…2次元または3次元のストリング図やペースティング図が使われます。この状況で、「上下」「左右」「前後」などの意味が曖昧だと、コミュニケーションが破綻してしまいます。ハッキリした約束が必要なのです。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} } \newcommand{\op}{ \mathrm{op} } \newcommand{\In}{\text{ in }} \newco…

…、コンピュータッド、ストリング図 ここでの指標 $`\Sigma`$ は、集合 $`A`$ と“モノイド向けの等式”の集合 $`E`$ のペア $`(A, E)`$ です。$`E`$ は次の条件で記述できます。$`\quad E \subseteq \mrm{List}(A)\times \mrm{List}(A)`$$`E`$ は空集合でもかまいません。$`\Sigma = (A, E)`$ は、例えば次の構文で記述できます。$`\text{signature }\Sigm…

…L, F_R`$ をストリング図で描けば次のようです。描画方向は上から下、左から右です。背景エリアのラベル（$`\o{X}, A`$）は省略しています。このままでは、射の結合の描画が難しいので、$`F_L`$ は上から下、$`F_R`$ は下から上に変更します（左右の反転はしません）。次のようになります。さて、スパンのあいだの射 $`F:X \to Y`$ と $`G:Y \to Z`$ を結合するとします。2-圏 $`\cat{K}`$ 内のペースティング図に展開すると、次…

…l g')`$絵算（ストリング図の計算）でやります。下段の $`f;f'`$ と $`g;g'`$ がカップリング可能であるためには、 $`\quad \mrm{Mix}(f;f') = \mrm{Proj}(g; g')`$ が成立している必要があります。これを確認します（以下）。状態のワイヤーを示す横棒の痕跡は気にしないでください。これで、$`(f;f')\coupl ( g;g')`$ が定義可能なのは大丈夫です。問題は、縦に集計した値と横に集計した値が一致するか？ で…

…$内容： デカルト・ストリング図と経路行列の方法 修正ミックス操作 環境付き計算ペアのカップリング 演算達が出揃った ハブ記事： 環境付き計算と依存アクテゴリー 1/n デカルト・ストリング図と経路行列の方法「環境付き計算と依存アクテゴリー 1/n」を一瞥すれば分かるように、デカルト圏における計算には絵算〈ストリング図の計算〉をヘビーに使っています。（少なくとも僕は）テキスト数式の計算ではとても手に負えないです。$`\cat{C}`$ をデカルト圏〈デカルト・モノイド圏〉とし…

…の結合と恒等射は次のストリング図のように定義します。 射の向きは上から下。 箱の上側左のワイヤーが環境、右のワイヤーが入力、下のワイヤーが出力。 オレンジ色の横向き破線は結合を表す。 オレンジの色の枠は、構成された射を表す。 黒い二股分岐は対角射〈コピー射〉、黒い小さな下向き三角形は終射〈削除射 | 破棄射〉。 こうして定義された射の結合と恒等射が、結合法則と左右の単位法則を満たすことは以下の絵等式（ストリング図のあいだの等式）から分かります。オレンジ色の枠はテキスト数式の括…

…のことです。随伴系をストリング図とストリング図描き換えとして表すと次のようです。 0-射は、バッテン（文字エックスではなくてエリア） 1-射は、ワイヤー 恒等1-射は、黒点線ワイヤー 2-射は、ノード 恒等2-射は、黒点線輪郭のノード 3-射は、ストリング図の描き換え〈変形〉 「アドホック随伴系と自由対象・台対象」に、ペースティング図と指標もあります。随伴系 $`A`$ を圏 $`\AdjII{1}{L}( \cat{K} )`$ の1-射とみなしたものは次のように書きます。…

…ポアンカレ双対であるストリング図で描くほうが分かりやすいです*7。 モノイドのあいだの準同型射〈モノイド射〉も定義できます。二重圏 $`\dblcat{D}`$ 内のモノイド達とそのあいだのモノイド射の全体は圏を形成します。この圏を $`\mrm{Mon}(\dblcat{D})`$ とします。2-圏では、同様な構造をモナド〈monad〉と呼びます。2-圏を二重圏に埋め込むと、2-圏のモナドは二重圏のモノイドになります。「モノイド」「モナド」という呼び名の違いは単に歴史的経緯…

…いてあります。 層化ストリング図 // 裏返し反変関手 反対圏と反変関手はややこしい 状態遷移系としての前層・余前層・プロ関手 // 捻じれ対のテキスト表示と図示 両側、左、右からの遷移系双遷移系とそのあいだの準同型写像については以下で述べています。ここでは繰り返し述べません。 双遷移系達の3次元の圏 // 双遷移系 双遷移系達の3次元の圏 // 双遷移系の準同型写像 モノイド $`M, N`$ を固定して、すべての $`(M, N)`$-双遷移系とそのあいだの準同型写像を考…

