ありがちなマチガイ、それは証明できません

AとBを集合として、直積を A×B とします。2つの射影を p:A×B→A と q:A×B→B とします。具体的に書くと、p(a, b) = a、q(a, b) = b です。

さて、ある人に「射影って全射ですよね？」と聞かれたので「もちろん、そうだよ」と答えました。となると、「直積の射影は全射である」という命題が証明できなくてはなりません。より一般的には、集合圏に限らず任意の圏で「直積の射影はエピ射である」が言えるはずです。

しかし、これは証明できません。だって反例があるもの。