スパイダー付き圏を定義したので、以前から使っていた描画技法の話ができますね(ニコ)。現実には存在しない射だけど、ストリング図では“射であるかのごとく”に描くと便利なもの -- 仮想スパイダーの話をします。$`%
\newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} }
\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }
\newcommand{\id}{ \mathrm{id} }
\newcommand{\In}{ \text{ in } }
\require{color}
\newcommand{\Keyword}[1]{ \textcolor{green}{\text{#1}} }%
\newcommand{\For}{\Keyword{For } }%
\newcommand{\Let}{\Keyword{Let } }%
\newcommand{\Declare}{\Keyword{Declare } }%
\newcommand{\Define}{\Keyword{Define } }%
%`$
内容：
コンパクト閉圏の場合
$`\cat{C}`$ をコンパクト閉圏だとします。コンパクト閉圏の単位と余単位は、象形文字で書くことにします。ストリング図描画方向は上から下を仮定します。行きがかり上、双対ペアの左右も多数派と逆です（どうでもいいハナシだけど）。
- 単位 $`\cap_X = \eta_X : I \to X\otimes X^* \In \cat{C}\; (X\in |\cat{C}|)`$
- 余単位 $`\cup_X = \varepsilon_X : X^* \otimes X \to I \In \cat{C}\; (X\in |\cat{C}|)`$
コンパクト閉圏におけるカリー化／アンカリー化（随伴〈adjunction〉によるホムセット同型）は、単位／余単位を使って書けます。
$`\For A, B, C \in |\cat{C}|\\
\Let C^B := C\otimes B^*\\
\:\\
\Declare \mrm{Curry}_{A,B, C}:\cat{C}(A\otimes B, C) \to \cat{C}(A, C^B)\\
\For f \in \cat{C}(A\otimes B, C)\\
\Define \mrm{Curry}_{A,B, C}(f) := (\id_A \otimes \cap_B) ; (f \otimes \id_{B^*})\\
\:\\
\Declare \mrm{Uncurry}_{A,B, C}: \cat{C}(A, C^B) \to \cat{C}(A\otimes B, C) \\
\For g \in \cat{C}(A, C^B)\\
\Define \mrm{Uncurry}_{A,B, C}(g) := (g \otimes \id_B) ; (\id_{C} \otimes\cup_{B})
`$
カリー化を $`f^\cap`$ 、アンカリー化を $`g_\cup`$ と略記すると、互いに逆であることは次のように書けます。
- $`(f^\cap)_\cup = {f^\cap}_\cup = f`$
- $`(g_\cup)^\cap = {g_\cup}^\cap = g`$
$`{^\cap}_\cup,\, {_\cup}^\cap`$ が消えるのはニョロニョロ関係式〈snake {relation | equation | identity} 〉からです。
コンパクト閉圏は、規準的なトレース・オペレーターを持ちます。このトレース・オペレーターも、単位／余単位を使って書けます。
$`\For A, B, X \in |\cat{C}|\\
\:\\
\Declare \mrm{Tr}^X_{A,B}:\cat{C}(A\otimes X, B \otimes X) \to \cat{C}(A, B)\\
\For f \in \cat{C}(A\otimes X, B \otimes X)\\
\Define \mrm{Tr}^X_{A,B}(f) := (\id_A \otimes \cap_X) ; (f \otimes \id_{X^*}) ; (\id_B \otimes \cup_X )
`$
以上のようにコンパクト閉圏では、カリー化／反カリー化／トレースのような圏論的オペレーター〈圏論的コンビネータ〉が、スパイダー（恒等射、単位、余単位）と射の結合／射のモノイド積により具体的に表示できます。スパイダーを特別なワイヤーで描くストリング図との相性も非常に良いです。
射とオペレーターと仮想スパイダー
コンパクト閉圏の場合は特別に都合がいいのですが、一般的には、随伴によるホムセット同型やトレースがスパイダーにより露骨に〈explicitly〉書けるわけではありません。モノイド閉圏やトレース付きモノイド圏の定義では、スパイダー（特別な射）を使うのではなくて、オペレーターの振る舞いを公理化します。
一般的トレース付きモノイド圏の場合、コンパクト閉圏の場合とは違って、曲がったワイヤーに相当するスパイダー（特別な射）は存在しません（正確に言えば、存在を仮定していません）。しかし、ストリング図を描くときは曲がったワイヤーを描いています。その例は例えば以下の過去記事を眺めてください。
デカルト閉圏の場合でも、僕は、曲がったワイヤーと指数ケーブル（$`C^B`$ を表すケーブル）を使ってカリー化を描いています。
射があるわけではないのに、スパイダー風に描いている描画要素を仮想スパイダー〈virtual spider〉と呼ぶことにします。
仮想スパイダーは射ではない事は心得ている必要がありますが、ストリング図を描く際にはとても便利です。
よく使う便利な仮想スパイダーとして、マルコフ圏における条件化オペレーターを表す仮想スパイダーを紹介します。マルコフ圏 $`\cat{C}`$ 上に（一般化された）条件化オペレーター $`\mrm{Condit}`$ が備わっているとします。
$`\quad \mrm{Condit}^X_{A, B}: \cat{C}(X, A\otimes B) \to \cat{C}(A\otimes X, B)`$
条件化オペレーター $`\mrm{Condit}^X_{A, B}`$ に対応す射は存在しませんが、$`\cup_A`$ という仮想スパイダーを準備すると、条件化オペレーターは次のように書き下すことができます（あくまで仮想的にですが）。
$`\quad \mrm{Condit}^X_{A, B}(f) := (\id_A\otimes f);(\cup_A \otimes \id_B)`$
仮想スパイダー $`\cup_A`$ の描き方は「ワイヤーベンディングと条件化オペレーター 」で説明しています。ほんとのスパイダーと区別するために横線を添えています。
仮想スパイダーの使用は、暗黙的に既に常用されている描画法ですが、名前を付けて明示的に取り上げる意味はあるでしょう。なので取り上げました。
