン」参照）を定義する舞台として、圏のあいだのスパンをプロ射とする二重圏が出てきています。今回のスパンは、片足に靴を履いている事と、ファイバー積の代わりにコンマ圏を使う点が異なります。
“圏達の圏のなかのスパン達の二重圏”そのものを紹介するだけでなく、経緯や動機の説明もします。というか、経緯や動機の説明が主たる内容です。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\msc}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\msf}[1]{\mathsf{#1}}
%\newcommand{\mbb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\In}{\text{ in }}
\newcommand{\msc}[1]{\mathscr{#1}}
%\newcommand{\mbb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\In}{\text{ in }}
%\newcommand{\twoto}{\Rightarrow }
%\newcommand{\op}{\mathrm{op} }
%\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
%\newcommand{\u}[1]{\underline{#1}}
%\newcommand{\o}[1]{\overline{#1}}
%\newcommand{\T}[1]{\text{#1}}
\newcommand{\hyp}{ \text{－} }
%\newcommand{\Iff}{ \Leftrightarrow }
%\newcommand{\Imp}{ \Rightarrow }
\newcommand{\proto}{\not\to}
\newcommand{\pcomp}{\diamond}
`$
内容：
スケマティック系の経緯
「スケマティック圏」という言葉（後で「スケマティック系」にリネーム）を最初に出したのは「半グラフからシステムの記述へ // スケマティック圏」ですが、あやふやなことが書いてあります。少しマシな記述は、「スケマティック圏： お絵描きできる場所」より：
スケマティック圏は、単なる（構造付きの）圏ではなく、圏と複圏〈オペラッド〉が一緒になった構造として定義します。よって、これを圏と呼んでいいかは疑問ですが、いちいち「圏類似構造」というのも鬱陶しいので、「圏」という言葉を使います。
ここでのポイントは：
- 圏と複圏〈オペラッド〉が一緒になった構造
確かにそのとおりで、スケマティック系は、単なる圏でもないし単なる複圏でもありません。圏と複圏が混じり合ったような構造なのです。この混じり合いがクセ者で、なかなかうまい定式化が得られませんでした。
スケマティック系に様々なバリエーションがあるのは明らかなので、そのなかでも標準的なものを標準スケマティック系〈canonical schematic system〉（上記過去記事では「標準スケマティック圏」*1）と呼びましょう。標準スケマティック系をよく調べることが、その他諸々のスケマティック系を理解することに繋がります。
上記過去記事の少し後（4日後）の記事「回路代数とグラフ置換モナド」にて：
スケマティック圏 $`(\cat{C}, \cat{W})`$ は実際“圏ではない”し、主役はワイヤリング・オペラッド $`\cat{W}`$ で、余デカルト圏 $`\cat{C}`$ はオペラッドを作る台〈underlying thing〉として存在します。さすがに「圏」と呼ぶのは不適切だったので、スケマティック系〈schematic system〉に改名します。
スケマティック系 $`\cat{S}`$ に対して、そのワイヤリング・オペラッド〈ワイヤリング複圏〉は $`\cat{W}^\cat{S}`$ と書きます。「オペラッド〈operad〉」と「複圏〈multicategory〉」は完全に同義語として使います。
ここで「スケマティック系」にリネームしています。その構造は余デカルト圏 $`\cat{C}`$ と複圏〈オペラッド〉 $`\cat{W}`$ のペアとしています。圏 $`\cat{C}`$ と複圏 $`\cat{W}`$ は独立ではなくて、混じり合っている／絡み合っているんです。
以下、2箇所の「余デカルト」を打ち消し線〈取り消し線〉で消しています。「余デカルト」は間違いでした。詳細は「ボリソフ／マニン半グラフの圏： ハマったところ // 間違っていた： 併置は余デカルト積ではない」を参照してください。
[/追記]
スケマティック系の土台となる余デカルト圏 $`\cat{C}`$ を基礎圏〈ground category | GC〉、複圏 $`\cat{W}`$ をワイヤリング複圏〈wiring multicategory | WM〉またはワイヤリング・オペラッド〈wiring operad | WO〉と呼ぶことにします（ずっとそう呼んでますけどね）。
10日ほど前に「有限コレクションとスケマティックなシステム記述」という記事を書きました。ジャズ・マイヤース〈David Jaz Myers〉の圏論的システム理論〈categorical systems theory〉に触発されて、システム理論におけるワイヤリング図について書いたものです。そこで次のように書いています。
「有限コレクションとスケマティックなシステム記述 // ワイヤリング図達の複圏」より：
ワイヤリング図〈ストリング図テンプレート〉の全体は複圏〈multicategory〉の構造を持ちます。
...[snip]...
