とある勉強会で使っているとある教科書*1のガロア理論の文脈のなかで、とある随伴関手ペア〈随伴系〉が出てきたので紹介します。一般的な手法で定義できる2つの関手が、特定の状況下では随伴関手ペアになる、という定理です。ガロア理論の文脈でこういう随伴関手ペアが出てくるのは珍しいようです。
「〇〇〇と☓☓☓が随伴関手ペアだ」というステートメントを理解するのはけっこう大変なので、そこに至る準備と背景について、この記事で説明します。ガロア理論について説明する／説明できる気はしないので、当該定理のステートメントをチャンと述べることをこの記事の目標にします。
特にここで言いたいことは、反変の随伴関手ペアはややこしいので、十分に注意したほうがいいよ、ってことです。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
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\newcommand{\AsC}[1]{ \widetilde{#1} } % As Category
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\newcommand{\ract}{\triangleleft }
`$
内容：
- アンダー圏とK上の可換環の圏
- 関手圏と群の表現の圏
- 具体的な圏における群の表現
- 集合表現から可換環表現への反変関手
- 可換環から可換環表現への反変関手
- 反変関手のペア
- 良い状況
- 随伴関手ペア
- 反変関手の場合の随伴関手ペア
- 定理のステートメント
アンダー圏とK上の可換環の圏
体 $`K`$ 上の可換環達の圏を、アンダー圏として定義してみます。
一般に、圏 $`\cat{C}`$ と対象 $`A\in |\cat{C}|`$ に対して、アンダー圏〈under category〉 $`{^{A/}\cat{C}}`$ は次のように定義されます（下の図も参照）。
- 対象達の集合： $`|{^{A/}\cat{C}}| := \{x \in \mrm{Mor}(\cat{C}) \mid \mrm{dom}(x) = A\}`$
- ホムセット： $`{^{A/}\cat{C}}(x, y) := \{f \in \cat{C}(\mrm{cod}(x), \mrm{cod}(y)) \mid x;f = y\}`$
$`f: x \to y \In {^{A/}\cat{C}}`$ は、以下の可換図式で表現できます。
$`\quad \xymatrix{
A \ar@{=}[r] \ar[d]_x
&A \ar[d]^y
\\
X \ar[r]_f
&Y
}\\
\quad \text{commutative }\In \cat{C}
`$
アンダー圏 $`{^{A/}\cat{C}}`$ における射の結合と恒等射は次の図のように与えます。
$`\quad \xymatrix{
A \ar@{=}[r] \ar[d]_x
&A \ar@{=}[r]\ar[d]|y
&A \ar[d]^z
\\
X \ar[r]|f \ar@/_1pc/[rr]_{f;g}
&Y \ar[r]|g
&Z
}\\
\quad \text{commutative }\In \cat{C}
`$
$`\quad \xymatrix{
A \ar@{=}[r] \ar[d]_x
&A \ar[d]^x
\\
X \ar[r]_{\id_X}
&X
}\\
\quad \text{commutative }\In \cat{C}
`$
アンダー圏 $`{^{A/}\cat{C}}`$ の対象（実体は $`\cat{C}`$ の射）は、$`A`$ 下の対象〈object under $`A`$〉と呼びます。
$`\mbf{CRng}`$ を可換環達の圏とします。圏 $`\mbf{CRng}`$ の対象は単位元を持つ可換環で、射は単位元を保存する環準同型射です。$`R\in |\mbf{CRng}|`$ に対して、アンダー圏 $`{^{R/}\mbf{CRng}}`$ を構成できます。$`{^{R/}\mbf{CRng}}`$ の対象は、次のような射です。
$`\quad a: R \to A \In \mbf{CRng}`$
$`{^{R/}\mbf{CRng}}`$ の射は、次のような可換図式です。
$`\quad \xymatrix{
R \ar@{=}[r] \ar[d]_a
&R \ar[d]^b
\\
A \ar[r]_f
&B
}\\
\quad \text{commutative }\In \mbf{CRng}
`$
圏論用語では“$`R`$ 下の対象〈可換環〉” を、代数では“$`R`$ 上の可換環”〈commutative ring over $`R`$〉と呼びます。$`R`$ を基礎環〈{base | ground} ring〉とかスカラー環〈scalar ring | ring of scalars〉と呼びます。
基礎環が体 $`K`$ の場合を考えます。$`K`$ 上の可換環は、次のような可換環準同型射です。
$`\quad a:K \to A \In \mbf{CRng}`$
核 $`\mrm{Ker}(a)`$ は $`K`$ のイデアルですが、$`K`$ は体なので、自明なイデアルしかありません。$`\mrm{Ker}(a) = K`$ のときはつまらないので相手にしません。すると、$`\mrm{Ker}(a) = \{0\}`$ なので、$`a`$ は単射となります。$`K`$ と埋め込み像 $`a(K) \subseteq A`$ を同一視すれば、$`K`$ は $`A`$ の部分環とみなせます。
$`\quad K \subseteq A \In \mbf{CRng}`$
言い方を変えると、$`K`$ 上の可換環は、体 $`K`$ の拡大である可換環です。
$`K`$ 上の可換環のあいだの射は、定義より（部分環としての）$`K`$ 上では恒等なので、$`K`$ の要素を動かさない写像だと言えます。