…ペースティング図からストリング図へ 最良のコスパン・フィラー 1-圏の2-射通常の圏〈1-圏〉にも2-射はあります。1-圏の2-射とは、射のあいだの等式のことです。$`f, g : A \to B`$ が圏 $`\cat{C}`$ の2つの射だとして、$`f`$ から $`g`$ への2-射は次の等式です。$`\quad f = g \;: A \to B \In \cat{C}`$「$`f`$ と $`g`$ が等しい」ことに $`\alpha`$ という名前を付けて、向き…

…双対をとると、以下のストリング図になります。どのような図法・レイアウトで描こうが、二重圏におけるニッチの充填問題を記述していることに変わりはありません。さて、所与フレーム〈given frame〉と未知項〈unknown〉を色を使って区別する代わりに、疑問符付きのラベルで未知項を表すことにしましょう。$`\quad \xymatrix{ A \ar@{-->}[r]^{p?} \ar[d]_{f} \ar@{}[dr]|{\phi?\,\Downarrow\:} &C \ar…

…ィング図の縦方向は、ストリング図では横方向になります（ディビッド・ジャズ・マイヤースのように、90度回転して揃えようとする人もいます）。「縦横」を使い続けるのは得策じゃないな、と僕は判断しました。プロ射〈proarrow | promorphism〉という言葉は浸透していて安定しているので、縦横ではなくてプロ射の方向〈promorphism direction〉、あるいは短くプロ方向〈pro-direction〉と呼ぶことにします。プロ射ではない1-射は、アーカー／マクダルメ…

…ィング図の充填問題 ストリング図で描くと ペースティング図の充填問題以下は「カン拡張／カン持ち上げと上ホム対象／下ホム対象、充填三角形」で出した右カン拡張に関わるペースティング図です。これを見てすぐ「なるほど確かに右カン拡張だ」と判断できる人もいるでしょうが、図の描き方（ペースティング図かストリング図か）や描画方向・レイアウトが変わると戸惑うこともあるでしょう。見た目が違う図を構造的に同じだと判断するのはけっこう難しい作業でトレーニングが必要です（以下の過去記事参照）。 双対…

…11189 二重圏のストリング図に関する以下の論文で、ディビッド・ジャズ・マイヤースも同様な記法 $`\cat{D}(F, 1)`$ を使っています。 [Mye16-18] Title: String Diagrams For Double Categories and Equipments Author: David Jaz Myers Submitted: 8 Dec 2016 (v1), 2 Mar 2018 (v4) Pages: 33p URL: https://a…

…。ペースティング図／ストリング図の射の並びや結合をテキストに書き出すときの順番のことです。これも人により場合によりバラバラです。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\In}{\text{ in }} \newcommand{\dcat}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\hyp}{\text{－} } \newcommand{\NFProd}[3]{ \mathop{_{#1} \!\un…

…を縦にとっています。ストリング図にすると、ポアンカレ双対でプロ射が横方向のワイヤーになります。ストリング図ワイヤーとして横方向に描かれたプロ射を、マイヤースは「横射」と呼んでいます。結果的にプロ射が横射です。 [Mye16-18] Title: String Diagrams For Double Categories and Equipments Author: David Jaz Myers Submitted: 8 Dec 2016 (v1), 2 Mar 2018 (…

…の補題 米田の補題とストリング図 $`\mrm{Nat}(\hyp, \hyp)`$ は関手圏 $`[{\bf Set},{\bf Set}]`$ のホムセットの略記です。したがって、$`\mrm{Nat}(\hyp, \hyp)`$ の左側引数の余極限は、極限として外に出せます。$`\quad \mrm{Nat}(\mrm{colim}_\cat{I}\, D, G) \cong \mrm{lim}_\cat{I}\, \mrm{Nat}(D(\hyp), G) \In {…

…ta'`$ だけ絵（ストリング図）に描くと次のようです。$`\msc{A}*\msc{A'}`$ が、随伴系の等式的法則〈公理〉であるニョロニョロ法則〈snake {law | relation | equation | identity}〉を満たすことも簡単に示せます。さらに、随伴系達は横結合で圏になります。恒等は次の自明な随伴系です。$`\quad \msc{I}_A := \big(\, (\mrm{id}_A:A \to A) \dashv (\mrm{id}_A :…

…}`$ です。「層化ストリング図 // 裏返し反変関手」で導入した $`\mrm{Rev}`$ を使うと：$`\mrm{Rev}_M : M \to M^\op\\ \For a, b \in \u{M}\\ \quad \mrm{Rev}_M(a\cdot b) = \mrm{Rev}_M(b) \o{\cdot } \mrm{Rev}_M(a) `$$`\mrm{Rev}_M`$ は、写像としては単なる恒等写像です。$`\mrm{Rev}_M`$ は通常の意味の関手（ある…

…の補題 米田の補題とストリング図 大域米田の補題 表現可能な関手$`F:\cat{C}^\op\to {\bf Set}`$ を前層（反変関手）として、次のような自然同型（関手圏における同型）が成立するとき、前層 $`F`$ は表現可能〈representable〉であるといいます。$`\text{For some }A \in |\cat{C}|\\ \quad よ^A \cong F \In [\cat{C}^\op, {\bf Set}] `$対象 $`A\in |\c…