ワイヤリング図達の複圏を $`\cat{WD}`$ とします。$`\cat{WD}`$ が何者であるか？は、今は保留します。そういう複圏があるのだ、と思ってください。
ごく最近でも「保留」状態で、ワイヤリング複圏（とその土台となる基礎圏）の完全な記述が出来ていないのです。
問題点・疑問点
まず第一の、そして最大の問題・疑問は「スケマティック系って、それ何だよ？」です。そもそも、スケマティック系と呼べるような構造物が在るのか？ が問題ですが、多くの状況証拠から存在は疑っていません。既存の定式化も幾つもあります -- それらは僕の期待・希望にドンピシャで応えてはくれませんが。
「スケマティック系とその回路代数のネーミング」で決めたように、スケマティック系を表わす変数に $`\msc{S}, \msc{T}`$ （筆記体の S, T）などを使います。スケマティック系 $`\msc{S}`$ の基礎圏（余デカルト圏）は $`\cat{GC}^\msc{S}`$ （Ground Category から）、ワイヤリング複圏を $`\cat{WM}^\msc{S}`$ （Wiring Multicategoryから）とします。
スケマティック系の分かりにくいところは、圏 $`\cat{GC}^\msc{S}`$ と複圏 $`\cat{WM}^\msc{S}`$ の関係性です。これを調べるために、まずは標準スケマティック系について考えます。標準スケマティック系 $`\msf{CSS}`$ （Canonical Schematic System）の基礎圏は、ボリソフ／マニンの半グラフ達の圏 $`\mbf{BM}`$（「集合、商集合、標準射影： 半グラフ変形のために // 動機： 半グラフ変形の標準形」「ボリソフ／マニン半グラフと半グラフ変形の形式的定義」参照）が経験上妥当です。
$`\quad \cat{GC}^\msf{CSS} = \mbf{BM}`$
基礎圏 $`\mbf{BM}`$ から、いかにしてワイヤリング複圏 $`\cat{WM}^\msf{CSS}`$ が生まれるのか？ あるいは、$`\mbf{BM}`$ は $`\cat{WM}^\msf{CSS}`$ をどのように下支えしているのか？ これがハッキリさせるべき第一の課題です。標準スケマティック系 $`\msf{CSS}`$ が理解できれば、その他諸々のスケマティック系も射程に入ってくるでしょう。
第二の問題・疑問は、コステロの半グラフ達の圏 $`\mbf{Cos}`$ の位置付けです。$`\mbf{Cos}`$ は圏とは呼べない奇妙な構造物です。コステロの圏とその奇妙さは以下の過去記事達に書いています。
コステロの $`\mbf{Cos}`$ もなんらかのスケマティック系の一部のようです。そのスケマティック系を $`\msf{CosGr}`$（Costello's Graphs より。ネーミングルールは「スケマティック系とその回路代数のネーミング」参照）としましょう。$`\msf{CosGr}`$ の基礎圏は $`\mbf{BM}`$ でいいでしょう。が、ワイヤリング複圏ではなくて、ワイヤリング多圏〈wiring polycategory〉を定義しているようです。つまり：
$`\quad \cat{GC}^\msf{CosGr} = \mbf{BM}\\
\quad \cat{WP}^\msf{CosGr} = \mbf{Cos}
`$
ここで、$`\cat{WP}`$ はワイヤリング多圏のつもりです。スケマティック系のワイヤリング構造は多圏で与えられることもある、ということです。
コステロのスケマティック系 $`\msf{CosGr}`$ と標準スケマティック系 $`\msf{CSS}`$ の関係を明らかにするのが第二の課題です。
スケマティック系に関連して以下のような概念が登場します。
- 亜群とスピシーズ（「抽象テンソルシステムは縮約付き色彩的モノイド・スピシーズ」参照）
