…は完全に忘れたい。 ストリング図やオペラッド〈複圏〉と相性が良い構文にしたい。 格納されたデータと論理的な条件を同等に扱いたい（WHERE句をテーブル扱いしたい）。 データ型は抽象的・概念的な構造として定義したい。 通常のプログラミング言語と同様に変数・関数を使いたい。 単純明快で夾雑物がなくスッキリしていることが第一で実用性なんてもんは考えません。この記事の最後に、この記事と引き続く記事の「動機と目的と方針」を書いています。最後の節を最初に読むほうがいいかも知れません。$`…

…ース付きモノイド圏のストリング図における縮約は、外部辺の架橋〈bridging〉（または架橋した後で縮減）に対応します。架橋と縮減は別な操作です。といった事情で、半グラフに対して「縮約〈contraction〉」は使いません。 graft〈接ぎ木する〉 を bridge〈架橋する〉に変えたのは、graft が substitute〈置き換える〉の意味で使われることがあるからです。特に、ツリーに対するリーフの置き換え〈substitution〉は接ぎ木〈grafting〉と呼ば…

…： ワイヤリング図〈ストリング図テンプレート〉の全体は複圏〈multicategory〉の構造を持ちます。 ...[snip]... ワイヤリング図達の複圏を $`\cat{WD}`$ とします。$`\cat{WD}`$ が何者であるか？は、今は保留します。そういう複圏があるのだ、と思ってください。 ごく最近でも「保留」状態で、ワイヤリング複圏（とその土台となる基礎圏）の完全な記述が出来ていないのです。問題点・疑問点まず第一の、そして最大の問題・疑問は「スケマティック系って、…

…グ図ワイヤリング図はストリング図テンプレートの同義語です（「有限コレクションとスケマティックなシステム記述 // ワイヤリング図達の複圏」参照）。ストリング図テンプレートとストリング図を区別しないこともあるので、結果的に、ワイヤリング図、ストリング図テンプレート、ストリング図はあまり区別されません。半グラフとワイヤリング図もほぼ同じです。違いは： 半グラフは、特にことわりがなければ辺に向きはないが、ワイヤリング図は原則的にワイヤーに向きがある。 半グラフでは、ワイヤリング図の…

… diagram〉とストリング図テンプレート〈string diagram template〉は同義語です。ワイヤリング図／ストリング図テンプレートについては、以下の過去記事を参照してください。 モノイド圏上のテンプレート・オペラッド：具体例とソフトウェア的解釈 オペラッドと型付きラムダ計算 ワイヤリング図とケリー／マックレーン・グラフ 強いて言えば、ストリング図テンプレートで、出現するすべてのノード〈ボックス〉が穴〈プレースホルダー | テンプレート変数〉である場合がワイヤ…

…osition〉は、ストリング図ではワイヤリングにより記述されています。ワイヤリングの集合圏における解釈は集合係数のテンソル計算で与えられます。IOCシステムとレンズ射〈制御ラッパー〉が混じった計算は、集合係数のテンソル計算とレンズ計算のハイブリッドになります。実例： オートマトン$`\mbf{IOCSys+Lens}`$ により定式化できる具体例として、形式言語理論に出てくるオートマトンを取り上げます。形式言語理論／オートマトン理論の伝統では、ラベル付き遷移系〈labele…

…よる計算は出来るが、ストリング図による計算がうまくいかない。 ペースティング図による計算は複雑になりがち。 実際のシステムに関する素朴な直感があまり効かない。 そこで、準同型方向はとりあえず捨てて、入出力方向、制御方向、モノイド積方向の三方向を考えます。グロタンディーク二重構成のような大道具は使わずに、出来るだけ素朴かつ直接にシステム概念を定式化することにします。$`\newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}} \newcommand{\In}{\tex…

