昨日のエントリーより：
別にシリーズにはしないけど、線形代数の計算例をチマチマと出そうかな、っと。
いかにも敬遠されそうなネタだよね。でもかまわんのだ。今日も書くよ、っと。
φがU上の双線形形式のとき、次の条件が非退化性（nondegenerateness）でした。
- ∀y∈U.(φ(x, y) = 0) ならば x = 0
これは、Φ = λx.λy.φ(x, y) と置けば次と同値です。
- Φ:U→U* が単射
左右を入れ替えて、Ψ = λy.λx.φ(x, y) としたときに、Ψははたして単射か？ という疑問が湧きます。結論を言えば、Φが単射ならΨも単射です（ただし、有限次元のとき）。いろいろな証明がありそうですが、「Φを使ってΨを陽に書く」ことができるので、その公式を紹介します。
Φ:U→U* の双対 Φ*:U**→U* を計算してみます。ξ∈U**とすると、双対の定義から、y∈Uに対して：
- (Φ*ξ)y = ξ(Φy)
昨日書いたことから、x∈Uを使って ξ = x^ と一意的に書けます。これを使って少し計算します。
ξ(Φy) //↓ ξ = x^
= x^(Φy) //↓ x^の定義
= (Φy)x //↓ Φの定義
= (λt.φ(y, t))x //↓ ベータ変換
= φ(y, x)
結局、次の等式が成立します。
- φ(y, x) = (Φ*x^)y
両辺を変数yでラムダ抽象すると：
- λy.φ(y, x) = λy.[(Φ*x^)y]
左辺はΨxの定義そのものです。右辺にはイータ変化変換をほどこすと：
- Ψx = Φ*(Θx)
ここで、Θx = x^ です。写像の結合（合成）を記号「・」で表すなら、
- Ψ = Φ*・Θ
これで、Φを使ってΨを陽に書けました。同様にして次も言えます。
- Φ = Ψ*・Θ
ΘをΦとΨで書くこともできます。
- Θ = (Φ*)-1・Ψ = (Ψ*)-1・Φ
最初に戻って、Ψが単射かどうかですが、Ψの表示を見ればΨが可逆であることがわかります（有限次元では、U→U*の単射性と可逆性は同じ）。
- Ψ-1 = (Φ*・Θ)-1 = Θ-1・(Φ-1)*
これが“Ψの逆”の具体的な表示です。ここで、(Φ*)-1 = (Φ-1)* は使いました。