$`K`$ が体である場合のアンダー圏 $`{^{K/}\mbf{CRng}}`$ を $`K\H\mbf{CRng}`$ と書くことにします。$`K\H\mbf{CRng}`$ の対象 $`a:K\to A`$ を、記号の乱用で単に $`A`$ と書きます。埋め込み $`a`$ 、あるいは部分環としての $`K\subseteq A`$ は暗黙に仮定されます。
関手圏と群の表現の圏
群 $`G`$ の表現達の圏を、関手圏として定義してみます。
$`\cat{C}, \cat{D}`$ を圏として、関手圏〈functor category | category of functors〉を $`[\cat{C}, \cat{D}]`$ または $`\cat{D}^{\cat{C}}`$ と書きます。その定義は以下のようです。
- 対象達の集合： $`|\cat{D}^{\cat{C}}| := \{ F \mid F \text{ is a functor from }\cat{C} \text{ to }\cat{D} \}`$
- ホムセット： $`\cat{D}^{\cat{C}}(F, G) := \{\alpha \mid \alpha \text{ is a natural transformation from }F \text{ to }G \}`$
関手圏 $`\cat{D}^{\cat{C}}`$ における射の結合と恒等射は、自然変換の縦結合（図式順演算子記号は '$`;`$'）と恒等自然変換（記法は $`\mrm{ID}_F`$）で与えられます。
$`G`$ を群とします。$`G`$ を次のように書きます。
$`\quad G = (\u{G}, \cdot, e)`$
- $`\u{G}`$ は $`G`$ の台集合〈underlying set〉
- $`(\cdot) : \u{G}\times \u{G} \to \u{G}`$ は $`G`$ の二項演算
- $`e\in \u{G}`$ は $`G`$ の単位元
通常は $`G`$ と $`\u{G}`$ を区別しませんが、必要なら区別します（必要ないなら区別しません）。
群 $`G`$ を単一対象の圏とみなしたモノを $`\AsC{G}`$ とします。圏 $`\AsC{G}`$ は次のように定義されます。
- 対象達の集合： $`|\AsC{G}| := \{ * \}`$
- ホムセット： $`\AsC{G}(*, *) := \u{G}`$
$`x, y:* \to * \In \AsC{G}`$ の結合の定義は二種類考えられます。
- $`x; y := x\cdot y`$
- $`x; y := y\cdot x`$
反図式順演算子記号 '$`\circ`$' を使う場合は、$`x; y = y\circ x := y\cdot x`$ が都合がいいですが、ここでは図式順演算子記号 '$`;`$' を使うので、$`x; y := x\cdot y`$ と定義します。恒等射は $`\id_* = e`$ です。
$`\cat{E}`$ を小さいとは限らない（しかし局所小な）圏として、圏 $`\AsC{G}`$ から圏 $`\cat{E}`$ への関手達からなる関手圏 $`\cat{E}^{\AsC{G}}`$ を、群 $`G`$ の表現の圏〈category of representations〉といいます。他の呼び名として、次があります。
- $`G`$-対象〈$`G`$-object〉達の圏
- $`G`$-作用〈$`G`$-action〉達の圏
- $`G`$-加群〈$`G`$-module〉達の圏
$`X\in |\cat{E}^{\AsC{G}}|`$ とは、$`X: \AsC{G} \to \cat{E} \In \mbf{CAT}`$ のことです。関手 $`X`$ の対象パートとホムパート（ホムセットからホムセットへの関数）は以下のようになります。
- 対象パート： $`X_\mrm{obj}: |\AsC{G}| = \{*\} \to |\cat{E}| \In \mbf{SET}`$
- ホムパート： $`X_{*, *}: \AsC{G}(*, *) = \u{G} \to \cat{E}(X_\mrm{obj}(*), X_\mrm{obj}(*) ) \In \mbf{Set}`$
結局、次の対象と写像で関手 $`X`$ が決まります。
- 対象 $`X_0 := X_\mrm{obj}(*) \in |\cat{E}|`$
- 写像 $`X_1 := X_{*, *} : \u{G} \to \cat{E}(X_0, X_0) \In \mbf{Set}`$
写像 $`X_1`$ は、次のような群の準同型射になります。以下の $`\mrm{Aut}_\cat{E}(\hyp)`$ は、圏 $`\cat{E}`$ の自己同型射〈可逆自己射〉達の群を表します。
$`\quad X_1 : G \to \mrm{Aut}_\cat{E}(X_0) \In \mbf{Grp}`$
つまり、関手 $`X`$ を決めることは、$`\cat{E}`$ の対象 $`X_0`$ と群準同型写像 $`X_1:G \to \mrm{Aut}_\cat{E}(X_0)`$ を指定することと同じです。
射 $`\varphi : X\to Y \In \cat{E}^{\AsC{G}}`$ とは、自然変換 $`\varphi :: X \twoto Y : \AsC{G} \to \cat{E} \In \mbf{CAT}`$ のことです。自然変換 $`\varphi`$ の“1つしかない成分”は以下のようになります。
$`\quad \varphi_* : X(*) \to Y(*) \In \cat{E}`$
自然性〈naturality〉の可換図式は以下のとおりです。
$`\text{For }g : *\to * \In \AsC{G}\\
\quad \xymatrix{
X(*) \ar[r]^{\varphi_*} \ar[d]_{X(g)}
&Y(*) \ar[d]^{Y(g)}
\\
X(*) \ar[r]^{\varphi_*}
&Y(*)
}\\
\quad \text{commutative }\In \cat{E}
`$
$`\varphi_*`$ を単に $`\varphi`$ と書いて、次のように書き換えることができます。