…ていました。図式にはストリング図もあります。ストリング図をグラフとして扱う方法として、ストリンググラフ〈string graph〉があります。ストリンググラフでは、ノード頂点とワイヤー頂点という二種の頂点を使います。以下の過去記事にストリンググラフの説明があります。 ストリング図とストリンググラフ、何が違う？ ストリンググラフとストリング図 半グラフ〈semigraph〉を使ってもストリング図の定義ができます。 半グラフの様々な定義 半グラフに関する記事はけっこうな量あります…

…を記入するノード、「ストリング図と因子グラフ」参照）と同じ役割りをはたします。vnam属性は、例えば次の形に描けます。$`\quad \xymatrix@C+1pc{ {x: \mbf{R}} \ar[r] \ar[d] \ar@{}[dr]|{\SWArrow} &{n : \mbf{N} } \ar[d] \\ {\cdot} \ar@{=}[r] &{\cdot} }`$ 矢印の属性の表現方法前節の例を考えます。class属性（すぐ後に説明）を追加します。$`\quad…

…ト、問題図式、解図式ストリング図やペースティング図をテンプレート化して使うことは重要です。テンプレートやテンプレート充填問題（当初はフレーム充填問題と呼んでいた）については、以下の過去記事に書いています（「メリス／ジルバーガーの圏論的判断計算」でも挙げた過去記事リストです）。 モノイド圏上のテンプレート・オペラッド：具体例とソフトウェア的解釈 オペラッドと型付きラムダ計算 圏論におけるフレーム充填問題 1-圏でもフレーム充填問題、因子分解と比較子 フレーム充填問題と解空間関手…

…去記事があります。 ストリング図のテキスト化は何が大変か？ ストリング図だけではなく、ペースティング図でもその他の図式でも、テキストに書き下すのは手間がかかり大変です。面倒くさいだけでなくて、「なんでこんなバカバカしい事をせにゃならんのだ？」というストレス／心的ダメージも大きいです。「心が折れる」のですよ。僕は、「過渡期だからしょうがないんだ」と考えています（以下の過去記事参照）。 「コミュニケーションの多次元化」という革命に立ち会っているのだと思う 次の過去記事達でも愚痴（…

…ド乗法、モナド単位 ストリング図、ペースティング図 ハブ記事： コンテキスタッド、包括圏、ハイパードクトリン 厳密コンテキスタッドコンテキスタッドの定義は複雑です。「コンテキスタッドかぁ、ウーム‥‥」より： コンテキスタッド全体は複雑で大規模な構造です。上記論文 [CM24-] の Definition3.17. がコンテキスタッドの定義ですが、形式的定義だけで3ページを費やしています。 例えば、群の定義を形式的に書けば数行で終わるでしょう。それに対して丸々3ページです。 […

…ては、「米田の補題とストリング図」に記述があります。抽象的な定義だけではピンとこないでしょう。以下の過去記事に、前層の表現系（一部は余前層の余表現系）の例があります。 表現可能関手と普遍元の例、ラムダ計算から カン拡張の普遍性とは？ 圏論的な普遍構成の代表的な例 多項式環と台集合忘却関手 余前層のグロタンディーク構成と始対象前層の表現系において、表現対象と普遍元のペアは、当該前層をグロタンディーク構成した圏（要素の圏と呼ぶ）の終対象です。このことは、以下の記事に書いています。…

…という2つの法則を、ストリング図で描いてみると以下のようです。オレンジ色の丸が $`m`$ で、マゼンタの三角が $`r`$ です。ワイヤーがグニッと曲がっているところは以下の結合律子〈associator〉です。$`\quad \alpha_{S, S, S} :: (S\times S)\times S \to S\times (S \times S)\In \mbf{Set}\\ \quad \alpha_{X, S, S} :: (X\times S)\times S…

…れぞれ四角形ですが、ストリング図で描くと4脚の（4本のワイヤーを持つ）ノードになります。$`\alpha_\mrm{left}`$ と $`\alpha_\mrm{right}`$ は無関係ではなくて、互いにメイト〈mate〉になっています。メイトについては、「随伴系の二重圏 // メイト」に書いてあります。パルムクイスト二重圏のプロ射は随伴関手ペアですが、プロ射の方向の決め方が、「左関手にあわせる／右関手にあわせる」の二通りあります。どちらを選ぶかによって別な二重圏ができま…

