複体、複体、複体 … なんとかしてくれ！ - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

ホモロジー／コホモロジーの文脈で、「複体」という言葉が出てくるのですが、この言葉は多義的でいくつもの意味があります。大げさな言い方をすると、「出てくるモノはなんでも『複体』と呼んでいる」ようです。

僕自身も混乱・困惑しましたし、コミュニケーションのときに非常に困ります。なんとかしたい。

内容：

なんでも「複体」
分類と整理
組み合わせ的形状圏とその双対
複体的形状圏とその双対
S的対象の圏とその双対
加群の複体的系列の圏とその双対
胞体と幾何実現
S的方法
おわりに

なんでも「複体」

以前、「ド・ラーム・コホモロジーとホッジ分解のオモチャ (1/2)」という記事を書きました。このとき、「複体」という言葉の扱いにはだいぶ困り、悩みました。一応、「幾何複体」、「組み合わせ複体」、「代数的複体」と分けて説明してますが、明確とは言い難いですね。

下の図は、「複体にチェーン構成をして複体を作る」という話を口頭でしたときに使った説明図(?)です。

何種類かの概念をすべて「複体」と呼ぶので、こんなことになっています。この図はマジメな説明図ではなくて、まー「ネタ」ですけどね。

分類と整理

説明は後回しとして、とりあえず、「複体」と呼ばれるモノ（概念）を表にまとめます。

呼び名	もとの概念	双対概念
複体その1	{組み合わせ的}?形状圏	{組み合わせ的}?余形状圏
複体その2	複体的形状圏	余複体的余形状圏
複体その3	CのS的対象	Cの余S的対象
複体その4	Mod[R]の複体的系列	Mod[R]の余複体的余系列

「{組み合わせ的}?」と書いてあるのは、「組み合わせ的」は省略可能なことを示します。つまり、ちゃんと言えば「組み合わせ的形状圏」だけども、単に「形状圏」でもかまいません。「{…}?」のような書き方については「用語のバリエーション記述のための正規表現」を参照。

表に出現するCは任意の圏で、Sは形状圏（後述）です。Mod[R] は、可換環R上の加群の圏です。形容詞としての「複体的／余複体的」の意味は次のとおりです*1。

複体的〈complex〉：境界作用素〈boundary operator〉を備えている。
余複体的〈cococomplex〉：余境界作用素〈coboundary operator〉を備えている。

単に「複体」と言った場合、複体的系列／余複体的余系列を指す場合が一番多そうです。これらは次の別名を持ちます。

複体的系列：鎖複体、チェーン複体、（単に）複体
余複体的余系列：余鎖複体、コチェーン複体、余複体

上の表に出現した概念を、順に急ぎ足で説明していきます。

組み合わせ的形状圏とその双対

組み合わせ的形状圏の例には次のものがあります。

記号	別な記号	名称	参考
S	Δ	単体圏	simplex category (nLab)
C	$\square$	方体圏	category of cubes (nLab)
G		球体圏	globe category (nLab)
Θ		テータ胞体圏	Theta category (nLab)

名称には、「☓☓☓圏〈☓☓☓ category〉」と「☓☓☓の圏〈category of ☓☓☓s〉」の二種類があります。「テータ胞体圏」は、"cell category", "category of cells" とも呼ばれますが、単に"cell"では紛らわしいので「テータ」を付けたほうがいいでしょう。

例に挙げた圏達は、なにかしら組み合わせ的フレーバーを持ち、直感的な意味で「図形の形」を表現しています。それで、組み合わせ的形状圏〈combinatorial shape category〉と総称します。

圏Cが、組み合わせ的形状圏である条件はどんなものでしょうか？次のような特徴を備えていれば、組み合わせ的形状圏と呼んでよさそうです。

Cは小さい圏で、Cの対象集合はZの区間（有限区間、半無限区間、無限区間＝Z のどれでもよい）と同型である。整数 i に対応する対象を [i] と書くことにする。
射の有限集合 F_i⊆C([i], [i-1]) と、D_i⊆C([i], [i+1]) が指定されていて、C は、合併集合 $\bigcup_{i}$ (F_i∪D_i) （これは無限集合でもよい）で生成される。
生成元〈生成射〉のあいだの関係も具体的に書き下せる。

「具体的に書き下せる」が曖昧ですが、まーいいとしましょう。射の有限集合 F_i の要素を面作用素〈face operator〉、D_i の要素を退化作用素〈degeneracy operator〉と呼びます。上の条件の2番目は、Cの射が面作用素と退化作用素の組み合わせから出来ている、ということです。

形状圏〈shape category | category of shapes〉は、関手の域〈domain〉になる圏という意味合いがあります。実際、例に挙げた組み合わせ的形状圏は、関手の域として使われます。関手の域としての用途を強調したいときは、単体形状圏、方体形状圏のような呼び方もします。

組み合わせ的形状圏に対して、その反対圏〈opposite category〉を作ると：

面作用素は [n]→[n+1] の射となる。
退化作用素は [n]→[n-1] の射となる。

組み合わせ的形状圏の反対圏は「余」を付けて呼び、反対圏における面作用素を余面作用素〈coface operator〉、反対圏における退化作用素を余退化作用素〈codegeneracy operator〉と呼びます。例えば、単体圏の反対圏は余単体圏〈cosimplex category〉で、余単体圏は余面作用素と余退化作用素で生成されています。

