檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

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［参照用記事］

バンドルと層の記法まとめ

雑記／備忘参照用

一覧にまとめておきます。随時、修正・追加があるでしょう。 $\newcommand{\hyph}{\mbox{-}} \newcommand{\ul}[1]{ \underline{#1} }$

[追記 date="2021-06-26"]実情に合わせて修正しました。[/追記]

内容：

圏
関手
バンドルとバンドル射
バンドルの演算
バンドルの移動
セクション
セクション空間と層
層の演算
層の移動

圏

Man -- （なめらかな）多様体の圏

バンドルの圏：

CBdl[-] -- Man上の、ファイバーがCの構造を持つバンドルの、インデックス付き圏
Bdl = ManBdl[-] -- Man上の{ファイバー}?バンドルのインデックス付き圏
VectBdl[-] -- Man上のベクトルバンドルのインデックス付き圏
AlgBdl[-] -- Man上の代数〈多元環〉バンドルのインデックス付き圏
GrpBdl[-] -- Man上の群バンドルのインデックス付き圏
G-PrinBdl[-] -- Man上のG-主バンドルのインデックス付き圏

層の圏：

CSh[-] -- Man上の、値がCである層の、インデックス付き圏
Sh[-] = SetSh[-] -- Man上の{集合}?層のインデックス付き圏
CRngSh[-] -- Man上の可換環層のインデックス付き圏
ModSh[-] -- Man上の加群層のインデックス付き圏
AlgSh[-] -- Man上の代数〈多元環〉層のインデックス付き圏
GrpSh[-] -- Man上の群層のインデックス付き圏

平坦化した圏：

VectBundle := $\int_{\to\: {\bf Man}}$ VectBdl[-] -- VectBdl[-] の順方向グロタンディーク平坦化圏

関手

接関手：

T : Man→VectBundle

ラージサイトとしてのMan上の層：

${\mathscr A}$ = C^∞ = Ω⁰ : Man^op→CRngSheaf -- 構造{可換環}?層
Ω = Ω¹ : Man^op→ModSheaf -- {1次の}?微分形式加群層
Ω^● : Man^op→AlgSheaf -- 微分形式代数層（掛け算は微分形式の外積）

バンドルとバンドル射

バンドル：

正式： E = (E_tot, N, π_E)
乱用： π_E:E→N または π:E→N
略式： E over N

バンドル射：

正式： f = (f_tot, f_base) : E→F
乱用： f = (f, φ) :E→F または f = (f:E→F, φ:N→M)
略式： (f over φ) :E→F または f:E→F over φ:N→M

バンドルの演算

添字のNは、底空間多様体。

演算名	演算記号	被演算項	演算結果
$ファイバー積$	$\times_N$	$バンドル$	$バンドル$
$直和〈ホイットニー和〉$	$\oplus_N$	$ベクトルバンドル$	$ベクトルバンドル$
$テンソル積$	$\otimes_N$	$ベクトルバンドル$	$ベクトルバンドル$
$双対$	$(\hyph)^{ \ast N}$	$ベクトルバンドル$	$ベクトルバンドル$
$外積〈ウェッジ積〉$	$\wedge_N$	$ベクトルバンドル$	$ベクトルバンドル$
$内部ホム$	$hom_N(\hyph, \hyph)$	$ベクトルバンドル$	$ベクトルバンドル$
$内部双線形射集合$	$bilin_N(\hyph, \hyph)$	$ベクトルバンドル$	$バンドル$
$内部エンド$	$end_N(\hyph)$	$ベクトルバンドル$	$代数バンドル$
$内部アイソ$	$iso_N(\hyph, \hyph)$	$ベクトルバンドル$	$バンドル$
$内部オート$	$aut_N(\hyph)$	$ベクトルバンドル$	$群バンドル$
$k次外積空間$	$\Lambda^k_N(\hyph)$	$ベクトルバンドル$	$ベクトルバンドル$
$k次テンソル空間$	$tens^k_N(\hyph)$	$ベクトルバンドル$	$ベクトルバンドル$
$外積代数$	$\Lambda_N(\hyph)$	$ベクトルバンドル$	$代数バンドル$
$テンソル代数$	$tens_N(\hyph)$	$ベクトルバンドル$	$代数バンドル$
$フレーム$	$frame_N(\hyph)$	$ベクトルバンドル$	$バンドル$

バンドルの移動

For F over M, φ:N→M,
φ^#F over N -- 引き戻されたバンドル
For E over N, φ:N→M invertible,
φ_#E = (φ^-1)^#E over M -- 前送りされたバンドル

セクション

s:N→E section または s∈Γ_N(E)
t:N→F section over φ:N→M または t∈Γ_N(F/φ)

セクション空間と層

Γ(E) または Γ_N(E)
Γ_N(F/φ)
Γ_N(U, E) := Γ(E|_U)
Γ_N(-, E) -- N上の層

層の演算

原則として、

中置演算子記号は、バンドルと同じ記号を使う。
演算の名前は、バンドルと同じ綴で語先頭文字を大文字にする。

例外は、外積空間／外積代数。

添字のAは、加群層の係数可換環層。

演算名	演算記号	被演算項	演算結果
$直積$	$\times$	$集合層$	$集合層$
$直和$	$\oplus_A$	$加群層$	$加群層$
$テンソル積$	$\otimes_A$	$加群層$	$加群層$
$双対$	$(\hyph)^{\ast A}$	$加群層$	$加群層$
$外積$	$\wedge_A$	$加群層$	$加群層$
$内部ホム$	$Hom_A(\hyph, \hyph)$	$加群層$	$加群層$
$内部双線形射集合$	$Bilin_A(\hyph, \hyph)$	$加群層$	$集合層$
$内部エンド$	$End_A(\hyph)$	$加群層$	$代数層$
$内部アイソ$	$Iso_A(\hyph, \hyph)$	$加群層$	$集合層$
$内部オート$	$Aut_A(\hyph)$	$加群層$	$群層$
$k次外積加群$	$\Omega^k_A(\hyph)$	$加群層$	$加群層$
$k次テンソル加群$	$Tens^k_A(\hyph)$	$加群層$	$加群層$
$外積代数$	$\Omega^{\bullet}_A(\hyph)$	$加群層$	$代数層$
$テンソル代数$	$Tens_A(\hyph)$	$加群層$	$代数層$
$フレーム$	$Frame_A(\hyph)$	$加群層$	$集合層$

層の移動

For B on M, φ:N→M,
φ^-|B on N -- 引き戻された層
For A on N, φ:N→M,
φ_|-A on M -- 前送りされた層