…、種数 0 の曲面にストリング図が描かれた図形です。種数が増えないので、バエズ／ドーラン茂みは、位相的には何個かの穴（“ドーナツの穴”ではなくて“靴下の穴”）があいた幾つか（0個かも知れない）の球面達の直和と同相です。常にではありませんが良い状況では、バエズ／ドーラン茂み達にダガー〈対合〉演算を入れられます。そのときは、バエズ／ドーラン茂み達のモノイド圏はダガー・ハイパーグラフ圏（「ダガー・ハイパーグラフ圏とドット付きワイヤリング図」参照）になります。とある種類のスケマティッ…

…drawing〉（「ストリング図、ストリング図動画が“使える”とは？」参照）です。$`\Sigma`$ のソート達（「ソート」と「色」は同義語）は $`C`$ の部分集合で、$`\Sigma`$ のオペレーション（の名前・記号）のプロファイル達は $`P(C)`$ の部分集合になっているとします。この条件を満たす指標達の圏は $`P\H\mbf{Sign}_C`$ と書きます。$`\quad \Sigma \in |P\H\mbf{Sign}_C|`$ 指標〈ツールバッグ〉$…

…キスト表現に限らず、ストリング図などによる絵図表現も考えるからです。スケマティックな状況（「スケマティック」参照）では、テキスト表現は出てこないで絵図表現だけを相手にします。絵図的なコンビネーションは、ストリング図やストリング図類似の図〈string-diagram-like diagram〉です。入れ子コンビネーションと平坦コンビネーション「ストリング図、ストリング図動画が“使える”とは？」の最後で「みんな、ストリング図を使おうぜ」と推奨してます。その理由には、テキスト表現…

…うことかと言うと、「ストリング図、ストリング図動画が“使える”とは？」で述べたツールバッグ（指標と事実上同じ）にモデルの概念を定義し、ツールバッグからモナドを作る手順を確立すれば、「モナドのアイレンベルク／ムーア圏とモデルの圏は圏同値」だろう、ということです。ツールバッグからモナドを作る手順では、ストリング図をヘビーに使うという意味で、極めてスケマティックです。具体例や状況証拠から、このスケマティックなモナドが存在することはまず間違いないのですが、具体的かつ詳細にモナドを構成…

僕は長年のストリング図ユーザーでストリング図ファンです。「ストリング図は役に立つ」と断言できます。よって、ストリング図の使用を推奨したいし、推奨しています。では、ストリング図が“使える”とはどういうことでしょうか？ストリング図、それと後で述べるストリング図動画が使えるようになるとは、ある種の作品を創作できるようになることです。絵画・イラストやアニメーションは作品ですが、ストリング図／ストリング図動画によりそういう作品が創れるようになるのです。自分で作品を創ることを目標に学ぶと…

…大きなメリットです。ストリング図テンプレート〈string diagram template〉やバエズ／ドーラン・ツリーの構成のときにも同様な方法を使います。圏類似代数系を構成したり調べたりするツール／スキルのひとつとして、有限コレクションの扱い方は重要だと思います。以前のアプローチと違う点は： 以前は、有限コレクションを対象とする圏を考えていたが、今回は有限コレクションを要素とする集合しか考えない。 有限コレクションの表示〈presentation〉と有限コレクションを区別…

…般化ハイパーグラフとストリング図との関係 P-バンドル P-ファミリー 一般化ハイパーグラフ過去記事で導入した一般化ハイパーグラフは、ハイパーグラフと呼ばれているモノの一般化として妥当なものです。一般化ハイパーグラフの種類を決めるのは、集合圏上の自己関手 $`P:\mbf{Set} \to \mbf{Set}`$ です。$`P`$ （プロファイル・コンストラクタ）を固定した上で、次の3つの構成素で一般化ハイパーグラフが定義されます。 頂点の集合： $`V\in |\mbf{S…

