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［参照用 記事］

余計な話？ 厳密2-亜群オペラッドとモノイド圏

雑記／備忘

「準マルコフ圏からなる2-圏」からはじまる一連の記事を書いているのですが、これらの記事の目的は「準マルコフ圏からなる2-圏内の余モナドの余クライスリ圏を調べる」ことです。この記事のタイトルの「余計な話かも知れない」とは、上記の目的には不要かも知れない、ということです。

特定の目的に対して、一般論がどの程度必要かの判断は難しいですね。「BUNツリーの亜群オペラッド構造」の最初の節は「目論見違い」ですが、これは、「亜群オペラッドは不要だと思っていたがどうも必要そうだ」ということでした。

現状では、BUNツリーの亜群オペラッドに少し補足をすれば上記の目的には十分だろうと思ってます。もしそうならば、亜群オペラッドの一般論やさらなる拡張の話は“余計な話”となります。その（おそらくは）余計な話を、この記事で大雑把にします。これはこれで面白い話題なので、別な記事でチャンと述べる可能性もあります。 \newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} } \newcommand{\In}{\text{ in } } \newcommand{\twoTo}{\Rightarrow } \newcommand{\I}{\mathrm{I}} \newcommand{\A}{\wedge }

内容：

BUNツリー達に3次元構造を付け足す

BUNツリーの亜群オペラッドの主たる用途は何かというと、モノイド圏に対する記号的計算デバイスとなることです。この用途のためには、もう1次元上げた構造にしたほうが便利です。各次元の構成素を表にすると：

一般的呼び名 BUNツリーの場合
0次元の構成素 対象 ただひとつだけ
0次元の構成素のリスト 複対象 自然数と同一視可能
1次元の構成素 複射 BUNツリー（の伸縮同値類）
2次元の構成素 2-射 マックレーン変形
3次元の構成素 3-射 マックレーン多角形

BUNツリーの場合に特徴的なことは、各次元ごとの有限個（しかも少数）の生成元〈generator〉で生成されていることです。

個数 列挙 備考
0次元の生成元 1個 なんでもいい何か 後で * と書く
1次元の生成元 3個 ∧, I, ! BUNツリーの生成元
2次元の生成元 3個 LSw, LDel, RDel マックレーン基本変形（逆は不要）
3次元の生成元 2個 PENT, TRI マックレーン五角形とマックレーン三角形

各次元の生成元を組み合わせて一般の構成素〈射〉を作るには演算が必要です。各次元で使える演算は次のようです。

次元 演算
0次元 併置〈連接〉（リストを作る）
1次元 複結合〈オペラッド結合〉
2次元 複結合〈オペラッド結合〉, 亜群結合, 亜群逆
3次元 複結合〈オペラッド結合〉, 亜群結合, 亜群逆, 2-亜群結合, 2-亜群逆

3次元の構成素まで含めた全体は、厳密2-亜群で豊饒化〈豊穣化〉された複圏〈オペラッド〉の構造を持ちます。したがって、BUNツリーの全体は厳密2-亜群オペラッドになります。

今「BUNツリーの全体」と言いましたが、BUNツリーだけだと1次元の構造にしかならないので、正確に言えば次のようです。

  • BUNツリーの全体と、BUNツリーのあいだのマックレーン変形の全体と、マックレーン変形のあいだのマックレーン多角形の全体と、様々な演算を一緒にすれば、厳密2-亜群オペラッドになる。

こういう事情で、「BUNツリーの厳密2-亜群オペラッド」は正確さに欠けますが、行きがかり上この呼び名を使います。BUNツリーの厳密2-亜群オペラッドを指す固有名も {\bf BUNTree} を（オーバーロードして）使い続けます。

デカルト厳密2-圏から作る厳密2-亜群オペラッド

{\bf BUNTree} は対象が1つしかない（複対象はたくさんある）オペラッドですが、対象をたくさん持つオペラッドを定義しましょう。対象が1つとは限らないオペラッドを色付きオペラッド〈colored operad〉と呼ぶ場合もあります。

\cat{K} をデカルト積を持つ厳密2-圏とします。\cat{K} は必ずしも小さくなくてもいいですが、局所小であると仮定します。典型的な例は、小さい圏の厳密2-圏 {\bf Cat} です*1。デカルト厳密2-圏 \cat{K} から厳密2-亜群オペラッド \mathrm{S2GO}(\cat{K}) を構成します。\mathrm{S2GO} は "Strict 2-Groupoid {enriched}? Operad" からです。\cat{O} := \mathrm{S2GO}(\cat{K}) と置いて、\cat{O} を記述します。

  • 対象の集合： |\cat{O}| := |\cat{K}|
  • 複対象の集合： |\cat{O}|^* := |\cat{O}|^0 + |\cat{O}|^1 + |\cat{O}|^2 + \cdots
  • 複ホム2-亜群： \cat{O}(\vec{A}, B) \;\text{ for }\vec{A}\in |\cat{O}|^*, B\in |\cat{O}| （定義はすぐ下）

複ホム2-亜群 \cat{O}(\vec{A}, B) の2-亜群構造を記述します。

  • 対象の集合： |\cat{O}(\vec{A}, B)| := |\cat{K}(\prod(\vec{A}), B)|
  • ホム亜群： \cat{O}(\vec{A}, B)(f, g) := (\mathrm{Iso}(\cat{K}(\prod(\vec{A}), B))(f, g) + \text{groupoid structure})

ここで、圏 \cat{C} に対する \mathrm{Iso}(\cat{C}) は、\cat{C} と同じ対象を持ち可逆射〈同型射〉だけからなる亜群です。そして：

\quad \prod(\vec{A}) := \prod( (A_1, \cdots, A_n) ) := A_1 \times \cdots \times A_n \\ \quad f, g: \prod(\vec{A}) \to B \In \cat{K}

