2月21日に、rst76さんからトラックバックをいただきました。
だいぶ遅くなってしまいましたが、口語体、つうかオシャベリ体でお応えします。
こりゃカリー化つうより、コンビネータの利用じゃね
rst76さん曰く：
Prelude> let g a b x = a * x + b
Prelude> g 3 5 7
26
Prelude> let g1 a b = (+ b) . (* a)
Prelude> g1 3 5 7
26
んーんと、これはカリー化（ラムダ抽象）と関係ないなー。確かに関数の変数（引数）が減っているように見えるんだけど、それは単にgとg1で違う書き方をした、ってだけ。g1がgのカリー化（ラムダ抽象）ということではない。
これはむしろコンビネータに関係するかな。コンビネータを使うとラムダ変数（束縛変数）を減らせて、究極的にはラムダ変数を完全になくせる*1のだけど、今のケースだと関数合成をするコンビネータ (.) を導入して内側のラムダ変数を消したことになる。
まず、事情が分かりやすくなるから、gとg1をHaskellのラムダ式で書いておくと、
g = \a b x -> a*x + b
g1 = \a b -> (+ b) . (* a)
gでも(+ b)と(* a)を使っていいよね。
g = \a b x -> (+ b) ((* a) x)
\a b x -> は、\a -> \b -> \x ->、あるいは \a b -> \x -> の略記だから
g = \a b -> \x -> (+ b) ((* a) x)
g1のほうでは (.) を使っているけど、これは次のように定義されていると思っていい。
(.) = \g f -> \x -> g (f x)
\x -> g (f x) の f, g を (+ b), (* a) で置き換えたものが \x -> (+ b) ((* a) x) だから、
- \x -> (+ b) ((* a) x) ≡ (.) (+ b) (* a)
記号≡は、左右が式として同値なこと（この同値性は超越的なものではなくて、書き換え規則のレベルで判定可能）。≡の左辺のラムダ変数xが右辺では消えている。その理由は \g f -> \x -> g (f x) というラムダ式を(.)という単一の記号で置き換えて、束縛変数を見えなくしている（閉じ込めている）から。
そういう事情で、gを次のような書き方にしても何も変わらない。
g = \a b -> (.) (+ b) (* a)
g1は、 別なスタイルの書き方をしたgに過ぎない。g1のほうが、point-freeスタイル*2に近くなっている。
今度は普通のラムダ式で書いてみよう。念のため、標準的ラムダ構文と対応するHaskellの構文をまとめておくと：
| ラムダ構文 | Haskell構文 |
|---|---|
| λ | \ |
| . | -> |
| ・ | (空白) |
C = λg.λf.λx.(g・(f・x)) と定義する*3なら、λx.(g・(f・x)) を C・g・f と書けて、Cを使ってラムダ変数xを消せるでしょ。このCのように、自由変数を含まないラムダ式がコンビネータで、CはHaskellの(.)と同じ。
Haskellのなかでカリー化を考えるなら
Haskellの関数は既にカリー化されてしまっているので、正面切ってカリー化の実験はできませんね。Haskellの世界をいくら探しても、上に二本以上ワイヤーが出た箱（オダンゴ）が全然ないんだもん、どうにもならんわ。もし、Haskellの世界（スノーグローブ）内でカリー化のミニチュア版を構成したいなら、タプルを引数とする g :: (a, b) -> c から g^ = (curry g) :: a -> (b -> c) を作り出すようなオペレータ curry :: ((a, b) -> c) -> (a -> (b -> c)) を定義することになるでしょうね。
rst76さん曰く：
別の言い方をすると、g :: Int -> Int -> Int -> Int を Int -> Int -> (Int -> Int) と解釈するか、Int -> (Int -> Int -> Int) と解釈するかの違いでしかないのでは、と思います。
いや、Int -> Int -> Int -> Int と Int -> Int -> (Int -> Int) と Int -> (Int -> Int -> Int) が同じってのは単なる括弧省略の約束であって、何ごとも主張してない。カリー化（ラムダ抽象）は、g :: (Int, Int, Int) -> Int から、(Int, Int) -> (Int -> Int) とか、Int -> (Int -> (Int -> Int)) のような関数を作り出すことです*4。JavaScriptの例が多少は参考になるかな。