…複グラフと多グラフ ストリング図 そしてそれから 有向グラフの再定義標準的な定義によると、有向グラフ $`G`$ は、次のように書かれます。$`\quad G = (V, E, \mrm{src}, \mrm{trg})`$ ここで： $`V`$ は集合（$`V\in |\mbf{Set}|`$ ） $`E`$ は集合（$`E\in |\mbf{Set}|`$ ） $`\mrm{src}`$ は $`E\to V`$ という写像 $`\mrm{trg}`$ は $`E\to …

…セットを定義する際のストリング図と、ホムセットの要素（つまり射）のストリング図は無関係ではないのですが、どういう関係があるかハッキリしない。これがハッキリしたら楽しい気がします。 内容： 反射的無向グラフ 一般化反射的グラフ 反射的無向グラフ 反射的有向グラフ 反射的複グラフ 反射的多グラフ プロファイルごとの辺集合 ＝ ホムセット 反射的無向グラフ 反射的有向グラフ 反射的複グラフ 反射的多グラフ 一般化グラフの有向性 一般化圏へ 反射的無向グラフ無向グラフの定義の仕方は色…

…の議論は、下のようなストリング図を使って進めるのが効果的です（「圏論的レンズ 2： 具象オプティック」より）。しかし、毎回ストリング図を描くのは大変なので、図だけでなくテキスト記法も欲しいのです。図の情報を律儀にテキストにエンコードすると、とても煩雑になります。テキトーにサボらないとやってられません。古典テンソル計算がサボる手法を提供してくれます。米田テンソル計算の目的は、集合圏に値を持つ多引数〈多変数 | 多項〉関手の記述と計算を、古典テンソル計算にならった記法で行うことで…

…ンカレ双対をとって、ストリング図／サーフェイス図で描くという手段もあります。視覚的な表示〈ビジュアライゼーション〉ではなくて、テキストに書き下すこともできます。やはり「球体集合と組み合わせ幾何」からの再掲ですが：$`\T{signature } X \: \{\\ \quad \T{0-cell }A, B, C, D\\ \quad \T{1-cell }f, f', f'' : A\to B\\ \quad \T{1-cell }g : C\to B\\ \quad \T…

…論しています。 層化ストリング図 // 裏返し反変関手 -- rev記法を導入 反対圏／反変関手と、2-圏のストリング図 -- プラスマイナス記法を導入 反対圏と反変関手はややこしい 右肩の op(...) 記法を導入、上矢印記法も導入したが、後でオーバーライン記法に置き換えた。 状態遷移系としての前層・余前層・プロ関手 -- オーバーライン記法を導入 米田埋め込みとプレックス球体集合の定義を反変関手とするほうが多数派なのは、おそらく米田埋め込みのセッティングが反変関手だから…

…呼びます。もちろん、ストリング図やペースティング図も図式です。なんらかのターゲット圏に描出〈rendering〉されたストリング図／ペースティング図は、関手（あるいは関手類似物）とみなせますが、描出する前の組合せ幾何的対象物も図式と呼ぶので、全体的に辻褄を合わせるのは難しいです。無理にコジツケないで、用語のコンフリクトが起きたと割り切ったほうが（少なくとも精神衛生上は）よいと思います。関手を図式と呼ぶとき、関手の域圏〈domain category | source cate…

…手はややこしい 層化ストリング図 // 裏返し反変関手 順方向余平坦化ファイブレーションでは、ベース圏である $`\mbf{CAT1}`$ の対象 $`\cat{C}`$ に対するファイバー〈局所圏〉は、$`\cat{C}`$ 自身です。$`\mbf{CAT1}`$ の射 $`F:\cat{C}\to \cat{D}`$ に対するファイバー〈局所圏〉間の関手は、$`F`$ 自身です。逆方向余平坦化ファイブレーションでは、ファイバーが反対圏 $`\cat{C}^\op`$ 、フ…

…手2-圏の代数構造とストリング図表現 例えば、等式的2-グラフ（「等式的2-グラフ（2-圏の記述のために）」参照）を「指標」と呼ぶことにして、編入子は、等式的2-グラフから2-圏を構成（自由生成と商構成）する関手だとします。$`\quad J : {\bf Eq2Graph} \to \dimU{\bf 2CAT}{1} \In \mathbb{CAT}`$この設定におけるモデル空間の一例は：$`\quad \mrm{Model}(\Sigma, \cat{K}) := {_…

