上下左右
プロ関手 $`\mathcal{C}^{\mathrm{op}}\times \mathcal{D} \to \mathbf{Set}`$ の方向を「$`\mathcal{C}`$ から $`\mathcal{D}`$」とするか、はたまた「$`\mathcal{D}`$ から $`\mathcal{C}`$」とするかは好みの問題でその選択は恣意的です。僕は、「$`\math…
「方向と向きは区別しなさい」と教わって、それを守ってきたつもりですが、テクニカルタームだとしても「方向」と「向き」を区別して運用するのはどうも無理がある気がしてきました。方向は direction で、向きは orientation のことなのですが、思い切って…
「共変関手／反変関手はほんっとうにややこしい」で次のように書きました。 反変・共変関手とカリー化と結合を、厳密で辻褄があった形で提示できれば、“直感的で雑な議論”と $`よ*よ \cong た`$ を合理化できるんですが ‥‥ 悪戦苦闘しております。 “直感的で…
「モノイドと群の淡中再構成」というシリーズ記事を書いています。第1回兼ハブ記事は「モノイドと群の淡中再構成 1/n」です。このシリーズの目的は、さらに過去に書いた「米田埋め込みの繰り返しと淡中再構成」で言ってることで： 淡中再構成〈Tannaka recon…
この記事の目的は、「上下」「左右」「前後」などの言葉の意味をハッキリさせることです。動機は、高次元の圏 -- あるいは圏類似代数系〈category-like algebraic {structure | system}〉について、行き違い／誤認がないように語りたいからです。最近の応用…
「カン拡張／カン持ち上げと上ホム対象／下ホム対象、充填三角形」への補遺です。内容： ペースティング図の充填問題 ストリング図で描くと ペースティング図の充填問題以下は「カン拡張／カン持ち上げと上ホム対象／下ホム対象、充填三角形」で出した右カン…
レナート・ベッチ／ロバート・ウォルターズ〈Renato Betti, Robert F.C. Walters〉のとある論文を眺めていて、カン拡張／カン持ち上げの記述で戸惑ってしまいました。右カン持ち上げだと記されていたペースティング図が間違っていて左カン持ち上げになってい…
以下の2つの記事で、二重圏の縦横、上下左右の問題を述べました。 二重圏、縦横をもう一度 二重圏の縦横 補遺 二重圏のタイト射 $`f`$ に対して、その分身であるようなプロ射が対応することがあります。それを、$`f`$ の同伴〈コンパニオン | companion〉と…
「二重圏、縦横をもう一度」において言い忘れたことがあります。ペースティング図／ストリング図の射の並びや結合をテキストに書き出すときの順番のことです。これも人により場合によりバラバラです。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\In…
ここ2,3年「二重圏がきてる」印象があります。応用圏論を牽引している一人であるイバン・パターソン〈Evan Patterson〉は今年の1月、トポス・インスティチュートのブログ記事に次のように書いています。 Lately I’ve been fixated on double categories, pur…
カン拡張の左右について何度も書いています。 カン拡張における上下左右： 入門の前に整理すべきこと ガーッ! また左と右が。カン拡張 カン拡張の左右の憶え方をもうひとつ それでもカン拡張の左右を忘れてしまう 右カン拡張の eval は run これだけ左右を話…
またダジャレです。「それでもカン拡張の左右を忘れてしまう」において、左右を憶えるために次のような随伴トリプルを出しました。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\hyp}{\text{－} } \newcommand{\two…
何の必然性もなく命名された「左」「右」を憶えるのは大変です。「ガーッ! また左と右が。カン拡張」より： 以前、「カン拡張における上下左右： 入門の前に整理すべきこと」というけっこう長い記事を書いたにもかかわらず、 -- にもかかわらずですね、カン…
大域米田の補題などを扱う場合は、関手や自然変換の向きに注意する必要があります。向きをどんな約束で決めているか、向きが保存されるか／変更されるかをちゃんと追跡しないと混乱します。向きの約束や保存／変更の法則は、様々な要因が絡んできて思いのほ…
「ガーッ! また左と右が。カン拡張」では、左随伴関手と右随伴関手の左右と対応させて、左カン拡張と右カン拡張の左右を覚える方法を紹介しました。この方法の欠点は、左右を決定する道のりが長いことです。別な方法を紹介します。まず、次の対応を丸暗記し…
以前、「カン拡張における上下左右： 入門の前に整理すべきこと」というけっこう長い記事を書いたにもかかわらず、 -- にもかかわらずですね、カン拡張の左と右の定義を忘れた。どっちが左でどっちが右か分からなくなった。ハァ(ため息)。カン拡張の左と右っ…
「最近のモナド論の概観と注意事項 1/2」より： タイトルに「1/2」を付けているので、もう一回続きを書く予定でいます（たぶん来年だろうが）。次回は、モナド論の中心的なトピックとか、事前に知っておくとよさそうな予備知識とか、誤解・勘違いしそうな所…
圏Cに対して、反対圏Copは一種しかないですが、高次圏の反対圏はイッパイ作れます。2次元の圏の場合でも、結合は2種類あるので、反転する／しないの組み合わせは4通りあります。 番号 第一の結合 第二の結合 1 反転しない 反転しない 2 反転する 反転しない …
F:C→DとG:D→C が随伴関手対で、Fが左随伴、Gが右随伴のとき、僕はこの事を次のように書いています（「圏論の随伴をちゃんと抑えよう // 随伴系の書き方と事例」参照）。 F -| G:D→C 逆ターンスタイル記号'-|'を使うのは一般的です。しかし、その後に書く圏と…
随伴とその絵算についてかなり詳しく説明しました。 圏論の随伴をちゃんと抑えよう 圏論の随伴をちゃんと抑えよう： お絵描き完全解説 この勢いでカン拡張の説明もいけるかな、と思ったんですが、カン拡張はやっぱり難しい。難しいつうか、上下左右がさらに…
最初に言っておくと、これはマジな話です。ジョーダンやネタじゃないです。絵やテキストにおける、上下左右のひっくり返し／裏返しに慣れないと、双対や随伴の理解は困難です。いやっ、ホントに。 内容： 絵図とテキストにおける向き 平面における向きの変換…
僕が「お絵描き圏論」とか言い出したのは2005年初頭なので、12年（＝干支の一回り）もたってしまいました。その当時はまとまったお絵描きテキストもなかったのですが、最近だとマースデンの解説もあるし、描画と証明を支援するソフトウェアGlobularもありま…
上下左右で悩むアノ問題を「池袋駅問題」と呼ぶことにしたいと思います。「池袋駅」をはじめて引き合いに出したのは「モノイド閉圏、オダンゴ、留め金、池袋」です。左右（や上下）を逆転するのは「東口に西武線、西口に東武線」がある池袋駅みたいに混乱の…
「コンパクト閉圏と絵算で理解する線形代数とシーケント計算（入り口だけ）」において、アブラムスキーのネーム／コネームの話をしました。もう少し一般的な文脈では、射fのネームの仲間は4種類あります。それぞろを、∩f、f∩、∪f、 f∪ と書きましょう。絵で…
JavaScript配列とJSON配列の差を埋めるような些細な問題でも、納得のいく解決のためにはモナドが必要になり、モナドといえば随伴で、随伴といえば …… いつもいつも僕を悩ませる左と右の問題がぁ。内容： 双対に関する左右の使い分け 双対対象を一意に割り当…
