…ブログ内検索は： 「非自然」を検索 「圏論的コンストラクタ」を検索 ひとつだけ記事を挙げるなら： 圏論的コンストラクタと圏論的オペレータ： 関手性・自然性の呪縛からの脱却 これらの過去記事で、「圏論的コンビネータ」という言葉を使っているのですが、幾つかの事例を出しているだけで、明確な定義を与えていませんでした。この記事で圏論的コンビネータの定義をハッキリさせます。圏の射と圏の上の圏論的コンビネータが混同される傾向があるので、デカルト圏／デカルト閉圏を事例として、射と圏論的コン…

…ために「非関手的」「非自然」のような形容詞を使っていました。実は、自己関手のランベック代数とモナドのアイレンベルク／ムーア代数に関しても同様な悩みがあったのですが、最近は「有法則〈lawful〉」と「無法則〈lawless〉」という形容詞を使っています。これはレンズに対して使われていた形容詞ですがとても便利な言葉です（「有法則代数と無法則代数」参照）。圏の2-圏 $`{\bf CAT}`$ の射〈k-射〉には次のものがあります。 0-射〈対象〉は圏 1-射〈射〉は関手〈(1,…

…的モダリティ：圏上の非自然な構造達 非全域関手と非自然変換 圏論的コンストラクタと圏論的オペレータ： 関手性・自然性の呪縛からの脱却 今年〈2022年〉にも「再論」を書いています。 圏論的コンストラクタと圏論的オペレータ〈コンビネータ〉 再論 2022年の記事から引用すると： ときに、非関手的対応／非自然変換が多用されることがあります。しかし、関手／自然変換ほどに用語・記法が整備されてなくて困ることになります。まず困るのが、関手性を持たない対応や自然性を持たない変換を示す呼び…

…きに、非関手的対応／非自然変換が多用されることがあります。しかし、関手／自然変換ほどに用語・記法が整備されてなくて困ることになります。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\twoto}{\Rightarrow } \newcommand{\In}{\text{ in } } \require{color} % 緑色 \newcommand{\Key…

…、「非関手的対応」「非自然変換」という言葉を使ったのですが、どうも誤解されそう。例えば「非自然」という言葉は「自然性をまったく満たしてない、満たしてはいけない」という意味ではなくて、「必ずしも自然でなくてもよい〈... is not necessary to be natural〉」の意味です。が、「非」が持つ自然言語的印象から誤解をまねくリスクは高いですよね。それがあって、「多相関数と型クラス // 多相関数＝関手間部分変換」では、「非自然変換」の代わりに「関手間部分変換」…

…ことは要求しません。非自然な構造なのです。これは、扱いにくい面も生じますが、利便性もあります。非自然な構造の利用は増えるのではないかと思います。 非全域関手と非自然変換 圏論的コンストラクタと圏論的オペレータ： 関手性・自然性の呪縛からの脱却 *1:コンパクト閉圏を単にコンパクト圏とも呼びます。 *2:最近の言葉で言えば、特殊可換フロベニウス代数装備〈special commutative Frobenius algebra supply〉。 *3:generalizeする前…

…ます。 非全域関手と非自然変換 この過去記事から引用すると： ここでの「非全域」は「全域ではない」という意味ではありません。「必ずしも全域とは限らない」です。「非可換」というよく使う言葉も「必ずしも可換とは限らない」の意味なので、「非」のよくある用法だと思います。「非自然」も同様な解釈をします。 「非」のよくある用法だ、とはいえ、このテの「非」が誤解をまねくのも事実です。自然性は仮定しない関手のあいだの変換（過去記事の「非自然変換」）を関手間変換〈inter-functor …

…的モダリティ：圏上の非自然な構造達 非全域関手と非自然変換 圏論的コンストラクタと圏論的オペレータ： 関手性・自然性の呪縛からの脱却 フォングとスピヴァックは、モダリティ概念の一部に対して非常にスッキリした定義を与えています。 Title: Supplying bells and whistles in symmetric monoidal categories Authors: Brendan Fong, David I Spivak Pages: 17p URL: htt…