…手2-圏の代数構造とストリング図表現」で記述を試みてます（完全には実行できてない）。参考になりそうなn-圏に関する過去記事を古い順に挙げます。「等式的2-グラフ（2-圏の記述のために） // 具象指標、コンピュータッド、グラフ」の過去記事リストとは重複していません。 n-圏とは何だろう (2008年) ファンタジー： (-1)次元の圏と論理 (2017年) 高次圏： 複雑さの2つの方向と半厳密性 (2018年) 圏のサイズと緩さと豊穣圏 (2023年) 「空間」という言葉言葉…

…、コンピュータッド、ストリング図 「 コンピュータッドとそのモデル： 同義語・類義語のジャングル」に書いたように、「コンピュータッド」にはたくさんの同義語〈別名〉があります。それらの同義語のなかで、「コンピュータッド」という呼び名はあまりポピュラーではなくて、概念のプロモーション上は「グラフ」と呼んだほうがいいかな -- と最近思ったりします。実際、1-コンピュータッドは有向グラフそのものです。2-コンピュータッドも2-グラフ〈2-graph〉と呼ぶことにします。今回は3次元…

…2次元または3次元のストリング図やペースティング図が使われます。この状況で、「上下」「左右」「前後」などの意味が曖昧だと、コミュニケーションが破綻してしまいます。ハッキリした約束が必要なのです。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} } \newcommand{\op}{ \mathrm{op} } \newcommand{\In}{\text{ in }} \newco…

…、コンピュータッド、ストリング図 ここでの指標 $`\Sigma`$ は、集合 $`A`$ と“モノイド向けの等式”の集合 $`E`$ のペア $`(A, E)`$ です。$`E`$ は次の条件で記述できます。$`\quad E \subseteq \mrm{List}(A)\times \mrm{List}(A)`$$`E`$ は空集合でもかまいません。$`\Sigma = (A, E)`$ は、例えば次の構文で記述できます。$`\text{signature }\Sigm…

…L, F_R`$ をストリング図で描けば次のようです。描画方向は上から下、左から右です。背景エリアのラベル（$`\o{X}, A`$）は省略しています。このままでは、射の結合の描画が難しいので、$`F_L`$ は上から下、$`F_R`$ は下から上に変更します（左右の反転はしません）。次のようになります。さて、スパンのあいだの射 $`F:X \to Y`$ と $`G:Y \to Z`$ を結合するとします。2-圏 $`\cat{K}`$ 内のペースティング図に展開すると、次…

…l g')`$絵算（ストリング図の計算）でやります。下段の $`f;f'`$ と $`g;g'`$ がカップリング可能であるためには、 $`\quad \mrm{Mix}(f;f') = \mrm{Proj}(g; g')`$ が成立している必要があります。これを確認します（以下）。状態のワイヤーを示す横棒の痕跡は気にしないでください。これで、$`(f;f')\coupl ( g;g')`$ が定義可能なのは大丈夫です。問題は、縦に集計した値と横に集計した値が一致するか？ で…

…$内容： デカルト・ストリング図と経路行列の方法 修正ミックス操作 環境付き計算ペアのカップリング 演算達が出揃った ハブ記事： 環境付き計算と依存アクテゴリー 1/n デカルト・ストリング図と経路行列の方法「環境付き計算と依存アクテゴリー 1/n」を一瞥すれば分かるように、デカルト圏における計算には絵算〈ストリング図の計算〉をヘビーに使っています。（少なくとも僕は）テキスト数式の計算ではとても手に負えないです。$`\cat{C}`$ をデカルト圏〈デカルト・モノイド圏〉とし…

…の結合と恒等射は次のストリング図のように定義します。 射の向きは上から下。 箱の上側左のワイヤーが環境、右のワイヤーが入力、下のワイヤーが出力。 オレンジ色の横向き破線は結合を表す。 オレンジの色の枠は、構成された射を表す。 黒い二股分岐は対角射〈コピー射〉、黒い小さな下向き三角形は終射〈削除射 | 破棄射〉。 こうして定義された射の結合と恒等射が、結合法則と左右の単位法則を満たすことは以下の絵等式（ストリング図のあいだの等式）から分かります。オレンジ色の枠はテキスト数式の括…