…てください。 絵算（ストリング図）における池袋駅問題の真相 絵算の描画方向を示すために旗を使うことにした 鏡映は、描画のキャンバス空間（今の場合は2次元平面）のオリエンテーションを反転させます。時計回りが反時計回りになります。以上の話は純粋に幾何的なことなのですが、圏論側の問題（困難の発生源）として反対圏と反変関手があります。以下の過去記事を参照してください。 共変関手／反変関手はほんっとうにややこしい イイカゲンとインチキを悔い改めるためのコスト ペースティング図を反対圏で…

…に」などに載せていたストリング図です。この絵図を、色（赤と青）も含めて、出来るだけ忠実に写し取ると、次のテキストによる指標になります。$`\T{signature }\T{AdjointSystem }\:\{\\ \quad \red{\cat{D}} \In \mbf{Cat}\\ \quad \blue{\cat{C}} \In \mbf{Cat}\\ \quad \red{R} : \red{\cat{D}}\to \blue{\cat{C}} \In \mbf{Ca…

…（ペースティング図やストリング図）をWeb上で描けない。描けたとしても手間がかかり過ぎる。 圏論で使う絵図のテキスト化がうまくいかない。やれるとしても手間がかかり過ぎる。可読性も極悪。 絵図を描くことがお手軽に上手に出来るなら、あえてテキストにすることもないので、絵図が描けないことが僕の悩みの根源です。とはいえ、状況は徐々に改善されつつあります。園部さん（https://github.com/sonoisa）による XyJax (Xy-pic extension for Ma…

…、コンピュータッド、ストリング図 等式的2-グラフ（2-圏の記述のために） 可換図式は特別なペースティング図とみなせます。これは、1-圏を特別な2-圏とみなすことで遂行されます。1-圏を2-圏とみなす方法は： 任意の圏を等式により2-圏とみなす 今回この記事では、多角形に対角線を描くことで面〈surface〉を表す方法を述べます。基礎知識として多辺形と多角形（二辺形／二角形も含む）について詳しく説明します。1-グラフと2-グラフ単に「グラフ」と言った場合、有向グラフ〈dire…

…カン拡張なので、次のストリング図中の疑問符のところを埋める普遍的な解〈フィラー〉です（テンプレート充填問題の解、「カン拡張ラムダ計算化 方針」参照）。$`\quad \xymatrix@C+1pc{ {} &F \ar@{-}[dd] &{} \\ {\cat{C}} &{} &{\cat{D}} \\ {} &*+[o][F]{?} \ar@{-}[ddl] \ar@{-}[ddr] &{} \\ {} &{\cat{C}^{\wedge} } &{} \\ {よ^{\we…

…圏達の2-圏のなかのストリング図で描くと、以下のようです。描画方向は、関手の結合方向が左から右、自然変換の縦結合方向が上から下です。$`\quad \xymatrix{ {} &F \ar@{-}[dd] &{} \\ {\cat{C}} &{} &{\cat{D}^{\vee\op}} \\ {} &*+[o][F]{?} \ar@{-}[ddl] \ar@{-}[ddr] &{} \\ {} &{\cat{C}^{\vee\op} } &{} \\ {よ^{\vee\op…

…ライン〉は、 「層化ストリング図 // 裏返し反変関手」で導入した裏返し関手〈reversing functor〉の略記です。次の可換図式があります。$`\quad \xymatrix{ \cat{A} \ar[r]^F \ar[d]_{\mrm{Rev}_\cat{A}} \ar[dr]|{\o{F}} & \cat{X} \ar[d]^{\mrm{Rev}_\cat{X}} \\ \cat{A}^\op \ar[r]_{F^\op} & \cat{X}^\op }\\ \…

