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参照用 記事

天空の支配者

上空にいる足し算の親玉を捕まえる」で次のように書きました。

雰囲気的に言うと、地上の圏Cの足し算構造を、上空にあるメタ圏内のただひとつの代数系が支配していることになります。

この「上空にいる親玉」を、もっと小洒落た呼び方をしたい、と。で、「天空の支配者」はどうかな、と。天空を支配する者ではなくて、天空にいて地上を支配している者を指します。「天空の城」(ラピュタ)の英訳が"Castle in the Sky"らしいから、"Ruler in the Sky"かな。

支配者、あるいは統御構造の実体は何かというと、最近言い出した圏論的モダリティというヤツです。

モダリティは、関手と自然変換の制約をゆるくしたもので非全域性と非自然性を許します。特に全域かつ自然であるモダリティは従来の関手と自然変換による構造になります。

連休の期間、CADG (Categorical Abstract Differential Geometry)に対する天空の支配者を探そう、と思っています。モダリティによる定式化は、複雑で錯綜した状況を整理するのに役立つので、圏上の微分構造(differential structure)/接構造(tangent structure)にも有効そうです。

“圏上の微分構造/接構造=CADG”は、去年(2016年)の夏に調べたことがありますが、なめらかな多様体の圏やベクトルバンドルの圏の上空に幾つものモナドやコモナドが居るような構造だと思われます。さらに、モナド/コモナドを構成するもっと細かい構成素があり、それらが天空の支配者として君臨している気がしています。今は「思われる/気がしている」状況なので、天空を眺めて支配者を捕捉したいな、というわけ。