$`\text{For }g \in \u{G}\\
\quad \xymatrix{
X_0 \ar[r]^{\varphi} \ar[d]_{X_1(g)}
&Y_0 \ar[d]^{Y_1(g)}
\\
X_0 \ar[r]^{\varphi}
&Y_0
}\\
\quad \text{commutative }\In \cat{E}
`$
圏 $`\cat{E}`$ を具体化した事例を次節で述べます。
具体的な圏における群の表現
ここから先、記号の乱用により、圏 $`\AsC{G}`$ も単に $`G`$ と書きます。したがって、群 $`G`$ の表現達の圏は $`\cat{E}^G`$ と書きます。また、$`G`$ と $`\u{G}`$ の区別をしないこともあります。
集合表現
まず、表現のターゲット圏を集合圏 $`\mbf{Set}`$ とします。群 $`G`$ の表現達の圏 $`\mbf{Set}^G`$ の対象 $`X`$ は、集合 $`X_0`$ と群準同型写像 $`X_1:G\to \mrm{Aut}_\mbf{Set}(X_0)`$ で決まります。よって、表現は $`X = (X_0, X_1)`$ と書けます。
群の表現の別な定式化として、右作用〈right action〉形式 $`X = (X_0, \ract_X)`$ があります。$`X_0`$ は集合で、$`\ract_X`$ は次のような写像です。
$`\quad X_0 \times G \ni (x, g) \mapsto x \ract_X g \in X_0 \In \mbf{Set}`$
混乱の心配がなければ、$`\ract_X`$ は単に $`\ract`$ と書きます。右作用演算 $`\ract`$ は次の法則〈公理〉を満たすとします。
- $`\forall x\in X_0\, g, g'\in G.\, (x\ract g)\ract g' = x\ract(g\cdot g')`$
- $`\forall x\in X_0.\, x\ract e = x`$
右作用形式で与えられた2つの表現 $`X = (X_0, \ract_X)`$ と $`Y = (Y_0, \ract_Y)`$ のあいだの準同型射は、以下を満たす写像 $`\varphi:X_0\to Y_0`$ で与えられます。
$`\quad \forall x\in X_0\, g'\in G.\, \varphi( x\ract g) = \varphi(x)\ract g`$
群準同型写像 $`X_1`$ を使った形式と、右作用 $`\ract_X`$ を使った形式は、次の等式により相互変換できます。
$`\text{For }x\in X_0, g\in G\\
\quad x\ract_X g = X_1(g)(x)
`$
念の為、$`X_1`$ が群準同型写像のとき、対応する右作用 $`\ract_X`$ が作用の結合法則（一番目の公理）を満たすことを確認すると：
$`\quad x\ract (g\cdot g')\\
= X_1(g\cdot g')(x)\\
= (X_1(g) ; X_1(g'))(x)\\
= (X_1(g') \circ X_1(g) )(x)\\
= X_1(g')( X_1(g)(x) )\\
= X_1(g')( x \ract g )\\
= ( x \ract g )\ract g'\\
`$
記号の乱用により $`X = (X, \ract)`$ とも書きます。つまり、群の右作用（という構造）と、作用される集合〈被作用集合〉を同じ記号で表します。
群 $`G`$ の集合表現〈set representation〉達の圏は、$`G`$ の集合右作用〈set right action〉達の圏です。約束を変えると、集合左作用達の圏にもなります。約束を変えなくても、反対群 $`G^\op`$ の表現達の圏は左作用達の圏になります。
線形表現
集合圏の代わりに、体 $`K`$ 上のベクトル空間達の圏 $`K\H\mbf{Vect}`$ を取ると、$`K\H\mbf{Vect}^G`$ は、群 $`G`$ の線型表現〈linear representation〉達の圏になります。線型表現 $`V`$ における作用される対象〈被作用対象〉は $`K`$ 上のベクトル空間 $`V_0`$ となり、群元 $`g\in G`$ に対して自己線形同型写像 $`V_1(g) : V_0 \to V_0`$ が対応します。
$`\mrm{Aut}_{K\H\mbf{Vect}}(\hyp)`$ は $`\mrm{GL}(\hyp)`$ と書くので、線型表現 $`V`$ の群準同型写像は次のように書けます。
$`\quad V_1 : G \to \mrm{GL}(V_0) \In \mbf{Grp}`$
$`V`$ の右作用 $`\ract_V`$ は、左引数〈第一引数〉に関して線形になります。
$`\text{For }g\in G\\
\text{For }v, v'\in V,\, k\in K\\
\quad (v + v')\ract g = (v\ract g) + (v'\ract g)\\
\quad (kv)\ract g = k(v\ract g)
`$
したがって、群 $`G`$ の線形表現は、$`G`$ の線形右作用〈linear right action〉といえます。
可換環表現
今度は、体 $`K`$ 上の可換環達の圏 $`K\H\mbf{CRng}`$ を表現のターゲット圏に取ります。$`K\H\mbf{CRng}^G`$ は、群 $`G`$ の可換環表現〈commutative ring representation〉達の圏になります。可換環表現 $`A`$ における作用される対象〈被作用対象〉は $`K`$ 上の可換環 $`A_0`$ となり、群元 $`g\in G`$ に対して $`K`$ 上の可換環の自己同型写像 $`A_1(g) : A_0 \to A_0`$ が対応します。
