…「非自然」を検索 「圏論的コンストラクタ」を検索 ひとつだけ記事を挙げるなら： 圏論的コンストラクタと圏論的オペレータ： 関手性・自然性の呪縛からの脱却 これらの過去記事で、「圏論的コンビネータ」という言葉を使っているのですが、幾つかの事例を出しているだけで、明確な定義を与えていませんでした。この記事で圏論的コンビネータの定義をハッキリさせます。圏の射と圏の上の圏論的コンビネータが混同される傾向があるので、デカルト圏／デカルト閉圏を事例として、射と圏論的コンビネータが別物であ…

…ん。関連する記事： 圏論的コンストラクタと圏論的オペレータ： 関手性・自然性の呪縛からの脱却 圏論的コンストラクタと圏論的オペレータ〈コンビネータ〉 再論 コンストラクタ系と変換手性 区別したいときは前節で述べた評価射 $`\mrm{ev}`$ は、論理のモーダスポネンスに相当するものです。評価射を外部化したコンビネータ $`\Ev`$ は、含意導入の推論規則に相当します。カリー／ハワード／ランベック対応〈Curry-Howard-Lambek correspondence〉…

…〈コンビネータ〉（「圏論的コンストラクタと圏論的オペレータ〈コンビネータ〉 再論」参照）です。射とオペレーターは別な種類のモノです。表の後に、射／オペレーターの記述をします。 圏論 論理 基本操作 Compose Exchange 終対象と始対象 真と偽 terminal trivial initial cotrivial デカルト・ペア 論理AND MakePair AndIntroduction projectionLeft andEliminationLeft proj…

…子〈コネクティブ〉 圏論的コンストラクタ? コンビネータ? シーケントの推論規則 圏論的オペレーター? 型項? 論理式 - 計算項? 証明項〈証明オブジェクト〉 - - 証明可能 - 型付けコンテキスト* 前提* - ターゲット型 結論命題 余域対象 型付け判断* シーケント* プロファイル?* 関数定義 定理記述 - - ゴール〈証明要求?〉 - ハイフンの部分を無理やりに埋めてみます。当然に、見慣れない言葉が登場してしまいます。また、上の表にはない幾つかの言葉を追加します…

…、型構成子（次元0の圏論的コンストラクタ）であり、次のように書けます。$`\quad \mrm{Resump} : |\mrm{Mnd}(\cat{C})| \times |[\cat{C}, \cat{C}]| \to |\mrm{Mnd}(\cat{C})| \In {\bf SET}`$$`\mrm{Resump}`$ を $`{\bf SET}`$ 内で左カリー化したものを $`\mrm{ResumpT}`$ と名付けると、次のようになります。$`\quad \mrm…

…域関手と非自然変換 圏論的コンストラクタと圏論的オペレータ： 関手性・自然性の呪縛からの脱却 今年〈2022年〉にも「再論」を書いています。 圏論的コンストラクタと圏論的オペレータ〈コンビネータ〉 再論 2022年の記事から引用すると： ときに、非関手的対応／非自然変換が多用されることがあります。しかし、関手／自然変換ほどに用語・記法が整備されてなくて困ることになります。まず困るのが、関手性を持たない対応や自然性を持たない変換を示す呼び名がないことです。 呼び名がないというこ…

…に記述したいなら、「圏論的コンストラクタと圏論的オペレータ〈コンビネータ〉 再論」で導入した記法を使って次のようになります。$` \quad (\times_{-}):: \_1 \times \_1 \overset{\mrm{comb}}{\twoto} \_1: \{{\bf N},{\bf Z}, {\bf R}\} \overset{\mrm{ctor}}{\to} |{\bf Set}|_0 \In {\bf CAT}^\mrm{lawless} `$ここで、 $…

「圏論的コンストラクタと圏論的オペレータ： 関手性・自然性の呪縛からの脱却」において、必ずしも関手性〈functoriality〉を持たない対応や、必ずしも自然性〈naturality〉を持たない変換を紹介しました。ときに、非関手的対応／非自然変換が多用されることがあります。しかし、関手／自然変換ほどに用語・記法が整備されてなくて困ることになります。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\cat}[1]{\mathca…

…だ、とも言えます（「圏論的コンストラクタと圏論的オペレータ： 関手性・自然性の呪縛からの脱却」参照）。確率変数、関連、関連類「確率変数」は激しく曖昧な言葉で（もちろん、オフィシャルには使用禁止）、代表的な意味・用法に次があるでしょう。 A, B を可測空間として、可測写像 f:A → B のこと。 可測写像 f:A → B のことだが、A上には確率測度μが載っており (A, μ) が確率空間のとき。 (A, μ), (B, ν) を確率空間として、確率測度を保存する可測写像 …

…プ図 関手に限らず、圏論的コンストラクタ／オペレーターをボックスで表すことができます。モナドを拡張スタイルで定義するときの拡張オペレーター〈クライスリ・オペレーター〉をボックスで描いた例は次の記事にあります。 絵算で見る、拡張スタイルのモナドとモノイド・スタイルのモナド そもそも、コンストラクタやオペレーター（コンビネータとも呼ぶ）が何であるかは次の記事を見てください。 圏論的コンストラクタと圏論的オペレータ： 関手性・自然性の呪縛からの脱却 コンストラクタ／オペレーターの例…