複体的形状圏とその双対

組み合わせ的形状圏を単に形状圏〈shape category〉と略称します。形状圏Sに対して、整数の加法群で豊饒化〈enrichment〉をします。つまり、ホムセット S([n], [m]) からZ係数で自由生成した加法群 Z<S([n], [m])> を新しいホムセットとして圏を作ります。こうすると、射を足したり引いたりできるようになります。ホムセットを加法群に豊饒化した圏を、単に ZS で表します。

（整数として）隣り合う2つの対象 [n], [n-1] のあいだに ZS の射 ∂_n∈ZS([n], [n-1]) が指定されていて、次が満たされるとき、形状圏 S と (∂_n | [n]∈|S|) の組を複体的形状圏〈complex shape category〉と呼びましょう。

For [n]∈|S|, ∂_n $\circ$ ∂_n+1 = 0 on ZS([n+1], [n-1])

この条件を満たす ∂_n を境界作用素〈boundary operator〉と呼びます。

例えば、単体形状圏 S = Δ の場合、面作用素 δ_nⁱ （i = 0, 1, ..., n）の交代和を作ると、それが境界作用素になります。

$\partial_n := {\displaystyle \sum_{i = 0}^n (-1)^i} \delta_n^i$

余形状圏（形状圏の反対圏）においては、dⁿ∈ZS^op([n], [n+1]) という射の族が次の条件を満たすとき、余形状圏 S^op と (dⁿ | [n]∈|S^op|) の組を余複体的余形状圏〈complex shape category〉と呼びます。

For [n]∈|S^op|, dⁿ $\circ$ d^n-1 = 0 on ZS^op([n-1], [n+1])

この条件を満たす dⁿ を余境界作用素〈coboundary operator〉と呼びます。

S的対象の圏とその双対

形状圏Sは圏なので、そこからの関手を考えることができます。Cを任意の圏として、関手圏 [S, C] を考えます。この関手圏の対象、つまり関手 A:S→C を、CのS的対象〈S-object in C〉と呼びます。例えば、球体形状圏Gに対して、[G, Set] の対象は、SetのG的対象です。Setの対象は集合と呼ぶので「G的集合」、さらに噛み砕いて「球体的集合〈globular set〉」と呼びます。

CのS的対象の圏、つまり [S, C] を S.C とも書くことにします。この書き方と、対象の呼び名の例をいくつか挙げます。

CのS的対象	噛み砕いた呼び名
S.Set の対象	単体的集合
S.Top の対象	単体的空間
S.CRng の対象	単体的可換環
C.Set の対象	方体的集合
G.Vect_R の対象	球体的実ベクトル空間

余形状圏S^opに関しても同様に考えます。[S^op, C] の対象はCの余S的対象〈coS-object in C〉です。

Cの余S的対象	噛み砕いた呼び名
S^op.Set の対象	余単体的集合
S^op.Ab の対象	余単体的アーベル群
S^op.FinSet の対象	余単体的有限集合
C^op.Mod[R] の対象	余方体的R-加群
G^op.Man の対象	余球体的多様体

加群の複体的系列の圏とその双対

(Z, ≦) は、整数と普通の大小順序による順序集合とします。順序集合は圏とみなせるので、同じ記号で圏も表します。Cを任意の圏として、関手圏 [(Z, ≦)^op, C] の対象をCの系列〈sequence in C〉と呼びます。関手圏 [(Z, ≦), C] の対象はCの余系列〈cosequence in C〉と呼ぶことにします。Cの系列の圏を Seq(C), 余系列の圏を CoSeq(C) と表しましょう。

A:(Z, ≦)^op→C をCの系列だとすると、Aは、番号が減る向きの射 A(n)→A(n-1) in C の集まりとみなせます。余系列では番号が増える向きの射です。こう決めたのは他の用語との整合性のため（だけ）で、他の理由はありません。

Zの区間を J として、[J, C], [J^op, C] を考えることもできますが、ここでは、関手の域はZだけにします。Cが終対象と始対象を持つ圏ならば、系列／余系列の不要な（余分な）位置は終対象と始対象で埋めることにします。

A∈Seq(C) のとき、A(n) の代わりに A_n と書き、系列Aを A_・とも書きます。B∈CoSeq(C) のとき、B(n) の代わりに Bⁿ と書き、余系列Bを B^・とも書きます。また、系列 A_・に対する A(n→n-1):A_n→A_n-1 を a_n:A_n→A_n-1 と、対応する小文字で書くことにします。余系列 B^・に対しては bⁿ:Bⁿ→Bⁿ⁺¹ です。