…反変関手と、2-圏のストリング図」で述べたように、ほんとの反変関手を含む圏達の2-圏を考えるのは一案です。共変関手と反変関手の結合が素直にできます。しかし、別なところで歪みが生じます。反変関手と共変関手のあいだの自然変換はどう定義したらいいでしょう？ なんだかよく分かりません。“あちらを立てればこちらが立たず”な状況で難しい。 ほんとの共変関手も含めた関手計算を模索して四苦八苦していたのですが、難しいですね。感触としては「出来なくはない」と思えるのですが、色々と複雑になってし…

…反変関手と、2-圏のストリング図」で述べたように、ほんとの反変関手を含む圏達の2-圏を考えるのは一案です。共変関手と反変関手の結合が素直にできます。しかし、別なところで歪みが生じます。反変関手と共変関手のあいだの自然変換はどう定義したらいいでしょう？ なんだかよく分かりません。“あちらを立てればこちらが立たず”な状況で難しい。反変・共変関手とカリー化と結合を、厳密で辻褄があった形で提示できれば、“直感的で雑な議論”と $`よ*よ \cong た`$ を合理化できるんですが ‥…

…ースティング図またはストリング図）で表現されていることをテキスト記号列に翻訳することです。記法の約束を決めたり、約束によるエンコーディング／シリアライズでほんとに消耗します。出来るだけテキストを使わないことにすれば無駄に疲弊することは避けられます。しかし、描画のツール・環境が整っているわけでもないので、テキストを完全に避けることもできないというジレンマ。あー、しんどい。 これは深刻な問題で、ほんとにしんどい、辛い！二重圏のコンパニオンを、“「線形代数の二重圏 Double L…

…ースティング図またはストリング図）で表現されていることをテキスト記号列に翻訳することです。記法の約束を決めたり、約束によるエンコーディング／シリアライズでほんとに消耗します。出来るだけテキストを使わないことにすれば無駄に疲弊することは避けられます。しかし、描画のツール・環境が整っているわけでもないので、テキストを完全に避けることもできないというジレンマ。あー、しんどい。記述と計算のための効果的なツールが不足しているという困難・障害はあるのですが、それでも二重圏による記述と計算…

…うは、（僕は）うまくストリング図が描けなくて毎回行き詰まります。なので、やりません（うまくいったら報告するかも）。[追記 date="2023-07-31"]先に自然なホムセット同型が与えられて、そこから代数的な随伴系を構成することができるのですが、うまいやり方が見つかりません。身も蓋も無いやり方は次の記事に書きました。 随伴の自然なホムセット同型から単位自然変換へ [/追記] 追記で参照されている別な過去記事「随伴の自然なホムセット同型から単位自然変換へ」の冒頭では： スト…

…ほうが適切かな、と。ストリング図やペースティング図として描かれたテンプレートを“穴埋め問題〈filling problem〉”と考えて解を求める、この行為を基本に据えたいと思います。関手の表現可能性〈representability〉とは、別な言い方をすると圏論的普遍性〈category-theoretic universal property〉です。「普遍性」という言葉はだいぶ分かりにくいです（「圏論の普遍性が難しい理由」参照）。普遍性を、前層の表現可能性（双対的に余前層の…

…とペースティング図とストリング図で書いた／描いた事例が「随伴系の2-指標」にあります。）このようにちゃんと書き出してみれば、圏同値という概念がそこそこ複雑なことが分かるでしょう。なんとなく「2つの圏のあいだの関係」という程度の理解では役に立ちません。例えば、2つの圏が圏同値なことを示すには、$`F, G, \eta, \eta', \varepsilon,\varepsilon'`$ に相当する関手／自然変換を具体的に構成して、等式達 $`\text{unit-inv-1},…

…エズ／ドーラン曲面（ストリング図が描かれた穴開き曲面）達が形成する代数系がどんなものか？ おおよその見当はついたので、メモしておきます。ローヴェアの“代数セオリーの理論”〈theory of algebraic theories〉の枠組み（「ローヴェア・セオリーとその周辺 」参照）に沿って言えば、バエズ／ドーラン曲面達が形成する代数系は、スケマティック（「スケマティック」参照）なセッティングにおける代数セオリーになります。ここでの「セオリー」はある種の代数系の意味です（「「セ…