米田の補題から言えることのひとつに、「自然変換はそんなに多くはない」ことがあります。2つの関手 $`F, G`$ のあいだの“すべての自然変換”というと、初見では、そもそも通常の集合〈小さい集合〉になるのかさえ不安ですが、たいていは通常の集合として記述可能です。
具体的な事例においては、2つの関手のあいだの自然変換が有限個しかなくて、完全に列挙できることもあります。そんな事例を紹介します。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\hyp}{\text{－} }
\newcommand{\In}{\text{ in } }
\newcommand{\For}{\text{For } }
`$
二値真偽値の集合を $`{\bf B}`$ とします。$`{\bf B}`$ の2つの要素は何でもいいですが、ここでは、
$`\quad {\bf B} = \{0, 1\}`$
とします。
$`\mrm{Pow}(X)`$ は、集合 $`X`$ のベキ集合ですが、ベキ集合を反変関手に仕立てます。写像に対する値は次のように定義します。
$`\For f:X \to Y \In {\bf Set}\\
\quad \mrm{Pow}(f) := (f^{-1} : \mrm{Pow}(Y) \to \mrm{Pow}(X) \In {\bf Set})
`$
$`f^{-1}`$ は逆写像ではなくて、部分集合の逆像を対応させる写像です。
反変関手 $`\mrm{Pow}`$ は、集合圏の対象 $`{\bf B}`$ によって表現可能〈representable〉です。どういうことかと言うと、次の自然同型が成立することです。
$`\quad {\bf Set}(\hyp, {\bf B}) \cong \mrm{Pow} \In [{\bf Set}^\mrm{op}, {\bf Set}]`$
この自然同型を与える自然変換を $`\varphi`$ とします。
米田の補題によれば：
$`\quad \mrm{Nat}({\bf Set}(\hyp, {\bf B}), \mrm{Pow}) \cong \mrm{Pow}({\bf B}) \In {\bf Set}`$
左辺の自然変換の集合 $`\mrm{Nat}({\bf Set}(\hyp, {\bf B}), \mrm{Pow})`$ に上記の $`\varphi`$ が入ってますが、それ以外に3個の自然変換（自然同型とは限らない）が存在するはずです。全部書き出してみましょう。
米田の補題のいいところ（のひとつ）は、補題が主張する同型を具体的に計算できることです。$`\mrm{Pow}({\bf B})`$ の要素に対応する自然変換を次のように名前を付けて、順に計算していくことにします。
| $`\text{要素}`$ | $`\text{自然変換}`$ |
|---|---|
| $`\{\}`$ | $`\alpha`$ |
| $`\{0\}`$ | $`\beta`$ |
| $`\{1\}`$ | $`\gamma`$ |
| $`\{0, 1\}`$ | $`\delta`$ |
このなかの一個は自然同型 $`\varphi`$ に一致します。
背景知識
背景知識となる米田の補題や関手の表現可能性に関しては、例えば以下の過去記事にあります。
α の計算
$`X \in |{\bf Set}|`$ に対する $`\alpha`$ の成分は、
$`\quad \alpha_X : {\bf Set}(X, {\bf B}) \to \mrm{Pow}(X) \In {\bf Set}`$
この成分の具体的な表示は：
$`\For p \in {\bf Set}(X, {\bf B})\\
\quad \alpha_X(p) := \mrm{Pow}(p)(\{\}) \text{ where } \{\}\in \mrm{Pow}({\bf B})
`$
計算すると：
$`\quad \mrm{Pow}(p)(\{\})\\
= p^{-1}(\{\})\\
= \{\} \; \in \mrm{Pow}(X)
`$
となり、すべての成分が、述語 $`p`$ を（$`\mrm{Pow}(X)`$ の要素である）空集合に移す定数関数になります。
β の計算
$`\beta`$ の成分の具体的な表示は：
$`\For p \in {\bf Set}(X, {\bf B})\\
\quad \beta_X(p) := \mrm{Pow}(p)(\{0\}) \text{ where } \{0\}\in \mrm{Pow}({\bf B})
`$
計算すると：
$`\quad \mrm{Pow}(p)(\{ 0 \})\\
= p^{-1}(\{ 0 \}) \; \in \mrm{Pow}(X)
`$
となり、$`\beta`$ の$`X`$-成分は、$`X`$ 上の述語 $`p`$ に対して $`0`$ （偽）の逆像をとる写像です。
γ の計算
$`\gamma`$ の成分の具体的な表示は：
$`\For p \in {\bf Set}(X, {\bf B})\\
\quad \gamma_X(p) := \mrm{Pow}(p)(\{1\}) \text{ where } \{1\}\in \mrm{Pow}({\bf B})
`$
計算すると：
$`\quad \mrm{Pow}(p)(\{ 1 \})\\
= p^{-1}(\{ 1 \}) \; \in \mrm{Pow}(X)
`$
となり、$`\gamma`$ の$`X`$-成分は、$`X`$ 上の述語 $`p`$ に対して $`1`$ （真）の逆像をとる写像です。これが $`\varphi`$ と同じものです。
δ の計算
$`\delta`$ の成分の具体的な表示は：
$`\For p \in {\bf Set}(X, {\bf B})\\
\quad \delta_X(p) := \mrm{Pow}(p)(\{0, 1\}) \text{ where } \{1\}\in \mrm{Pow}({\bf B})
`$
計算すると：
$`\quad \mrm{Pow}(p)(\{0, 1 \})\\
= p^{-1}(\{0, 1 \})
= X \; \in \mrm{Pow}(X)
`$
となり、$`\delta`$ の成分は、述語 $`p`$ を集合（$`\mrm{Pow}(X)`$ の要素） $`X`$ に移す定数関数になります。
まとめ
まとめると、4つの自然変換は次のようなものでした。
- $`X`$ 上の述語 $`p`$ に、常に空集合 $`\{\} \in \mrm{Pow}(X)`$ を対応させる。
- $`X`$ 上の述語 $`p`$ に、述語の値が偽である部分集合 $`p^{-1}(\{0\}) \in \mrm{Pow}(X)`$ を対応させる。
- $`X`$ 上の述語 $`p`$ に、述語の値が真である部分集合 $`p^{-1}(\{1\}) \in \mrm{Pow}(X)`$ を対応させる。
- $`X`$ 上の述語 $`p`$ に、常に全体集合 $`X \in \mrm{Pow}(X)`$ を対応させる。
具体的に列挙できるって、なんか楽しいですよね。