…反変関手と、2-圏のストリング図 // 反対圏の対象と射のテキスト表示」で次のように書きました。 定義上は、$`\cat{C}`$ の対象・射と $`\cat{C}^\op`$ の対象・射はまったく同じです。 $`\mrm{Obj}(\cat{C}) = \mrm{Obj}(\cat{C}^\op)`$ $`\mrm{Mor}(\cat{C}) = \mrm{Mor}(\cat{C}^\op)`$ したがって、$`A\in |\cat{C}|`$ なら $`A\in |\ca…

…t}`$ この状況をストリング図で描けば次のようになります。オレンジ色は別名を付けたことを示します。この構造から定義される左拡張カン化〈left extension Kanning〉を、象形文字 $`{_\vee \hyp}`$ で表します（ハイフンはプレースホルダー）。$`\beta \mapsto \mrm{lun} \,; (K * \beta)`$ で定義される反左拡張カン化〈left extension unKanning | 左拡張反カン化〉は、象形文字 $`{^…

…／ペースティング図／ストリング図による随伴系の記述が次の過去記事にあります。 随伴系の2-指標 前節と同様に、双対と随伴の共通の抽象化を2-圏 $`\cat{K}`$ のなかで定式化します。$`\cat{K}`$ の2つの1-射 $`f, g`$ が随伴ペアであることを次のように書きます。$`\quad f \dashv g`$これだけでは情報が不足なので、次のように書くことにします。$`\quad (f: c \to d) \dashv (g: d \to c)\text{…

…あるようです。絵図（ストリング図／ワイヤリング図）の切り貼りを支配している代数系です。この代数系（“貼り合わせ代数”と呼びます）について述べます。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\u}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\In}{\text{ in } } \newcommand{\bdry}{\partial } …

…張を対応させた絵図（ストリング図）が載っています。ここでは、新しく導入した $`{_\sqcup \hyp}`$ が象形文字となるように、評価射を四角で描く描画法を紹介します。この描画法でベータ等式とイータ等式を描いてみます。上図はベータ等式です。丸いキャップ $`\cap`$ がラムダ抽象〈カリー化〉を表します。角ばったカップ $`\sqcup`$ は評価射をポスト結合することを表します。なので、上の絵図等式は $`{_\sqcup{^\cap f}} = f`$ を表しま…

…ース付きモノイド圏のストリング図における縮約は、外部辺の架橋〈bridging〉（または架橋した後で縮減）に対応します。架橋と縮減は別な操作です。といった事情で、半グラフに対して「縮約〈contraction〉」は使いません。切断、架橋、実縮減、仮想縮減を組み合わせた半グラフの変形操作を半グラフ変形〈semi-graph deformation〉と呼びます。半グラフ二重圏のプロ射は半グラフ変形です。以下に、半グラフ変形の例を挙げます。上の図の半グラフ変形は： 'C' とマーク…

…ぐ、ということです。ストリング図を描くと事情がハッキリするでしょう。このようにして作られた $`\cat{M} = \mrm{Multi}(\cat{C})`$ は、実際に複圏の公理を満たすことが示せます（思いのほか面倒ですが）。$`\mrm{Multi}(\cat{C})`$ の複射は、実体としては $`\cat{C}`$ の射です。しかし、プロファイル（見かけ上の肩書き）が変わることで、扱いが変わってきます。複ホムセットとホムセットは同一の集合ですが、だからといって「どっ…

…ソルネットワークは、ストリング図〈ワイヤリング図〉です。ただし、ワイヤーに向きが付いてないので、無向ストリング図〈無向ワイヤリング図〉です。向きがある図も使うのかも知れませんが、ここではワイヤーに向きがないテンソルネットワークだけを考えます。テンソルネットワークでは、特別なノードとしてデルタノード〈delta node〉あるいはスパイダー〈spider〉と呼ばれるノードがあります。https://tensornetwork.org/diagrams/ では、デルタノードはワイ…

…して二重圏 二重圏のストリング図の描画方向 二重圏を語るために 二重圏の語法・記法、ローカルルール事例 コステロの半グラフ圏においては： $`\cat{G}`$ に相当する圏は、カローラ林を対象として、カローラ林のあいだのアルファ変換を射とする亜群 $`{\bf CorollaForestG}`$ $`\cat{D}`$ に相当する圏は、半グラフを対象として、半グラフのあいだのアルファ変換を射とする亜群 $`{\bf SemiGraphG}`$ 横結合 $`(*)`$ は、射…

…ないワイヤリング図／ストリング図だと思ってかまいません。無向ワイヤリング図／ストリング図はソフトウェアシステム（特にデータベースシステム）の記述に使えます。昨日の記事「亜群をベースとする圏類似構造： コステロの事例」で、ケビン・コステロ〈Kevin Costello〉が定義した“グラフの圏”を紹介しました。コステロの“グラフ”とは半グラフのことです。“グラフの圏”は、半グラフが射になっている圏です。ほんとに圏になっているかは怪しいのですが、実用上そこを気にする必要はありません…