忘却関手のハッキリした定義はありませんが、忘却関手は忠実関手であると想定されることが多いでしょう。しかし、忘却関手と呼ぶにふさわしそうでも、忠実ではない例もあります。
Catを小さな圏の圏(射は関手)、Setを集合の圏とします。小さな圏Cに対象集合|C|を割当て、関手 F:C→D in Cat に関手の対象部分 Fobj:|C|→|D| in Set を対応させる関手をObjとします。
- Obj(C) = |C|
- Obj(F:C→D in Cat) = (Fobj:Obj(C)→Obj(D) in Set)
この Obj:Cat→Set は射に関する情報を忘れ去るので忘却関手と呼んでいいでしょう。Objは、一般的には忠実とは言えません(関手全体が対象部分からは決まらない)。対象が1個の圏を考えれば、非忠実性は明らかです。
さて、D:Set→Cat を、集合に対して離散圏を対応させる関手とします。[追記]Dは関手を表し、斜体のDは圏を表すので注意![/追記]
- |D(A)| = A
- D(A)(a, a) = {ida}
- a≠b のとき、D(A)(a, b) = 空
次が成立します。
- Cat(D(A), D) Set(A, Obj(D))
この同型はA, Dに対して関手性を持つので、DとObjは随伴対になります。
- D -| Obj
このことから、圏D(A)が、集合Aから自由生成した圏だと言えます。
もうひとつ、K:Set→Cat を、集合に対して完全グラフの形をした圏を対応させる関手とします。
- |K(A)| = A
- K(A)(a, b) = {[a, b]}
- [a, b];[b, c] = [a, c]
- ida = [a, a]
次が成立します。
- Set(Obj(C), B) Cat(C, K(B))
この同型はC, Bに対して関手性を持つので、ObjとKは随伴対になります。
- Obj -| K
Kは、忘却関手Objの右随伴パートナーです。余自由生成関手と呼べばいいのでしょうかね。
まーともかく、忘却関手Objには左随伴パートナーDと右随伴パートナーKがあって、
- D -| Obj -| K
です。