可換環Rに対して、Mod[R] はR-加群の圏とします。Mod[R] の系列 A_・が複体的系列〈complex sequence〉だとは、次を満たすことです。

For n∈Z, a_n $\circ$ a_n+1 = 0 : A_n+1→A_n-1

同様に、Mod[R] の余系列 B^・が余複体的余系列〈cocomplex cosequence〉だとは、次を満たすことです。

For n∈Z, bⁿ $\circ$ b^n-1 = 0 : B^n-1→Bⁿ⁺¹

通常は、複体的系列を鎖複体〈チェーン複体〉、余複体的余系列を余鎖複体〈コチェーン複体〉と呼びます。

胞体と幾何実現

Sを形状圏として、XはS的集合、つまり関手 X:S→Set だとします。Sの対象は整数でエンコードできるので、[n] と書くのでした。集合 X([n]) の要素を、Xのn次元胞体〈n-dimensional cell〉と呼びます。「胞体〈cell〉」は一般的な呼び名で、具体的な形状圏に応じて、「n次元単体」「n次元方体」「n次元球体」などと呼びます。

以上の意味でのn次元胞体は、単にnとラベルされた集合の要素なだけで、特に幾何的な意味でのn次元性は持っていません。幾何的意味が生まれるのは、S的集合を幾何的に“実現”した場合です。幾何実現〈geometric realization〉については、例えば次を参照してください。

https://ncatlab.org/nlab/show/geometric+realization

S的集合Xを幾何実現した位相空間〈多面体空間〉を GR(X) とすると。Xのn次元胞体（単なる要素）は、位相空間 GR(X) の部分空間としての幾何的実体を持つようになります。「n次元胞体」の直感的な意味は、幾何実現のなかでのこの部分空間のことでしょう。

S的方法

なんらかのモノ、例えば多様体から、複体的系列〈鎖複体 | チェーン複体〉、余複体的余系列〈余鎖複体 | コチェーン複体〉を作るとき、形状圏Sまたは余形状圏S^opを使うならば、その作り方をS的方法と呼びます。単体的方法、方体的方法、球体的方法などです。単体的方法が一番よく使われている方法です。

例として、単体的方法による特異チェーン複体〈singular chain complex〉の作り方を簡単に説明します。Mを多様体とします（一般の位相空間でもかまいません）。標準幾何単体 σ_n = {x∈Rⁿ⁺¹ | x_i ≧ 0 かつ x₁ + ... + x_n+1 = 1} からMへのなめらかな写像の全体を SS_n(M) とします。

面作用素 δ_nⁱ:SS_n(M)→SS_n-1(M) と退化作用素 ι_nⁱ:SS_n(M)→SS_n+1(M) がうまく定義できるので、SS_・(M) = (SS_・(M), δ_・ⁱ, ι_・ⁱ) は単体的集合になります。つまり、SS_・(M)∈S.Set 。

集合から自由R-加群を作る関手を FreeMod_R:Set→Mod[R] とします。以下、FreeMod_R を F と略記します。F:Set→Mod[R] は、[S, Set]→[S, Mod[R]] を誘導するので、誘導された関手を S.F:S.Set→S.Mod[R] とします。S.F により、単体的集合 SS_・(M) を単体的R-加群の圏に送ったものを SC_・(M) とします。

SC_・(M) は単体的R-加群であり、Sは複体的形状圏（境界作用素を持っている圏）だったので、Sの境界作用素∂の定義をR-加群の圏内で解釈すると、SC_・(M) からチェーン複体〈R-加群の複体的系列〉が構成できます。これが、単体的方法によりMから作られたチェーン複体です。

S（単体形状圏）以外の形状圏でも、同様なS的方法でチェーン複体／コチェーン複体を構成できます。

おわりに

「分類と整理」の節に出した表には 4×2 = 8 個の欄があります。8個の欄に記入された概念は、どれも「複体」と呼ばれる可能性があります。そう呼ぶ習慣が現実にあるのは致し方ないですが、相互に関連はするが別な概念が8つあることを認識しておいたほうがいいでしょう。

[追記]
脚注に「「境界作用素を持つ」を表すうまい形容詞がなくて困りますね。」と書いたのですが、余境界作用素を微分作用素〈differential operator〉とも呼ぶので、微分複体〈differential complex〉で、余境界作用素を持つ加群の余系列の意味になります。余境界作用素が微分作用素なら、境界作用素は余微分作用素ということになります。

形容詞「余微分」「微分」を使うと：

余微分形状圏、微分余形状圏
余微分系列、微分余系列

どうもシックリ来ませんね。その理由は：

「微分作用素」は、本来の意味（解析的な意味）での微分作用素を連想する。
双対を表す「余」の付き方のバランスが悪い。

ホモロジー／コホモロジーのもとになるモノだから、形容詞としての「ホモロジー」「コホモロジー」を付けてみると：

ホモロジー形状圏、コホモロジー余形状圏
ホモロジー系列、コホモロジー余系列

悪くはないかな。いずれにしても、一度ゴチャゴチャになってしまったものを、分類するのは難しい（現実的には不可能）ですな。
[/追記]

*1:[追記]最初、複体的＝complical にしていましたが、"complical"はそういう意味ではないようですし、"complicial"（https://ncatlab.org/nlab/show/complicial+set 参照）と見間違うので、単なる"complex"に変更しました。「境界作用素を持つ」を表すうまい形容詞がなくて困りますね。[/追記]