…たことがあります。 圏論的コンストラクタと圏論的オペレータ： 関手性・自然性の呪縛からの脱却 この過去記事では、「非関手的対応」「非自然変換」という言葉を使ったのですが、どうも誤解されそう。例えば「非自然」という言葉は「自然性をまったく満たしてない、満たしてはいけない」という意味ではなくて、「必ずしも自然でなくてもよい〈... is not necessary to be natural〉」の意味です。が、「非」が持つ自然言語的印象から誤解をまねくリスクは高いですよね。それが…

…域関手と非自然変換 圏論的コンストラクタと圏論的オペレータ： 関手性・自然性の呪縛からの脱却 *1:コンパクト閉圏を単にコンパクト圏とも呼びます。 *2:最近の言葉で言えば、特殊可換フロベニウス代数装備〈special commutative Frobenius algebra supply〉。 *3:generalizeする前の spider theorem はさらにそれ以前からあったのかも知れません。 *4:対称モノイド圏がコンパクト閉構造を持つことで、位相のコンパクト性…

…う言葉については、「圏論的コンストラクタと圏論的オペレータ： 関手性・自然性の呪縛からの脱却」を参照）。依存テンソル積と集計子コンビネータの随伴ペア依存テンソル積（の左カリー化）と集計子コンビネータのプロファイルをもう一度並べて書いてみます。 Agg:MKer(X, Y) → Map(Pred(X×Y), Pred(X)) in Set ∩(--):MKer(X, Y) → Map(P(X), P(X×Y)) in Set F∈MKer(X, Y) を取ったとき、 Agg(F…

…ことじゃないです！ 圏論的コンストラクタと圏論的オペレータ： 関手性・自然性の呪縛からの脱却 今述べた形のモダリティは、オーバーロード解決には便利です。が、やはり用途が限定されていることは否めません。もっと自由度の高い構成には別な手段が必要でしょう。 *1:用語、キーワードの国語辞書的意味に拘るのはやめて欲しいけど。 *2:しかし、単ソート指標、多ソート指標の「ソート」を別途説明する必要があるかも。 *3:モノイドの単位律ではなくて、モノイド圏の単位律に関わる同型射です。 *…

…タと呼ぶのでした（「圏論的コンストラクタと圏論的オペレータ： 関手性・自然性の呪縛からの脱却」参照）。よって、Conditは条件化コンビネータ〈{conditionalize | conditionalization} combinator〉と呼ぶのが自然でしょう。条件化可能マルコフ圏の定義は、条件化コンビネータを使ってもできます。つまり、マルコフ圏Cとその上のコンビネータConditの組 (C, Condit) として条件化可能マルコフ圏を定義するのです。Conditが満た…

…域関手と非自然変換 圏論的コンストラクタと圏論的オペレータ： 関手性・自然性の呪縛からの脱却 フォングとスピヴァックは、モダリティ概念の一部に対して非常にスッキリした定義を与えています。 Title: Supplying bells and whistles in symmetric monoidal categories Authors: Brendan Fong, David I Spivak Pages: 17p URL: https://arxiv.org/abs/1…

…ては、気になるなら「圏論的コンストラクタと圏論的オペレータ： 関手性・自然性の呪縛からの脱却」を参照してください。(-)L は、（モナドの）クライスリ拡張オペレータ〈Kleisli extension operator〉と呼ばれます。(T, τ, (-)L) はモナドとしての条件（後述）を満たす必要がありますが、とりあえず3つの構成素を定義します。まず、T:|CML|→|CML| を定義します。また場合分けです。対象 V = (V1, ..., Vm) に対して T(V) は…

…語として使います（「圏論的コンストラクタと圏論的オペレータ： 関手性・自然性の呪縛からの脱却」参照）。今回出てくるオペレータは、実は自然変換とみなせます。それぞれの関手／オペレータについて、短い説明・注意を以下にします。 接関手 T 多様体にその接バンドル、写像にその接写像を割り当てるのが接関手〈tangent functor〉です。注意すべきは、接関手が Man→VectBundle と Man→Man のどちらの意味で使われているか、です。多様体にベクトルバンドルを対応さ…

…オペレータ〉です（「圏論的コンストラクタと圏論的オペレータ： 関手性・自然性の呪縛からの脱却」参照）。undualを反双対化コンビネータ〈undualizing combinator〉と呼びましょう。g:W*→V* in FdVect に対して、undualV,W(g) を g$ と略記します。反双対化コンビネータは関手ではないので、ベクトル空間Vに対するV$は意味を持たないことに注意してください*2。g:W*→V* という形の射に対してだけ g$ が意味を持ちます。こう約束…

…、圏論的モダリティ、圏論的コンストラクタ、圏論的オペレータなどがあります*4。 圏論的モダリティ：圏上の非自然な構造達 非全域関手と非自然変換 圏論的コンストラクタと圏論的オペレータ： 関手性・自然性の呪縛からの脱却 前段落で述べた「外側のデカルト圏と半加法的な部分圏」という構造を定義するには、圏論的モダリティが便利です。また、圏の対象Xにその線形化（linearization; または線形台 linear carrier）という対象L(X)を対応させる操作は圏論的コンストラ…

…いましょう。内容： 圏論的コンストラクタと圏論的オペレータとは何か 関手・自然変換の一部を見ているとき トレース、不動点、微分 モナド、デカルト圏、コンパクト閉圏 モナド デカルト圏 コンパクト閉圏 おわりに 圏論的コンストラクタと圏論的オペレータとは何か最近、CADG（Categorical Abstract Differential Geometry）をまた調べています。CADGは十分な一般性を持つアブストラクト・ナンセンス（いい意味で）であり、複雑で多様な構成を必要とし…