右作用形式で書いた可換環表現 $`A = (A_0, \ract_A)`$ を、記号の乱用で $`A = (A, \ract)`$ とします。可換環 $`A`$ にオマケに群作用 $`\ract`$ が付いた雰囲気になります。また、可換環 $`A`$ が $`K`$ 上の可換環であることを強調するために $`A = A/K`$ と書くこともあります。
群の右作用を備えた可換環 $`A = A/K`$ の右作用 $`\ract_A`$ は次の法則を満たします。
$`\text{For }g\in G\\
\text{For }a, a'\in A,\, k\in K\\
\quad (a + a')\ract g = (a\ract g) + (a'\ract g)\\
\quad (a\cdot a')\ract g = (a\ract g)\cdot(a'\ract g)\\
\quad (ka)\ract g = k(a\ract g)
`$
$`K\subseteq A`$ と考えた場合、任意の右作用 $`(\hyp\ract g)`$ は $`K`$ 上で恒等作用です。
群 $`G`$ の可換環表現は、$`G`$ の可換環右作用〈commutative-ring right action〉といえます。
忘却関手
$`K`$ 上の可換環は、掛け算を忘れれば $`K`$ 上のベクトル空間とみなせます。$`K`$ 上のベクトル空間から足し算もスカラー倍も忘れてしまえば単なる集合とみなせます。したがって、次の忘却関手の系列があります。
$`\quad K\H\mbf{CRng} \to K\H\mbf{Vect} \to \mbf{Set} \In \mbf{CAT}`$
関手圏に対しても、“誘導された忘却関手の系列”を考えることができます。
$`\quad K\H\mbf{CRng}^G \to K\H\mbf{Vect}^G \to \mbf{Set}^G \In \mbf{CAT}`$
つまり、
$`\quad A \mapsto V \mapsto X`$
という構造忘却の系列から、右$`G`$-作用〈$`G`$ の表現〉の忘却系列
$`\quad (A, \ract_A) \mapsto (V, \ract_V) \mapsto (X, \ract_X)`$
が誘導されます。
群 $`G`$ の可換環表現は線形表現とみなすことができて、線形表現は集合表現とみなすことができます。
群 $`G`$ の作用を忘れる忘却関手もあります。
$`\quad \mbf{Set}^G \to \mbf{Set}\\
\quad K\H\mbf{Vect}^G \to K\H\mbf{Vect}\\
\quad K\H\mbf{CRng}^G \to K\H\mbf{CRng}
`$
これらは、群の表現の被作用対象〈operand object〉（表現対象〈representation object〉とも呼ぶ）を取り出す関手になっています。
集合表現から可換環表現への反変関手
群 $`G`$ と体 $`K`$ は固定します。$`G`$ の集合表現達の圏 $`\mbf{Set}^G`$ から、$`K`$-可換環表現達の圏 $`K\H\mbf{CRng}^G`$ への反変関手を構成します。単一の反変関手ではなくて、$`R\in|K\H\mbf{CRng}^G|`$ でパラメトライズされた反変関手達の族です。それは次のように書けます。
$`\text{For }R\in|K\H\mbf{CRng}^G|\\
\quad \mrm{MapCRng}^R : (\mbf{Set}^G)^\op \to K\H\mbf{CRng}^G \In \mbf{CAT}
`$
反変関手は、反対圏からの共変関手とみなすのが普通なので、その習慣に従います*2。
まず、反変関手 $`\mrm{MapCRng}^R`$ の対象パート〈object part〉を定義します。記号の乱用をすると分かりにくくなるので、少し正確な記法を採用します。
- 右$`G`$-作用付きの集合〈$`G`$ の集合表現〉を $`X = (\u{X}, \ract_X)`$ と書く。$`\u{X}`$ は単なる集合。
- 右$`G`$-作用付きの $`K`$ 上の可換環〈$`G`$ の$`K`$-可換環表現〉を $`R = (\u{R}, \ract_R)`$ と書く。$`\u{R}`$ は $`K`$ 上の可換環。さらに、$`K`$ 上の可換環 $`\u{R}`$ の台集合を $`\u{\u{R}}`$ と書く。
$`\mbf{Set}^G`$ の対象 $`X`$ に対する $`\mrm{MapCRng}^R(X)`$ を次のように定義します。'$`\lambda`$' は、ラムダ記法のラムダです。
$`\text{Let }A := \mrm{MapCRng}^R(X)\\
\text{Where}\\
\quad \u{\u{A}} := \mrm{Map}(\u{X}, \u{\u{R}})\\
\quad (\text{commutative ring over }K\text{ structure on }\u{\u{A}}) := (\text{常識的な定義})\\
\quad \text{For }f\in \u{\u{A}}, g\in \u{G}\\
\qquad f\ract_A g := \lambda\,(x\in \u{X}).(\, f(x)\ract_R g \; \in \u{\u{R}}\,)
`$
関数集合〈写像集合〉に代数構造を載せる「常識的な定義」とは、値の代数構造を使って関数に対する演算（この場合は、足し算・掛け算・スカラー倍）を定義する方法です。関数に対する右$`G`$-作用も、値側での作用を利用して定義しています。
上記の定義で、$`A = \mrm{MapCRng}^R(X)`$ には $`K`$ 上の可換環の構造と右$`G`$-作用が備わったので、確かに $`\mrm{MapCRng}^R(X) \in |K\H\mbf{CRng}^G|`$ です。
次に、反変関手 $`\mrm{MapCRng}^R`$ のホムパート〈hom part〉を定義します。反変関手なので、ホムパートは次のようになります（$`X, Y`$ の順番に注意）。
$`\quad {\mrm{MapCRng}^R}_{X, Y} : \mbf{Set}^G(X, Y) \to \\
