hirataraさんからのトラックバックをたどってみたら、しりとりの圏の射（ひらがな文字列）が、「モノ射かつエピ射でも同型（アイソ）射にはならない」例*1を提供するよ、という内容でした。Kuwataさん、たけをさん、ジョニーも話題にしています。
確かにしりとりの圏は表題の事例を提供しますが、できるだけ簡単な例が欲しいなら、・→・ という形の圏が例を与えます。左の点（対象）をa, 右の点をb、矢印（射）をfとし、この圏をCとします。
- Cの対象の集合 = {a, b}
- Cの射の集合 = {a, f, b}
- id(a) = a, id(b) = b （面倒だから、対象と恒等射は同一にした）
- dom(a) = cod(a) = a, dom(b) = cod(b) = b, dom(f) = a, cod(f) = b
- 結合（合成）「;」は見たマンマ： a;a = a, a;f = f, f;b = f, b;b = b
- これでもチャーンと圏になっていることを確認してね
圏Cの射fがモニックであることは、
- Cの任意の射 g, h:x→a に対して g;f = h;f ならば g = h 。
ということですが、「任意の」と言ってみても、そういうg, hは a:a→a（恒等射）しかないので、
- a;f = a;f ならば a = a
が成立していればいいわけですが、これは強烈に当たり前（成立しているに決まってるミソ）。よって、fはモニック（モノ射）。同様にしてfはエピック（エピ射）。
fが同型（アイソ）であるためには、b→a なる射が必要ですが、そもそもそんな射はないのでfは同型ではありえないミソ。
以上から、この圏Cのこの射fは「エピかつモノだがアイソではない」例ですね。
ところで、hirataraさんの「層・圏・トポス P53の定理3」で、スライドを使って詳細な証明を提示していましたが、「なるほどなー」と感心しました。同じ位置に図があると、パラパラ・マンガ式の簡易アニメーションになるので、とても効果的ですね。