- 靴を履いたバンドル〈P-バンドル〉や靴を履いたスパン〈(P, S)-スパン〉（「モナドの靴を履いたスパンとファミリー、そして二重圏」参照）
- 複余有向コンテナ（「複余有向コンテナ〈オペラッドコンテナ〉によるオペラッドの定義」参照）
- 有限コレクション（「コレクション関手の新しい定義」参照）
観測事実としては、これらが実際に現れているのは知っています。しかしそれが登場する必然性／内在的理由が分からない。スケマティック系と上記の概念達の関係をクリアにするのが第三の課題です。
半グラフ（ワイヤリング図、ストリング図）の用途として、システムの記述を想定しています（「半グラフからシステムの記述へ」参照）。システムのインターフェイスとか、仕様・指標といった概念は、スケマティック系のなかで定義（あるいは再定義）できるはずです。実際に定義・再定義することは第四の課題です。
圏達の圏のなかのスパン達の二重圏
前節に挙げた課題を解決するには、道具立てが不足していました。新しく導入する道具立て（概念的フレームワーク）は“圏達の圏のなかのスパン達の二重圏”です。
$`\mbf{CAT}`$ を大きい（小さいとは限らない）圏達の2-圏とします。$`{_1 \mbf{CAT}}`$ は、圏と関手だけで自然変換は考えない1-圏とします。$`M`$ は $`{_1 \mbf{CAT}}`$ 上のモナドとします。記号の乱用で以下のように書きます。
$`\quad M =(M, \mu, \eta)/({_1\mbf{CAT}})`$
ほんとは2-圏 $`\mbf{CAT}`$ 上のスードモナドを使うべきでしょうが、とりあえず1-圏上の厳密モナドにしておきます。
左足〈left foot〉にモナド $`M`$ の靴を履かせた $`\mbf{CAT}`$ 内のスパンは次のように書けます*2。
$`\quad \xymatrix{
{}
&{\cat{X}} \ar[dl]_{\mrm{L}_\cat{X}}\ar[dr]^{\mrm{R}_\cat{X}}
&{}
\\
{M(\cat{A})}
&{}
&{\cat{B}}
}\\
\quad \In \mbf{CAT}
`$
記号の乱用で、スパン全体とスパンのボディに同じ名前をオーバーロード〈多義的使用〉しています。$`\mrm{L}_\hyp`$ と $`\mrm{R}_\hyp`$ はそれぞれスパンの左脚〈left leg〉と右脚〈right leg〉を表します。今の場合は、スパンの脚は関手です。
このスパンを二重圏のプロ射〈ルーズ射〉と考えるので、次のように書きます。
$`\quad \cat{X} : \cat{A} \proto \cat{B}`$
矢印についた斜線は否定の意味ではなくて、プロ射であることを示す単なる目印です。
スパンをプロ射と考える（予定な）ので、プロ結合（プロ方向の結合）を考える必要があります。スパンの結合はプルバック四角形を使って定義しますが、今は $`\mbf{CAT}`$ 内で考えている事と、左足にモナド $`M`$ の靴を履いている点が通常とは違います。
スパン $`\cat{X}:\cat{A}\proto \cat{B}`$ とスパン $`\cat{Y}:\cat{B}\proto \cat{C}`$ のプロ結合は、次の図式で与えられます。
$`\xymatrix{
{}
&{}
&{}
&{(M(\mrm{R}_{\cat{X}}) \downarrow \mrm{L_{\cat{Y}}})}
\ar[dl]\ar[dr] \ar@/_2pc/[dddlll]_{F} \ar@/^2pc/[ddrr]^{G}
\ar@{}[dd]|{\text{comma}}
&{}
&{}
\\
{}
&{}
&{M(\cat{X})} \ar[dl]\ar[dr]_{M(\mrm{R}_\cat{X})}
&{}
&{\cat{Y}} \ar[dl]^{\mrm{L}_\cat{Y}} \ar[dr]
&{}
\\
{}