さらにホム亜群 \cat{O}(\vec{A}, B)(f, g) の亜群構造が必要です。

  • 対象の集合： |\cat{O}(\vec{A}, B)(f, g)| := \mathrm{Iso}(\cat{K}(\prod(\vec{A}), B))(f, g)
  • ホムセット： \cat{O}(\vec{A}, B)(f, g)(\alpha, \beta) := \mathrm{EQ}(\alpha, \beta)

ここで、\mathrm{EQ}(x, y) は x = y のときは \{(x, x)\} という単元集合で、そうでないときは空集合です。そして：

\quad \alpha, \beta ::f \twoTo g: \prod(\vec{A}) \to B \In \cat{K}

この定義から、\cat{O} の3-射は自明な3-射です。

\cat{O} におけるオペラッド結合は次のような写像（の族）です。

\quad \ast_i : \cat{O}(\vec{A}, B)\times \cat{O}(\vec{C}, D) \to \cat{O}(\vec{A}\ast_i \vec{C}, D)

ただし、このオペラッド結合が定義されるには、C_i = B の条件が必要です。2つのリストに対する \vec{A}\ast_i \vec{C} は、リスト \vec{D} のi番目の成分を取り除いて、そこにリスト \vec{A} を挿入する置換スプライシング〈substitute splicing〉です。複射のオペラッド結合と記号のオーバーロードをしています。（[追記]置換スプライシングの定義のための組み合わせ的議論は「二分木の平坦化定理」参照[/追記]）

定義の細部を詰める作業は残っていますが、厳密2-亜群オペラッド \cat{O} := \mathrm{S2GO}(\cat{K}) とは、おおよそこんな感じのものです。\cat{O} の定義のなかで、\cat{K} のデカルト構造が使われているのに注意してください。デカルト構造の定義には、その環境にデカルト構造が必要になるんですが、この循環はどうも避けられないようです（「デカルト・タワーを求めて」参照）。

モノイド圏の定義

前節の構成で、\cat{K} = {\bf Cat} と置くと、厳密2-亜群オペラッド \mathrm{S2GO}({\bf Cat}) ができます。小さなモノイド圏は、BUNツリーの厳密2-亜群オペラッド {\bf BUNTree} から厳密2-亜群オペラッド \mathrm{S2GO}({\bf Cat}) への準同型〈homomorphism〉のことだと定義できます。

{\bf BUNTree} が有限個の生成元から生成されていることを利用すると、{\bf BUNTree} から \mathrm{S2GO}({\bf Cat}) への準同型は、{\bf BUNTree} の生成元達の有限集合（正確にはある種のコンピュータッド）から \mathrm{S2GO}({\bf Cat})（正確にはその忘却像）への写像によって記述できます。

{\bf BUNTree} の生成元達の有限集合を {\bf BT} として、次元ごとに具体的に書くと次のようでした。記法はコンピュータッドの記法を使います（「2次元のコンピュータッド」参照）。

\quad |{\bf BT}|_0 = \{ \ast \}\\ \quad |{\bf BT}|_1 = \{ \A, \I, !\}\\ \quad |{\bf BT}|_2 = \{ \mathrm{LSw}, \mathrm{LDel}, \mathrm{RDel}\}\\ \quad |{\bf BT}|_3 = \{ \mathrm{PENT}, \mathrm{TRI}\}

大雑把に言えば、各次元ごとの生成元達を寄せ集めた有限構造 {\bf BT} から \mathrm{S2GO}({\bf Cat}) への写像 M がモノイド圏 \cat{C} を定義します。モノイド圏 \cat{C} は次のように記述できます（「反ラックス・モノイド余モナド： 記号の使用・乱用 再考 // モノイド圏」参照）。

\quad \cat{C} = (\underline{\cat{C}}, \otimes^\cat{C}, \I^\cat{C}, \alpha^\cat{C}, \lambda^\cat{C}, \rho^\cat{C})

\cat{C} と M との関係は*2：

\quad M(\ast) = \underline{\cat{C}} \\ \quad M(\A) = \otimes^\cat{C}\\ \quad M(\I) = \mathrm{Id}_{\underline{\cat{C}} } \\ \quad M(!) = \I^\cat{C}\\ \quad M(\mathrm{LSw}) = \alpha^\cat{C}\\ \quad M(\mathrm{LDel}) = \lambda^\cat{C}\\ \quad M(\mathrm{RDel}) = \rho^\cat{C} \\ \quad M(\mathrm{PENT}) = (\text{pentagon identity of }\cat{C}) \\ \quad M(\mathrm{TRI}) = (\text{triangle identity of }\cat{C})

この対応により、M と \cat{C} は同一視可能です。

写像 M （正確にはコンピュータッドのあいだの射）は自然に {\bf BUNTree} にまで拡張できて、厳密2-亜群オペラッドの準同型

\quad M^\# : {\bf BUNTree} \to \mathrm{S2GO}({\bf Cat})

が得られます。(\text{-})^\# は、とあるモナドのクライスリ拡張です。

モノイド圏の記述や計算に M や M^\# を使う方法はけっこう便利です。実際、M^\# の一部分だけを取り出した評価写像〈evaluation map〉は後で利用するつもりです。一部分しか使う予定がないので、この記事のストーリーは余計な話だったかも知れませんが。

*1:（厳密とは限らない）2-圏の例は、「モナド論をヒントに圏論をする（弱2-圏の割と詳しい説明付き） // 2-圏の例 10選」にあります。

*2:文字 \I が、BUNツリーの生成元とモノイド圏の単位対象でクラッシュ〈偶発的競合〉してしまいました。同じ文字ですが別物です。