圏と関手の小ネタ。
boo は bijecton on objects の頭文字です。二文字 bo を使うこともあります（nLab は bo）。ff は full and faithful の頭文字です。(boo, ff)-分解〈(boo, ff)-factorization〉は、関手 $`F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}`$ を、boo部分とff部分に標準的に分解することです。この分解を次のように書きましょう。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}}
`$
$`\quad \xymatrix{
\mathcal{C} \ar[rr]^F \ar[dr]_{F_\mathrm{boo}}
&{}
&\mathcal{D}
\\
{}
&\mathcal{E} \ar[ur]_{F_\mathrm{ff}}
}\\
\quad F = F_\mrm{boo} * F_\mrm{ff}\\
\quad \text{In }\mathbf{CAT}
`$
中間の圏 $`\cat{E}`$ をどう構成するかというと：
- $`|\cat{E}| := |\cat{C}|`$
- $`\cat{E}(A, B) := \cat{D}(F(A), F(B))\: \text{ for }A, B\in |\cat{C}|`$
射の結合と恒等射は容易に定義できるでしょう。
$`F_\mrm{boo} : \cat{C}\to\cat{E}`$ は、対象パートは恒等写像として、ホムパートは $`F`$ と同じにします。これは、bijection-on-objects より強く identity-on-objects〈ioo〉な関手です。
$`F_\mrm{ff} : \cat{E}\to\cat{D}`$ は、対象パートは $`F`$ と同じにして、ホムパートはホムセットごとの恒等写像にします。ホムセットごとに恒等なので確かに充満忠実です。
(boo, ff)-分解の中間の圏 $`\cat{E}`$ を使いたいことがけっこうあります。関手 $`F`$ から圏 $`\cat{E}`$ を作る構成法に特に名前はないようですすが、$`F_\mrm{boo}`$ を作るときの副産物として出てくるのでboo構成〈boo construction〉でいいのでは。$`F\mapsto F_\mrm{boo}`$ が関手を作るboo構成、$`F\mapsto \mrm{cod}(F_\mrm{boo})`$ が圏を作るboo構成。
[追記]
- こちらは、Booo! ： [音街ウナ] Booo! / TOKOTOKO（西沢さんP）
[/追記]
