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参照用 記事

忠実ではない忘却関手と左右の随伴パートナー

忘却関手のハッキリした定義はありませんが、忘却関手は忠実関手であると想定されることが多いでしょう。しかし、忘却関手と呼ぶにふさわしそうでも、忠実ではない例もあります。

Catを小さな圏の圏(射は関手)、Setを集合の圏とします。小さな圏Cに対象集合|C|を割当て、関手 F:CD in Cat に関手の対象部分 Fobj:|C|→|D| in Set を対応させる関手をObjとします。

  • Obj(C) = |C|
  • Obj(F:CD in Cat) = (Fobj:Obj(C)→Obj(D) in Set)

この Obj:CatSet は射に関する情報を忘れ去るので忘却関手と呼んでいいでしょう。Objは、一般的には忠実とは言えません(関手全体が対象部分からは決まらない)。対象が1個の圏を考えれば、非忠実性は明らかです。

さて、D:SetCat を、集合に対して離散圏を対応させる関手とします。[追記]Dは関手を表し、斜体のDは圏を表すので注意![/追記]

  • |D(A)| = A
  • D(A)(a, a) = {ida}
  • a≠b のとき、D(A)(a, b) = 空

次が成立します。

  • Cat(D(A), D) \stackrel{\sim}{=} Set(A, Obj(D))

この同型はA, Dに対して関手性を持つので、DとObjは随伴対になります。

  • D -| Obj

このことから、圏D(A)が、集合Aから自由生成した圏だと言えます。

もうひとつ、K:SetCat を、集合に対して完全グラフの形をした圏を対応させる関手とします。

  • |K(A)| = A
  • K(A)(a, b) = {[a, b]}
  • [a, b];[b, c] = [a, c]
  • ida = [a, a]

次が成立します。

  • Set(Obj(C), B) \stackrel{\sim}{=} Cat(C, K(B))

この同型はC, Bに対して関手性を持つので、ObjとKは随伴対になります。

  • Obj -| K

Kは、忘却関手Objの右随伴パートナーです。余自由生成関手と呼べばいいのでしょうかね。

まーともかく、忘却関手Objには左随伴パートナーDと右随伴パートナーKがあって、

  • D -| Obj -| K

です。