最近気付いたことを大雑把に記します。細部は記述していません。ファイバー積（引き戻し、pullback）が存在する圏Cに対して、スパンの圏Span(C)が定義できます。特にCが集合圏Setである場合を考えます。Span(Set)の話ですね。Span(Set)のなかに、関係圏Relを…

(C, , I) をモノイド圏とします。α, λ, ρをそれぞれ、結合律子、左単位律子、右単位律子とします（律子（りつし）に関しては「律子からカタストロフへ」を参照してください）。λ, ρに関する等式的法則を書き並べてみます。ただし、αによる括弧の組み換えは省…

最近、「律子」という言葉を使っています。「りつこ」じゃなくて「りつし」です。英語の接尾辞「-or」の訳語のつもり。では、その「-or」とは何でしょうか。M = (M, ×, i) をモノイドとすると、次の法則が成立します。 (a×b)×c = a×(b×c) ― 結合律（associat…

「モノイド自然変換としての積分： 大雑把に」にて： 勘違いや抜けがあるかも知れませんが、修正をしても大筋はたぶん維持できるでしょう。もう少し確認して、“時間と気力があるときに”具体的な構成法を書くつもりです。 この件は書くつもりでいますが、一度…

モノイド圏のあいだの関手で、モノイド構造を考慮したものとしてモノイド関手（monoidal functor）やラックス・モノイド関手（lax monoidal functor）があります。その定義と幾つかの実例を挙げます。この記事のもともとの動機は、“直積をモノイド積とした集…

僕が「お絵描き圏論」とか言い出したのは2005年初頭なので、12年（＝干支の一回り）もたってしまいました。その当時はまとまったお絵描きテキストもなかったのですが、最近だとマースデンの解説もあるし、描画と証明を支援するソフトウェアGlobularもありま…

「2次元の圏のための記号法」の続き、みたいな話。とある二重圏を記述しようとしてまして、基本方針は以前の記事のとおりです。 二重圏は圏の圏ではありませんが、DOTNの約束を流用して、縦1-セルをf, gなど、横1-セルをF, Gなどで表し、結合の記号も流用す…

モノイド圏のなかでは、モノイド対象というものを考えることができます。外側のモノイド圏を取り替えてモノイド対象を作ると、色々な構造が現れます。モノイド圏の作り方を工夫すると、意外なものがモノイド対象になったりします。順序集合と距離空間は、モ…

昨日、DOTN二号（このネーミングはどうなのよ？）の話をしたのですが、DOTNのような絵図ペースの計算法により、僕はナントカ圏論の計算を追いかけることが出来てます（いやっ、出来ないこともママあるけどね^^;）。小学校の「余りのある割り算」あたりで挫折…

スピヴァックが関手データモデルでやったことは、データベースの諸概念を極端に単純化することにより、圏の基本概念（圏、関手、自然変換）だけで書き直すことです。これにより、圏論のあらゆる手法をデータベースに適用できる途が開けたわけです。徹底的に…

「ラベル付き遷移系のIO結合」において、次のように書きました。 IOインターフェースを持ったラベル付き遷移系の全体が圏になるかと言うと、色々と難しい点があります。...(難しい点の説明)...この状況は、豊饒圏と高次圏を組み合わせれば、うまく表現できそ…

昨日の記事「アイレンベルグ／ムーア圏 その3:Maybeモナドのとき」の注釈に次のように書きました。 型パラメータを明示的に書くプログラミング言語風の記法が、圏論の記述には向いてないのかも知れません。圏論に最適化された記法や絵図を使うと、もっと単純…

JavaScript配列とJSON配列の差を埋めるような些細な問題でも、納得のいく解決のためにはモナドが必要になり、モナドといえば随伴で、随伴といえば …… いつもいつも僕を悩ませる左と右の問題がぁ。内容： 双対に関する左右の使い分け 双対対象を一意に割り当…

ここのところ、記号論理のエントリーを何本か書いた。 さまざまな「ならば」達 論理を身に付けるには 論理とはなにか？ 論理とはなにか？ (2) 「論理とはなにか？ (2)」より引用： Powf(S)をS'と書いて、S'のメンバー（Sのメンバーの有限集合）をΓ、Δなどと…