論理と確率

超フィルターと確率測度、この類似性がどうも引っかかる、気になるんですよね。この類似性の背後に何かあるんじゃないか、という感じ。で、チョコチョコと探ってみようかな、と。

「何故にあえて確率を学ぶのか？」では、「集合圏 ： 関係圏 ＝ 可測集合の圏 ： 確率関係の圏」という対応関係（比例式？）が成り立つのではないか、と述べました。この対応では、共変のベキ集合モナドに対してジリィ・モナド（Giry monad）が対応します。

これとはちょっと別の（最終的には同じかもしれない）類似性もあります。それは、論理と確率のあいだの関係です。中間に集合の話を入れると、比較的に分かりやすいと思います。表にまとめます。

論理	集合	確率
論理式	部分集合	可測集合
リンデンバウム代数	ベキ集合代数	σ代数
真偽割り当て	超フィルター	確率測度
埋め込みと射影	写像	可測写像
存在限量子	合併	積分

このなかで注目すべきは存在限量子で、これは命題論理と述語論理を繋ぐものです。射影に対する随伴としての定式化もできます。また、存在限量子と全称限量子というペアが存在しますが、これも随伴の枠組で説明できます。

となると、積分の周辺にもなにか随伴が潜んでいるのでしょうか？ 超フィルターモナドを生成する随伴は位相的に構成できますが、ジリィ・モナドに対応する随伴はどういうものでしょう？

論理にはモデル論（「コンパクト空間と論理／モデル論」参照）、さらにはインスティチューション（抽象モデル論）がありますが、確率におけるインスティチューションとはなんでしょうか？ それは確率遷移系の仕様記述に使えるでしょうか（「仕様技術への道 -- インスティチューションを縮めてみる」参照）。

疑問符を並べただけですね。締まりがないけど、今日はコレダケ。