\qquad K\H\mbf{CRng}^G(\mrm{MapCRng}^R(Y), \mrm{MapCRng}^R(X)) \In \mbf{Set}`$
記号が煩雑になるので、ホムパートの下付きの $`_{X, Y}`$ は省略します。ホムパートの定義は以下のようです。
$`\text{For }X, Y\in |\mbf{Set}^G|\\
\text{For }\varphi \in \mbf{Set}^G(X, Y)\\
\quad \mrm{MapCRng}^R(\varphi) := \lambda\, g\in \mrm{Map}(\u{Y}, \u{\u{R}}).(\,
\varphi ; g \; \in \mrm{Map}(\u{X}, \u{\u{R}})\,
)
`$
要するに、$`\u{Y}`$ 上の関数 $`g`$ に、$`\varphi`$ をプレ結合〈pre-composition〉して、$`\u{X}`$ 上の関数へと引き戻しているだけです。この引き戻し（逆向きの移動）が、$`K`$ 上の可換環の構造と右$`G`$-作用を保存することを示さないと、$`\mrm{MapCRng}^R(\varphi)`$ が圏 $`K\H\mbf{CRng}^G`$ の射だとは言えませんが、ルーチンワークでそれは言えます。
$`\mrm{MapCRng}^R`$ の反変関手性は以下の等式です（$`\varphi, \psi`$ の順番に注意）。
$`\text{For }\varphi:X \to Y, \psi: Y \to Z \In \mbf{Set}^G\\
\quad \mrm{MapCRng}^R(\varphi; \psi) = \mrm{MapCRng}^R(\psi); \mrm{MapCRng}^R(\varphi)\\
\text{For }X \in |\mbf{Set}^G|\\
\quad \mrm{MapCRng}^R(\id_X) = \id_{\mrm{MapCRng}^R(X)}
`$
これもルーチンワークで示せます。
反変関手 $`\mrm{MapCRng}^R`$ は、右$`G`$-作用付きの $`K`$ 上の可換環 $`R`$ によって変わります。一番簡単な事例として、$`R = K`$ の場合を考えてみます。$`K`$ 上の可換環としての $`K = K/K`$ への右$`G`$-作用は自明な作用になってしまうので、$`k \ract_K g = k`$ です。
$`\mrm{MapCRng}^{K/K}(X)`$ は、集合表現 $`X`$ の被作用集合 $`\u{X}`$ 上の$`K`$-値関数達の可換環です。 右$`G`$-作用に関しては：
$`\quad f(x\ract_X g) = f(x)\ract_K g = f(x)`$
つまり、右$`G`$-作用で値が変わらない関数達の集合が $`\mrm{MapCRng}^{K/K}(X)`$ です。
より具体化して、$`G = \mrm{SO}(2)`$（平面の回転群）、$`K = \mbf{R}`$ 、$`\u{X} = \mbf{R}^2`$ で、右$`\mrm{SO}(2)`$-作用は行列の行ベクトルへの掛け算（左右の辻褄合わせ*3）だとして、$`\mbf{R}`$ 上の可換環 $`\mrm{MapCRng}^{\mbf{R}/\mbf{R}}(\mbf{R}^2)`$ の要素は、平面上の実数値関数で“回転で不変”なものです。
可換環から可換環表現への反変関手
前節同様、群 $`G`$ と体 $`K`$ は固定します。群作用を持たない単なる $`K`$ 上の可換環達の圏 $`K\H\mbf{CRng}`$ から、右$`G`$-作用を持つ $`K`$ 上の可換環〈$`G`$ の$`K`$-可換環表現〉達の圏 $`K\H\mbf{CRng}^G`$ への反変関手を定義します。それを次のように書きます。
$`\quad \mrm{HomCRng}^R : K\H\mbf{CRng}^\op \to K\H\mbf{CRng}^G \In \mbf{CAT}`$
これも $`R\in |K\H\mbf{CRng}^G|`$ でパラメトライズされた反変関手の族です。作り方は前節の $`\mrm{MapCRng}^R`$ と似ています。
$`K\H\mbf{CRng}`$ のホムセットを次のように書きます。
$`\quad K\H\mbf{CRng}(A, B) = \mrm{Hom}_{K\H\mbf{CRng}}(A, B) = \mrm{HomCRng}(A, B)`$
$`\mrm{HomCRng}(A, B)`$ と書いた場合は、単なる射達の集合ではなくて、$`K`$ 上の可換環だとみなします。ホムセットへの、$`K`$ 上の可換環構造の入れ方は、値となる可換環 $`B`$ の可換環構造を使います。
$`\quad \mrm{HomCRng}(A, B) \in |K\H\mrm{CRng}|`$
圏論の言葉で言えば、$`\mrm{HomCRng}(A, B)`$ は内部ホム対象〈internal hom object〉です。
$`R\in |K\H\mbf{CRng}^G|`$ は、右$`G`$-作用を持つ $`K`$ 上の可換環です。群作用を忘れた単なる $`K`$ 上の可換環を $`\u{R}`$ と書きます。$`\u{R}\in |K\H\mbf{CRng}|`$ 。次の内部ホム対象を作れます。
$`\quad \mrm{HomCRng}(A, \u{R}) \in |K\H\mbf{CRng}|`$
一旦忘れた右$`G`$-作用を思い出して、$`K`$ 上の可換環 $`\mrm{HomCRng}(A, \u{R})`$ に右$`G`$-作用を入れます。次のようです。
$`\text{For }g\in G\\
\text{For }f\in \mrm{HomCRng}(A, \u{R})\\
\quad f\ract g := \lambda\,a\in \u{A}.(\, f(a)\ract g \; \in \u{\u{R}} \,)
`$