…的モダリティ：圏上の非自然な構造達 ベクトルバンドルベクトルバンドルは次の構成素からなります。 全空間 底空間 射影 典型ファイバー（なくてもかまわないが） Eがベクトルバンドルのとき、記号を節約するために次の書き方をすることにします。 全空間： Etot、誤解のおそれがなければ E 底空間： |E| 射影： πE 典型ファイバー： E0 典型ファイバーE0は、点0での実際のファイバー（後述）と区別できませんが、たいした弊害はないのでいいとします。f:E→F がベクトルバンド…

…定義では、非関手的／非自然な手法を使います。事前に、「ヤコビ微分圏： はじまり // ヤコビ微分圏の動機」の「下部構造が面白い。」「非関手的・非自然な手法が活躍する。」に目を通しておくとよいかも知れません。芯付きラムダ構造は次の構成素からなります。 芯内部ホム〈core internal hom〉： Obj(A)×Obj(A)→Obj(A) という写像。(A, B) [A, B] と書く。 左評価射〈core left evaluation morphism〉： Obj(A)…

…面白い。 非関手的・非自然な手法が活躍する。 準半加法圏など ヤコビ微分圏の抽象的構成・具体的構成 続きの記事： ヤコビ微分圏： 下部構造としての芯付きラムダ圏 ヤコビ微分圏： 取り急ぎ概要と課題 CADGとデカルト微分圏CADG（Categorical Abstract Differential Geometry）は、微分や“なめらかさ”の概念を圏論的に定式化して、微分幾何を抽象的に展開する試みです。90年代のリソース・ラムダ計算（resource lambda-calcu…

…です。非関手的対応、非自然な変換も積極的に使いましょう。内容： 圏論的コンストラクタと圏論的オペレータとは何か 関手・自然変換の一部を見ているとき トレース、不動点、微分 モナド、デカルト圏、コンパクト閉圏 モナド デカルト圏 コンパクト閉圏 おわりに 圏論的コンストラクタと圏論的オペレータとは何か最近、CADG（Categorical Abstract Differential Geometry）をまた調べています。CADGは十分な一般性を持つアブストラクト・ナンセンス（い…

…的モダリティ：圏上の非自然な構造達 余可換コモノイド・モダリティ事件の解説 モダリティは、関手と自然変換の制約をゆるくしたもので非全域性と非自然性を許します。特に全域かつ自然であるモダリティは従来の関手と自然変換による構造になります。連休の期間、CADG (Categorical Abstract Differential Geometry)に対する天空の支配者を探そう、と思っています。モダリティによる定式化は、複雑で錯綜した状況を整理するのに役立つので、圏上の微分構造（di…

…的モダリティ：圏上の非自然な構造達」の「僕のモダリティ経験」の節で： 試しに、非負実数係数のテンソルの圏に余可換コモノイド・モダリティを入れてみると、そのモダリティと整合する部分圏として部分性と確率的非決定性の両方がうまく定義できるようです。これが分かったとき、僕にとってはA-ha momentでした。 「非全域関手と非自然変換」にて： 特に役に立つのは、2つの非自然変換から構成される余可換コモノイド・モダリティです。余可換コモノイド・モダリティの事例はそのうち述べるつもりで…

…的モダリティ：圏上の非自然な構造達」への追記ですが、別エントリーにします。圏論的モダリティ（categorical modality）を定義するために、非自然変換（non-natural transformation）という概念を導入しました。この非自然変換の定義をここで詳しく述べます。まず、部分的に定義された関手をpartial functorと呼ぶのですが、partial functorの訳語で悩みます。 関手を順序付ける：subfunctor と partial fun…

…Mor(C) を仮に非自然変換（non-natural transformation）と呼びましょう。これは、Cの対象で添字付けられた射の族です。S(X) := dom(ξX), T(X) := cod(ξX) と置くと、ξX:S(X)→T(X) と書けます。もちろん、S, Tは関手ではなく、関手に拡張する必要もありません。S, Tは関手である必要はありませんが、部分的に定義された関手のようなものです。さらに、ξ:|C|→Mor(C) に部分写像（未定義部分があってもいい）を…