&{MM(\cat{A})} \ar[dl]^{\mu_{\cat{A}}}
&{}
&{M(\cat{B})}
&{}
&{\cat{C}}
\\
{M(\cat{A})}
&{}
&{}
&{}
&{}
&{}
}\\
\quad \In \mbf{CAT}
`$
ここで：
- $`(M(\mrm{R}_{\cat{X}}) \downarrow \mrm{L_{\cat{Y}}})`$ は、2つの関手（$`M`$ を被せた“$`\cat{X}`$ の右脚”と“$`\cat{Y}`$ の左足”）のコンマ圏です。
- $`\text{comma}`$ と書いてある四角形は、コンマ圏を与える四角形〈コンマ四角形〉で、通常のプルバック四角形に相当します。
- $`\mu_\cat{A}`$ は、モナド $`M`$ のモナド乗法の成分です。
- プロ結合の結果は、左脚 $`F`$ と右脚 $`G`$ で与えられます。
上記のように定義される $`\cat{X}`$ と $`\cat{Y}`$ のプロ結合を $`\cat{X}\pcomp\cat{Y}`$ と書くことにします*3。
目的とする二重圏の二重射 $`\Phi`$ は次の形です。
$`\quad \xymatrix{
{\cat{A}} \ar[r]|{/}^{\cat{X}} \ar[d]_F
\ar@{}[dr]|{\Phi}
&{\cat{B}} \ar[d]^G
\\
{\cat{C}} \ar[r]|{/}_{\cat{Y}}
&{\cat{D}}
}`$
ここで：
- $`\cat{X}, \cat{Y}`$ は、左足にモナド $`M`$ の靴を履いたスパン
- $`F, G`$ は、通常の関手
- $`\Phi`$ は、スパン達と関手達の整合性〈compatibility〉を表わします。
整合性とは、上の図式を $`\mbf{CAT}`$ 内に展開したときにできる図式（下図）の四角形がキチンと埋まることです。
$`\quad \xymatrix{
{M(\cat{A})} \ar[d]_{M(F)}
\ar@{}[dr]|{\mrm{L}_\Phi}
&{\cat{X}} \ar[l]\ar[r]
\ar@{}[dr]|{\mrm{R}_\Phi}
\ar[d]|{\Phi}
&{\cat{B}} \ar[d]^G
\\
{M(\cat{B})}
&{\cat{Y}}\ar[l]\ar[r]
&{\cat{D}}
}\\
\quad \In \mbf{CAT}
`$
ここで：
- $`\Phi`$ は関手。二重射全体と同じ名前 $`\Phi`$ をオーバーロード〈多義的使用〉しています。
- $`\mrm{L}_\Phi`$ と $`\mrm{R}_\Phi`$ は、四角形を埋める $`\mbf{CAT}`$ の射〈自然変換〉。
二重射 $`\Phi`$ は、$`\mbf{CAT}`$ 内に展開したときは $`(\Phi, \mrm{L}_\Phi, \mrm{R}_\Phi)`$ の三つ組になります。
タイト射である関手達、プロ射であるスパン達、そして今定義した二重射達が、実際に二重圏を構成していることを確認するのは大変です。プロ方向の結合は厳密な法則を満たさず、up-to-isoで考える必要があり、一貫性の検証も必要です。
新しい道具立ての導入とセットアップに労力が費やされるのですが、スケマティック系のまっとうな定式化にはこの道具立てが必要です。
*1:「スケマティック圏： お絵描きできる場所」における標準スケマティック圏の定義は不十分で歪みがあります。現時点で見ると、ウマクない所が分かりますが、過去記事の修正はしません（そのままで残しておく）。
*2:左足と右足は対等なので、右足にモナドの靴を履かせてもかまいません。ここでは、プロ射の方向を左から右に取るために左足に靴を履かせています。それ以上の理由はありません。
*3:この記事内では '$`\pcomp`$' を使う機会はありませんでした。
