このブログの更新は Twitterアカウント @m_hiyama で通知されます。
Follow @m_hiyama

メールでのご連絡は hiyama{at}chimaira{dot}org まで。

はじめてのメールはスパムと判定されることがあります。最初は、信頼されているドメインから差し障りのない文面を送っていただけると、スパムと判定されにくいと思います。

参照用 記事

モノかつエピだがアイソではない例

hirataraさんからのトラックバックをたどってみたら、しりとりの圏の射(ひらがな文字列)が、「モノ射かつエピ射でも同型(アイソ)射にはならない」例*1を提供するよ、という内容でした。Kuwataさんたけをさんジョニーも話題にしています。

確かにしりとりの圏は表題の事例を提供しますが、できるだけ簡単な例が欲しいなら、・→・ という形の圏が例を与えます。左の点(対象)をa, 右の点をb、矢印(射)をfとし、この圏をCとします。

  1. Cの対象の集合 = {a, b}
  2. Cの射の集合 = {a, f, b}
  3. id(a) = a, id(b) = b (面倒だから、対象と恒等射は同一にした)
  4. dom(a) = cod(a) = a, dom(b) = cod(b) = b, dom(f) = a, cod(f) = b
  5. 結合(合成)「;」は見たマンマ: a;a = a, a;f = f, f;b = f, b;b = b
  6. これでもチャーンと圏になっていることを確認してね

圏Cの射fがモニックであることは、

  • Cの任意の射 g, h:x→a に対して g;f = h;f ならば g = h 。

ということですが、「任意の」と言ってみても、そういうg, hは a:a→a(恒等射)しかないので、

  • a;f = a;f ならば a = a

が成立していればいいわけですが、これは強烈に当たり前(成立しているに決まってるミソ)。よって、fはモニック(モノ射)。同様にしてfはエピック(エピ射)。

fが同型(アイソ)であるためには、b→a なる射が必要ですが、そもそもそんな射はないのでfは同型ではありえないミソ。

以上から、この圏Cのこの射fは「エピかつモノだがアイソではない」例ですね。



ところで、hirataraさんの「層・圏・トポス P53の定理3」で、スライドを使って詳細な証明を提示していましたが、「なるほどなー」と感心しました。同じ位置に図があると、パラパラ・マンガ式の簡易アニメーションになるので、とても効果的ですね。

*1:「モノ」や「エピ」をカタカナ書きしているのは、「単射」「全射」と書くと写像の意味に取られる危険が高いからです。単射はinjection、全射(または上射)はsurjectionの訳語として多く使われていますからね。