関数の余域が群作用を持つので、それを利用して可換環準同型射の空間（内部ホム）にも群作用を誘導できます。右$`G`$-作用を持った内部ホム対象 $`\mrm{HomCRng}(A, \u{R})`$ を
$`\quad \mrm{HomCRng}^R(A) \in |K\H\mbf{CRng}^G|`$
と書きます。
対応 $`A \mapsto \mrm{HomCRng}^R(A)`$ は、前節と同様にして反変関手に仕立てることができます。
$`\quad \mrm{HomCRng}^R : K\H\mbf{CRng}^\op \to K\H\mbf{CRng}^G \In \mbf{CAT}`$
反変関手のペア
前々節と前節で定義した反変関手は次のようでした。
$`\quad \xymatrix@C+2pc{
{(\mbf{Set}^G)^\op} \ar[r]^-{\mrm{MapCRng}^R}
&{K\H\mbf{CRng}^G}
\\
{K\H\mbf{CRng}^\op} \ar[r]^-{\mrm{HomCRng}^R}
&{K\H\mbf{CRng}^G}
}
`$
それぞれの関手に忘却関手をポスト結合して、以下のような関手を作ります。以下の図式でラベルがない矢印は忘却関手です。右$`G`$-作用を忘れる忘却関手と$`K`$-可換環構造を忘れる忘却関手です。
$`\quad \xymatrix@C+2pc{
{(\mbf{Set}^G)^\op} \ar[r]^-{\mrm{MapCRng}^R}
\ar[dr]_-{K\H\mrm{CRng}^R}
&{K\H\mbf{CRng}^G} \ar[d]
\\
{}
&{K\H\mbf{CRng}}
}
`$
$`\quad \xymatrix@C+2pc{
{K\H\mbf{CRng}^\op} \ar[r]^-{\mrm{HomCRng}^R}
\ar[dr]_-{G\H\mrm{Set}^R}
&{K\H\mbf{CRng}^G} \ar[d]
\\
{}
&{\mbf{Set}^G}
}
`$
さらに、反変関手 $`G\H\mrm{Set}^R`$ を、次の形に調整します。
$`\quad G\H\mrm{Set}^R : K\H\mbf{CRng} \to (\mbf{Set}^G)^\op`$
すると、次のような反変関手のペアが得られます。
$`\quad \xymatrix@C+1.5pc{
K\H\mbf{CRng} \ar@/^1pc/[r]^{G\H\mrm{Set}^R}
& (\mbf{Set}^G)^\op \ar@/^1pc/[l]^{K\H\mrm{CRng}^R}
}\\
\quad \In \mbf{CAT}
`$
2つの関手 $`G\H\mrm{Set}^R`$ と $`K\H\mrm{CRng}^R`$ を定義するのに、忘却関手を繋ぐ必要はなくて、直接的に定義することができます。いったん、$`K\H\mbf{CRng}^G`$ への反変関手を定義したのは、忘却する前の反変関手も興味深いし、ほぼ同じ構成で2つの反変関手を作れるからでした。
上記の2つの反変関手 $`G\H\mrm{Set}^R`$ と $`K\H\mrm{CRng}^R`$ が随伴ペアになるのは、うまく条件が揃ったときです。群 $`G`$ 、体 $`K`$ 、右$`G`$-作用を持つ $`K`$ 上の可換環 $`R`$ が良い状況になったときには随伴ペアとなります。
良い状況
前節で定義した2つの反変関手 $`G\H\mrm{Set}^R`$ と $`K\H\mrm{CRng}^R`$ が、どんなときに随伴関手ペアとなるか？ 一般的条件は（僕は）よく分かりません。冒頭で言及した定理では、ガロア理論において、随伴関手ペアとなる良い状況が生じることを主張しています。
その良い状況とは：
- $`K`$-可換環 $`R`$ は体である。つまり、$`R`$ は $`K`$ の拡大体。
- $`R`$ は $`K`$ の有限次ガロア拡大。
- 群 $`G`$ は拡大 $`R/K`$ のガロア群
具体例として次の状況があります。
- $`K := \mbf{R}`$
- $`R = R/K := \mbf{C}/\mbf{R}`$
- $`G := \mbf{Z}_2 = \mbf{Z}/2\mbf{Z}`$
この状況では、随伴関手ペアが生じるので、次のように書けます。
$`\quad \xymatrix@C+1.5pc{
\mbf{R}\H\mbf{CRng} \ar@/^1pc/[r]^{\mbf{Z}_2\H\mrm{Set}^{\mbf{C}/\mbf{R}} }
\ar@{}[r]|{\bot}
& (\mbf{Set}^{\mbf{Z}_2})^\op \ar@/^1pc/[l]^{\mbf{R}\H\mrm{CRng}^{\mbf{C}/\mbf{R}} }
}\\
\quad \In \mbf{CAT}
`$
ここで、圏 $`\mbf{Set}^{\mbf{Z}_2}`$ は、対合〈involution〉を備えた集合 $`X = (X, \tau_X)`$ （記号の乱用）と考えることができます。この解釈のもとで、次のように言えます。
- 圏 $`\mbf{R}\H\mbf{CRng}`$ ： 実数体 $`\mbf{R}`$ 上の可換環達の圏
- 圏 $`\mbf{Set}^{\mbf{Z}_2}`$ ： 対合付き集合達の圏
- 関手 $`\mbf{Z}_2\H\mrm{Set}^{\mbf{C}/\mbf{R}}`$ ： $`\mbf{R}`$-可換環 $`A`$ に対して、$`A`$ から $`\mbf{C}`$ への$`\mbf{R}`$-可換環準同型射の集合を対応させる。関数値への複素共役で対合〈$`\mbf{Z}_2`$-作用〉を入れて、対合付き集合と考える。
- 関手 $`\mbf{R}\H\mrm{CRng}^{\mbf{C}/\mbf{R}}`$ ： 対合付き集合 $`X`$ に対して、$`X`$ から $`\mbf{C}`$ への関数集合を対応させる。ただし、対合で値が複素共役になる関数だけに絞る。絞り込んだ関数集合を$`\mbf{R}`$-可換環だとみなす。
随伴関手ペア
