この記事内では圏論の概念・用語は使ってませんが、背景は圏論的です。-- 関数は関係の特別なものとみなせます。単葉で全域的な関係が関数です。この特徴付けは、圏論的には「関数は、関係の2-圏の左随伴1-射」と言えるのでした（「左随伴関係は関数」参照）。では、関係の2-圏の右随伴1-射は何でしょう？ これは、随伴パートナーが転置で与えられることから簡単にわかります。関係の2-圏の右随伴1-射は弱分割関係（本文内で定義）です。
弱分割関係も関係の特別なものですが、その“特別さ”は関数の“特別さ”と同等なものです。関数が重要な概念であるなら、弱分割関係も重要な概念のはずです。圏論／随伴の文脈を離れても、弱分割関係はもっと注目されていい概念です。圏論は使わずに、弱分割関係を説明します。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }
\newcommand{\Imp}{\Rightarrow }`$
内容：
集合の弱分割
$`I,A`$ を集合として、$`I`$ でインデックス付けられた $`A`$ の分割〈$`I`$-indexed partition of A〉とは、次のような写像 $`P`$ です。
$`\quad P: I \to \mrm{Pow}(A)\\
\text{Where}\\
\quad \forall i\in I.\, P(i) \ne \emptyset\\
\quad \forall i, j \in I.\, i \ne j \Imp P(i) \cap P(j) = \emptyset\\
\quad \bigcup_{i\in I} P(i) = A
`$
ここで、$`\mrm{Pow}(A)`$ は $`A`$ のベキ集合〈powerset〉です。自然言語文で言えば次のようです。
$`P`$ は、$`I`$ の要素に $`A`$ の部分集合を対応させる。
集合 $`I`$ のどんな要素 $`i`$ に対する部分集合 $`P(i)`$ も空ではない。
$`i, j`$ が $`I`$ の異なる2つの要素ならば、$`P(i)`$ と $`P(j)`$ は交わらない（共通部分は空）。
部分集合 $`P(i)`$ 達を、すべての $`i`$ に渡って合併すると $`A`$ になる。
インデックスがない場合の $`A`$ の分割 $`Q`$ は次のように定義します。
$`\quad Q \subseteq \mrm{Pow}(A)\\
\text{Where}\\
\quad \emptyset \not\in Q\\
\quad \forall S, T \in Q.\, S \ne T \Imp S \cap T = \emptyset \\
\quad \bigcup_{S\in Q} S = A
`$
インデックスがない場合、分割 $`Q`$ は、$`A`$ のベキ集合の部分集合なので、$`A`$ の部分集合の集まりです。部分集合の集まりである $`Q`$ の満たすべき条件を自然言語文で言えば次のようです。
空集合は、部分集合の集まり $`Q`$ に含まれない。
$`S, T`$ が両方とも $`Q`$ に属する部分集合で、異なる2つの部分集合ならば、
$`S`$ と $`T`$ は交わらない（共通部分は空）。
$`Q`$ に所属する部分集合 $`S`$ 達を、すべて合併すると $`A`$ になる。
インデックスがない分割は、自分自身をインデックスとすることにより、インデックス付けられた分割〈indexed partition〉とみなせます。$`Q \subseteq \mrm{Pow}(A)`$ に対応する包含写像を $`P`$ と置くのです。
$`\quad P := \mrm{inclusion}_Q : Q \to \mrm{Pow}(A)`$
そうすると、写像 $`P`$ は、集合 $`Q`$ をインデックス集合〈indexing set〉とするインデックス付けられた分割になります。
インデックスがない場合も、インデックス付けられた分割の特殊ケースと考えることができます。というわけで、「インデックス付けられた」は“あらずもがな”なので省略します。
「分割」と言った場合、すべての部分集合が空ではないという条件は付けるようです（Wikipedia項目「集合の分割」参照）。「空ではない」の条件を外した場合は弱分割〈weak partition〉と呼ぶことにします。
$`P:I \to \mrm{Pow}(A)`$ が弱分割のとき、$`P(i) = \emptyset`$ となる $`i\in I`$ は存在するかもしれません。それは許容します。分割は弱分割の特別なものです。また、弱分割 $`P:I \to \mrm{Pow}(A)`$ が与えられたとき、分割（非空条件を満たす）を構成できます。それは次のものです。
$`\quad P': I' \to \mrm{Pow}(A)\\
\text{Where}\\
\quad I' := \{i\in I\mid P(i) \ne \emptyset\}\\
\quad P' := P|_{I'}
`$
$`P|_{I'}`$ は、$`P`$ の $`I'`$ への制限です。
全射な関係
