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分析と報告:不親切な書き方と迂闊な引用

過去の記事「リー微分は共変微分か? -- 代数的に考えれば」において、「リー微分は共変微分である」という間違ったことを書いていました。「間違った! リー微分は共変微分じゃない」に、間違いだと気付いた経緯が書いてありますが、その経緯はすごい回り道を経由しているので、端的な修正は「リー微分は共変微分か? -- 代数的に考えれば」への追記部分を参照してください。

「リー微分は共変微分である」と僕が間違って判断した原因は、共変微分の条件(公理)のひとつを忘れていて確認してなかったからです。さらに、条件を忘れていた原因をたどると、共変微分の条件をまとめた「双対接続ペア // 接続付き加群」の書き方が不親切だったからです。

上記引用部分で共変微分の条件(公理)を4種類出しています。

  1. 左共変微分:∇:M→Ω(A)\otimes_AM
  2. 右共変微分:∇:M→M\otimes_AΩ(A)
  3. テンソル積の代わりに内部ホムを使った形: ∇:M→[Der(A), M]A
  4. 内部ホムを使った形の記法を変えたもの

3番目の定義では、∇:M→[Der(A), M]A という写像が共変微分ですが、4番目の定義では、∇(m)(X) を ∇X(m) と書き方を変えて述べています。そのまま引用すると:

この書き方を使えば:

  1. XR-線形である。
    1. X(m + m') = ∇X(m) + ∇X(m')
    2. X(r・m) = r・∇X(m) for r∈R
  2. Xライプニッツ法則を満たす。
    X(a・m) = X(a)・m + a・∇X(m) for a∈A

「リー微分は共変微分か? -- 代数的に考えれば」(修正前)では、この4番目の定義を採用して、「∇XR-線形である」ことと、「∇Xライプニッツ法則を満たす」ことをチェックしてOKとしています。

しかし、∇:M→[Der(A), M]A というプロファイル(∇の域と余域の情報)のなかに、∇X と書いたときのXに関するA-線形性が含まれています。つまり、次の法則は暗黙に仮定されているのです。

  • m∈M を固定して ∇(-)(m) はA-線形である。
    1. (X + Y)(m) = ∇X(m) + ∇Y(m)
    2. (aX)(m) = a∇X(m)

この法則がもとの記事に明示的には書いてなかったので、共変微分の定義として引用するときにスッパリ忘れてしまった、というわけです。

次の2つの不注意から間違った判断に至ったのです。

  • 共変微分の定義を記述するとき、(間違いではないが)不親切だったこと
  • それを引用するとき、迂闊にもプロファイルに含まれるA-線形性を抜かしてしまったこと

こういうことが起こり得るから、不親切も迂闊もよろしくない、ということでオチ。すんませんでした。