一般に、2つの関手 $`F:\cat{D}\to\cat{C}`$ 、$`G:\cat{C}\to\cat{D}`$ が随伴関手ペア〈adjoint functor pair | 随伴系 | adjunction〉であること（$`F \dashv G`$ と書く）は、主に2つの方法のどちらかで定義します。
- 単位／余単位を用いた等式的な法則
- 自然なホムセット同型
ホムセット同型を用いる場合は、次のような形で書けます。
$`\quad \cat{C}(F(Y), A) \cong \cat{D}(Y, G(A)) \In \mbf{Set}`$
同型の自然性を記述するには、$`Y, A`$ でインデックス〈パラメトライズ〉された同型写像達の族を考えます。
$`\text{For }Y\in |\cat{D}|,\; A\in |\cat{C}|\\
\quad \Phi_{Y, A} : \cat{C}(F(Y), A) \overset{\cong}{\to} \cat{D}(Y, G(A)) \In \mbf{Set}`$
この同型射族が、次の自然変換になっていることが要求されます。
$`\quad \Phi :: \cat{C}(F(\hyp), \hyp) \overset{\cong}{\twoto} \cat{D}(\hyp, G(\hyp))
: \cat{D}^\op \times \cat{C} \to \mbf{Set} \In \mbf{CAT}
`$
ここで出てくる $`F`$ は、ホントは $`F^\op : \cat{D}^\op\to \cat{C}^\op`$ ですが、イイカゲンに書くのが習慣化しています（「イイカゲンとインチキを悔い改めるためのコスト」参照）。対象パートでは $`F = F^\op`$ ですが、射パートまで書くとイイカゲン記法は辻褄が合わなくまります。
自然性の可換図式は以下のようです。射パートではチャンと $`F^\op`$ と書くことにします。
$`\text{For }g:X\to Y \In \cat{D} \:\text{ i.e. }g:Y \to X \In \cat{D}^\op\\
\text{For }f:A\to B \In \cat{C}\\
\quad \xymatrix{
{\cat{C}(F(Y), A)} \ar[r]^{ \Phi_{Y, A} } \ar[d]_{ \cat{C}(F^\op(g), f) }
&{\cat{D}(Y, G(A))} \ar[d]^{ \cat{D}(g, G(f) ) }
\\
{\cat{C}(F(X), B)} \ar[r]^{ \Phi_{X, B} }
&{\cat{D}(X, G(B))}
}\\
\quad \text{commutative }\In \mbf{Set}
`$
ホム双関手 $`\cat{C}(\hyp, \hyp), \cat{D}(\hyp, \hyp)`$ の計算方法は「ホム関手とサンドイッチ結合」を参照してください。
集合の要素を追いかけましょう。$`\Phi`$ の成分による値を上線〈overline〉で書くことにします。無名ラムダ変数のハイフンと上線が紛らわしいので注意してください。
$`\quad \xymatrix@C+1pc{
(u:F(Y) \to A) \ar@{|->}[r]^{\o{\hyp}} \ar@{|->}[dd]_{F(g);\hyp; f}
&(\o{u}: Y \to G(A)) \ar@{|->}[d]^{g;\hyp;G(f)}
\\
{}
&(g;\o{u};G(f): X \to G(B)) \ar@{=}[d]
\\
(F(g);u;f : F(X) \to B) \ar@{|->}[r]^{\o{\hyp}}
&(\o{F(g);u;f} : X \to G(B))
}\\
\quad \text{commutative }\In \mbf{Set}
`$
等式を抜き出して書き下すと：
$`\text{For }g:X\to Y \In \cat{D} \:\text{ i.e. }g:Y \to X \In \cat{D}^\op \\
\text{For }f:A\to B \In \cat{C}\\
\text{For }u:F(Y) \to A \In \cat{C}\\
\quad g;\o{u};G(f) = \o{F(g);u;f} : X \to G(B) \In \cat{D}
`$
この等式が成立することが、ホムセット同型の自然性です。自然性はしちめんどくさいので割愛されることが多いです。が、ほんとは自然性を確認しないと随伴関手ペアであるとは言えません。
反変関手の場合の随伴関手ペア
先に挙げた具合的随伴関手ペアは、次の形でした。
$`\quad \xymatrix@C+1.5pc{
\mbf{R}\H\mbf{CRng} \ar@/^1pc/[r]^{\mbf{Z}_2\H\mrm{Set}^{\mbf{C}/\mbf{R}} }
\ar@{}[r]|{\bot}
& (\mbf{Set}^{\mbf{Z}_2})^\op \ar@/^1pc/[l]^{\mbf{R}\H\mrm{CRng}^{\mbf{C}/\mbf{R}} }
}\\
\quad \In \mbf{CAT}
`$
随伴関手ペアを構成する関手が反変関手です。一般的には次の形です。
$`\quad \xymatrix@C+1.5pc{
\cat{D} \ar@/^1pc/[r]^{F}
\ar@{}[r]|{\bot}
& \cat{C}^\op \ar@/^1pc/[l]^{G}
}\\
\quad \In \mbf{CAT}
`$
ホムセット同型の族である自然変換は次のようです。
$`\quad \Phi :: \cat{C}^\op(F^\op(\hyp), \hyp) \overset{\cong}{\twoto}
\cat{D}(\hyp, G(\hyp) ) : \cat{D}^\op\times \cat{C}^\op \to \mbf{Set}\In \mbf{CAT}
`$
自然変換の成分は次の形です。
$`\text{For }X\in |\cat{D}^\op|,\; A\in |\cat{C}^\op|\\