$`A`$ から $`B`$ への関係 $`R`$ のプライマリーな定義（最初に提示される定義）は次のようです。
$`\quad R \subseteq A\times B`$
$`a \in A`$ に対する $`R`$ の“値” $`R(a)`$ は次のように定義できます。
$`\quad R(a) := \{y\in B\mid (a, y) \in R\}\;\in \mrm{Pow}(B)`$
したがって、関係 $`R`$ は次の非決定性写像とみなせます。
$`\quad R:A \to \mrm{Pow}(B)`$
“直積集合の部分集合としての関係”と“非決定性写像としての関係”は、断りなしに同一視する（同じものとして特に区別しない）ことがあります。
関数の場合と同様に、関係の像集合〈image | 像〉を次のように定義します。
$`\quad \mrm{Img}(R) := \{ y \in B\mid \exists x\in A.\, (x, y)\in R \}`$
次のように定義しても同じです。
$`\quad \mrm{Img}(R) := \bigcup_{x\in A} R(x)`$
これまた関数と同様に、関係が全射である〈surjective〉ことを次のように定義します。
$`\quad \mrm{Img}(R) = B`$
$`A`$ から $`B`$ への関係 $`R`$ が全射であることを像集合を使わずに直接書けば：
$`\quad \forall y \in B.\exists x\in A.\, (x, y)\in R`$
無交差な関係、弱分割関係
$`A`$ から $`B`$ への関係 $`R`$ が無交差である〈non-intersectional〉とは次のことです。
$`\quad \forall x, x' \in A.\, x\ne x' \Imp R(x) \cap R(x') = \emptyset`$
これは簡単ですね。$`A`$ の異なる2つの要素に対する2つの部分集合が交わらない（共通部分が空である）ことが無交差です。
関係 $`R`$ が無交差でかつ全射である〈non-intersectional and surjective〉とします。すると、非決定性写像としての $`R:A \to \mrm{Pow}(B)`$ は、$`A`$ でインデックス付けられた $`B`$ の弱分割を定義します。このことから、無交差かつ全射な関係を弱分割関係〈weakly partitioning relation〉とも呼ぶことにします。“直積集合の部分集合としての関係”と“非決定性写像としての関係”を同一視するなら、無交差かつ全射な関係を単に弱分割と呼んでもいいでしょう。
弱分割関係は関数の転置
関係が単葉であることと全域であることは、「左随伴関係は関数 // 単葉関係、全域関係、関数」で定義しましたが、もう一度繰り返します。
$`A`$ から $`B`$ への関係 $`R`$ が単葉〈univalent〉であるとは：
$`\quad \forall x\in A.\, R(x) = \emptyset \lor R(x) \cong {\bf 1}`$
自然言語文への言い換えは「左随伴関係は関数 // 単葉関係、全域関係、関数」にあります。
$`A`$ から $`B`$ への関係 $`R`$ が全域〈total〉であるとは：
$`\quad \forall x\in A.\, R(x) \ne \emptyset`$
$`A`$ から $`B`$ への関係 $`R`$ の転置 $`R^t`$ は次のように定義します。
$`\quad R^t := \{(y, x) \in B\times A\mid (x,y)\in R \}`$
$`R^t`$ は $`B`$ から $`A`$ への関係になります。
次が言えます。
- $`R`$ が全射 ⇔ $`R^t`$ が全域
- $`R`$ が無交差 ⇔ $`R^t`$ が単葉
確認してみてください。
$`R`$ が全域かつ単葉なら、$`R`$ は関数（関数とみなせる関係）でした。このことから次も言えます。
- $`R`$ が弱分割 ⇔ $`R^t`$ が関数
つまり、「弱分割関係は関数の転置」（この記事のタイトル）です。
「転置が全域であること」を、関数と同じ言葉で「全射である」と定義しました。その流儀でいくと、「転置が単葉であること」も、関数と同じ言葉で「単射である」と言うほうがバランスが良かったかもしれません。
- 全射である ⇔ 転置が全域である
- 単射である ⇔ 転置が単葉である
となると、無交差とバランスが良い言葉はなんでしょう。被覆〈covering〉でしょうかね。
- 被覆である ⇔ 転置が全域である
- 無交差である ⇔ 転置が単葉である
[/追記]
おわりに
圏論の概念・用語は使わないようにしたのですが、「左随伴関係は関数」の言葉を使えば、関係の2-圏の右随伴1-射は弱分割だということになります。
集合と関数〈写像〉の圏 $`{\bf Set}`$ は集合と関係の圏 $`{\bf Rel}`$ にストレートに埋め込めます。反変に埋め込みたい、あるいは $`{\bf Set}^\mrm{op}`$ を具体的に実現したいなら、集合と弱分割関係の圏が集合圏の反変的実現になります。