…のことです。随伴系をストリング図とストリング図描き換えとして表すと次のようです。 0-射は、バッテン（文字エックスではなくてエリア） 1-射は、ワイヤー 恒等1-射は、黒点線ワイヤー 2-射は、ノード 恒等2-射は、黒点線輪郭のノード 3-射は、ストリング図の描き換え〈変形〉 「アドホック随伴系と自由対象・台対象」に、ペースティング図と指標もあります。随伴系 $`A`$ を圏 $`\AdjII{1}{L}( \cat{K} )`$ の1-射とみなしたものは次のように書きます。…

…ポアンカレ双対であるストリング図で描くほうが分かりやすいです*7。 モノイドのあいだの準同型射〈モノイド射〉も定義できます。二重圏 $`\dblcat{D}`$ 内のモノイド達とそのあいだのモノイド射の全体は圏を形成します。この圏を $`\mrm{Mon}(\dblcat{D})`$ とします。2-圏では、同様な構造をモナド〈monad〉と呼びます。2-圏を二重圏に埋め込むと、2-圏のモナドは二重圏のモノイドになります。「モノイド」「モナド」という呼び名の違いは単に歴史的経緯…

…いてあります。 層化ストリング図 // 裏返し反変関手 反対圏と反変関手はややこしい 状態遷移系としての前層・余前層・プロ関手 // 捻じれ対のテキスト表示と図示 両側、左、右からの遷移系双遷移系とそのあいだの準同型写像については以下で述べています。ここでは繰り返し述べません。 双遷移系達の3次元の圏 // 双遷移系 双遷移系達の3次元の圏 // 双遷移系の準同型写像 モノイド $`M, N`$ を固定して、すべての $`(M, N)`$-双遷移系とそのあいだの準同型写像を考…

…ペースティング図からストリング図へ 最良のコスパン・フィラー 1-圏の2-射通常の圏〈1-圏〉にも2-射はあります。1-圏の2-射とは、射のあいだの等式のことです。$`f, g : A \to B`$ が圏 $`\cat{C}`$ の2つの射だとして、$`f`$ から $`g`$ への2-射は次の等式です。$`\quad f = g \;: A \to B \In \cat{C}`$「$`f`$ と $`g`$ が等しい」ことに $`\alpha`$ という名前を付けて、向き…

…双対をとると、以下のストリング図になります。どのような図法・レイアウトで描こうが、二重圏におけるニッチの充填問題を記述していることに変わりはありません。さて、所与フレーム〈given frame〉と未知項〈unknown〉を色を使って区別する代わりに、疑問符付きのラベルで未知項を表すことにしましょう。$`\quad \xymatrix{ A \ar@{-->}[r]^{p?} \ar[d]_{f} \ar@{}[dr]|{\phi?\,\Downarrow\:} &C \ar…

…ィング図の縦方向は、ストリング図では横方向になります（ディビッド・ジャズ・マイヤースのように、90度回転して揃えようとする人もいます）。「縦横」を使い続けるのは得策じゃないな、と僕は判断しました。プロ射〈proarrow | promorphism〉という言葉は浸透していて安定しているので、縦横ではなくてプロ射の方向〈promorphism direction〉、あるいは短くプロ方向〈pro-direction〉と呼ぶことにします。プロ射ではない1-射は、アーカー／マクダルメ…

…ィング図の充填問題 ストリング図で描くと ペースティング図の充填問題以下は「カン拡張／カン持ち上げと上ホム対象／下ホム対象、充填三角形」で出した右カン拡張に関わるペースティング図です。これを見てすぐ「なるほど確かに右カン拡張だ」と判断できる人もいるでしょうが、図の描き方（ペースティング図かストリング図か）や描画方向・レイアウトが変わると戸惑うこともあるでしょう。見た目が違う図を構造的に同じだと判断するのはけっこう難しい作業でトレーニングが必要です（以下の過去記事参照）。 双対…