\quad \Phi_{X, A} : \cat{C}^\op(F^\op(X), A) \overset{\cong}{\to} \cat{D}(X, G(A)) \In \mbf{Set}`$
随伴関手ペアのホムセット同型の自然性の記述はしばしば省略されます。反変関手のときはさらにめんどくさいのでやりたくないでしょう。しかし、反変関手や反対圏の扱いをイイカゲンにしていると、誤解・曲解を招くかも知れません。
$`|\cat{C}^\op| = |\cat{C}|`$ 、$`\cat{C}^\op(F^\op(X), A) = \cat{C}(A, F^\op(X))`$ なので、ホムセット同型は次のようにも書けます。
$`\text{For }X\in |\cat{D}|,\; A\in |\cat{C}|\\
\quad \Phi_{X, A} : \cat{C}(A, F^\op(X)) \overset{\cong}{\to} \cat{D}(X, G(A)) \In \mbf{Set}`$
確かに、個々の〈パランパランの〉ホムセット同型はこの形でかまいません。しかし、だからといって、次のような自然変換が自動的に定義できるわけではありません。
$`\quad \Phi :: \cat{C}(\hyp, F^\op(\hyp)) \overset{\cong}{\twoto}
\cat{D}(\hyp, G(\hyp) ) \In \mbf{CAT}
`$
'$`\overset{\cong}{\twoto}`$' の左右の関手のプロファイルが整合してません。
$`\quad \cat{C}(\hyp, F^\op(\hyp)) : \cat{C}^\op \times \cat{D}^\op \to \mbf{Set} \In \mbf{CAT}\\
\quad \cat{D}(\hyp, G(\hyp)) : \cat{D}^\op \times \cat{C}^\op \to \mbf{Set} \In \mbf{CAT}
`$
引数の順番を入れ替えたり反対圏を使って、帳尻を合わせようとすると余計混乱してしまうでしょう。個々のホムセット同型達が系統的に連動することを示すには、最初に提示した形 $`\cat{C}^\op(F^\op(\hyp), \hyp) \overset{\cong}{\twoto}
\cat{D}(\hyp, G(\hyp) )`$ からブレークダウンするのが良いでしょう。
定理のステートメント
冒頭で「当該定理のステートメントをチャンと述べることをこの記事の目標にします」と言いました。目標である定理のステートメントは次のようになります。
体 $`L, K`$ に関して、$`L/K`$ が有限次ガロア拡大で、$`G`$ がそのガロア群であるとき、次は随伴関手ペアとなる。
$`\quad \xymatrix@C+1.5pc{
K\H\mbf{CRng} \ar@/^1pc/[r]^{G\H\mrm{Set}^{L/K} }
\ar@{}[r]|{\bot}
& (\mbf{Set}^G)^\op \ar@/^1pc/[l]^{K\H\mrm{CRng}^{L/K} }
}\\
\quad \In \mbf{CAT}
`$
ホムセット同型の族である自然変換（の成分）は：
$`\text{For }A\in |K\H\mbf{CRng}^\op|,\; X\in |(\mbf{Set}^G)^\op| \\
\quad \Phi_{A, X} :
(\mbf{Set}^G)^\op( (G\H\mrm{Set}^{L/K})^\op(A), X)
\overset{\cong}{\to} \\
\qquad K\H\mbf{CRng}(A, K\H\mrm{CRng}^{L/K}(X))
\In \mbf{Set}
`$
記法を簡潔にするために、
$`\quad F := G\H\mrm{Set}^{L/K} : K\H\mbf{CRng} \to (\mbf{Set}^G)^\op\\
\quad G := K\H\mrm{CRng}^{L/K} : (\mbf{Set}^G)^\op \to K\H\mbf{CRng}
`$
と置くと：
$`\text{For }A\in |K\H\mbf{CRng}^\op|,\;X\in |(\mbf{Set}^G)^\op| \\
\quad \Phi_{A, X} :
(\mbf{Set}^G)^\op(F^\op(A), X)
\overset{\cong}{\to}
K\H\mbf{CRng}(A, G(X))
\In \mbf{Set}
`$
自然性の可換図式は：
$`\text{For }g:Y\to X \In \mbf{Set}^G \:\text{ i.e. }g:X \to Y\In (\mbf{Set}^G)^\op\\
\text{For }f:B\to A \In K\H\mbf{CRng} \:\text{ i.e. }f:A \to B\In K\H\mbf{CRng}^\op\\
\quad \xymatrix{
(\mbf{Set}^G)^\op(F^\op(A), X) \ar[r]^{\Phi_{A, X}}
\ar[d]_{(\mbf{Set}^G)^\op(F^\op(f), g) }
& K\H\mbf{CRng}(A, G(X))
\ar[d]^{K\H\mbf{CRng}(f, G(g) ) }
\\
(\mbf{Set}^G)^\op(F^\op(B), Y) \ar[r]_{\Phi_{B, Y}}
& K\H\mbf{CRng}(B, G(Y))
}\\
\quad \text{commutative }\In \mbf{Set}
`$
上付きの $`{^\op}`$ がうるさいですが、“ほんとの反変関手”を認めない流儀では致し方ないことです。反変関手と反対圏の問題は次の過去記事で書いています。
*1:斎藤毅・著『数学原論』（https://www.utp.or.jp/book/b498553.html）です。
*2:反変関手を反対圏からの共変関手とみなすのは便利ですが、問題もあります。「イイカゲンとインチキを悔い改めるためのコスト」参照。
*3:左右の辻褄合わせを完全にしたいなら、行列の掛け算の左右を入れ替えて考えることになりますね。
