多様体の圏上の計算デバイス：表示オペレータ - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

細切れの記事を書いてますが、事情は「ベクトル空間上の複素密度 4：フレームとコフレームの相反性 // はじめに」に書いたのと同様です。思いつきでちょっと書いては投稿、をしてます。

この記事では、多様体に関して、幾何的実体と計算手段の関係を考えてみます。

内容：

表示オペレータ
概ユークリッド空間と部分写像の圏
関数表示オペレータ F
微分表示オペレータ D
ヤコビアン表示オペレータ J
構文論と意味論

表示オペレータ

多様体の議論では、座標非依存〈coordinate-free style〉のほうが望ましいとは思いますが、そうは言っても、座標を使った計算は避けられません。で、座標を使った計算メカニズムを話題にします。

多様体の圏内の射 f:M→N に対して、計算しやすい圏内の射を割り当てます。このような対応を表示オペレータ〈presentation operator〉と呼ぶことにします。

一般に、C, D が圏のとき、ホムセットのあいだの写像 C(A, B)→D(X, Y) in Set をオペレータまたはコンビネータ〈combinator〉と呼びます。C, D が具象圏（対象が集合で、射が写像である圏）のとき、オペレータは、関数集合から関数集合への写像です。つまり、オペレータは関数を受け取って、関数を返す写像となります。

ここでは、「関数」と「写像」は同義語です。「オペレータ」と「コンビネータ」も同義語です。使い分けのルールはなく、どっちを使うかは気まぐれです。

これから、3つの表示オペレータを導入します。

関数表示オペレータ F
微分表示オペレータ D
ヤコビアン表示オペレータ J

これらのオペレータは、多様体のチャート〈局所座標〉でインデックスされた族〈indexed family〉になります。Manは多様体の圏、ParAESを後で定義する概ユークリッド空間の部分写像の圏だとして、表示オペレータのインデックスとプロファイルも記述しましょう。dim(M) = m, dim(N) = n, Chart(-) は多様体のチャートの集合です。

For x∈Chart(M), z∈Chart(N), F^y_x:Man(M, N)→ParAES(R^m, Rⁿ)
For x∈Chart(M), z∈Chart(N), D^y_x:Man(M, N)→ParAES(R^m×R^m, Rⁿ)
For x∈Chart(M), z∈Chart(N), J^y_x:Man(M, N)→ParAES(R^m, Mat(m, n))

基本となる多様体のチャートについては、次の記事を参照してください。

古典的微分幾何・ベクトル解析のモダン化：局所座標って何だ？

「接バンドルのホロノーム座標」のときと同様に、チャート〈局所座標〉は、x:M⊇U→R^m という部分写像だとみなします。部分写像の定義域は常に開集合だとします。部分写像の扱い方については、「快適な微分計算のための圏と微分公式 // 部分逆写像」も参考になるかも知れません。

概ユークリッド空間と部分写像の圏

多様体とみなしたRⁿをユークリッド空間と呼びます。多様体Xが、多様体としてユークリッド空間と同型であり、その同型を与える可逆写像 G_X:X→R^m が指定されているとき、(X, G_X) を（m次元の）概ユークリッド空間〈almost Euclidean space〉と呼ぶことにします。2つの概ユークリッド空間のあいだの準同型射 (X, G_X)→(Y, G_Y) は、多様体の射（なめらかな写像） f:X→Y in Man のことだとします。

概ユークリッド空間とそのあいだの準同型射の全体は圏をなすので、その圏をAESとします。圏AESは、多様体の圏Manへの忘却関手 U:AES→Man をもちます。概ユークリッド空間 (X, G_X) を、記号の乱用で X = (X, G_X) とも書きます。

今回実際に使う概ユークリッド空間は限定的で、次のものです。

ユークリッド空間 Rⁿ
m列n行（m行n列ではない）の行列の空間 Mat(m, n)
それらの直積

ユークリッド空間Rⁿは、(Rⁿ, id_Rⁿ) として概ユークリッド空間です。行列の空間に対する大域座標 G_{Mat(m, n)}:Mat(m, n)→R^m×n は、横書きの文章を読む順番でシリアライズすることだとします。例えば、

$\begin{bmatrix} a_1^1 & a_2^1 & a_3^1 \\ a_1^2 & a_2^2 & a_3^2 \end{bmatrix} \mapsto (a_1^1, a_2^1, a_3^1, a_1^2, a_2^2, a_3^2)$

これで、行列空間は概ユークリッド空間となります。

直積に対する大域座標は、入れ子のタプルをフラットにすることで得られます。例えば、

$( (x_1, \cdots, x_m), (y_1, \cdots, y_n) ) \mapsto ( x_1, \cdots, x_m, y_1, \cdots, y_n )$

この方法で、概ユークリッド空間の直積はまた概ユークリッド空間です。

Rⁿ を Mat(1, n) と同一視すれば、使う概ユークリッド空間は、行列の空間か、それらの直積だと言えます。この同一視のもとで、次のような等式を仮定しましょう。

Rⁿ = Mat(1, n)
R_n = Mat(n, 1)
R = Mat(1, 1)

圏AESの射は全域写像（普通の写像）ですが、部分写像〈partial map〉を許しましょう。ただし、部分写像の定義域は開集合だけだとします（一般の部分集合ではありません）。部分写像を射とする概ユークリッド空間の圏を ParAES とします。f:X→Y in ParAES は次のように分解できます。iは包含写像、fは、fの全射部分です。

$\require{AMScd} \newcommand{\incat}{\:\: \mbox{in}\:}% \newcommand{\cat}[1]{{\mathcal {#1}}}% % \begin{CD} {} @. U @>{\underline{f} }>> f(U) @. {} \\ @. @V{i}VV @VV{i}V @. \\ {\bf R}^m @>{\cong\; G_X}>> X @. Y @<{G_Y \;\cong}<< {\bf R}^n \\ \end{CD}\\ \:\\ \incat {\bf Man}$

dom(f) = X, cod(f) = Y, def(f) = U, img(f) = f(U) です。fとfは通常区別せず、fが可逆なとき、i $\circ$ f^-1 を単にf^-1と書きます。f:X→Y in ParAES のとき、fが部分写像であることを強調して f:X⊇→Y とも書きますが、いつでもそう書くとは限りません。

2つの部分写像のあいだに順序を入れておくと便利です。

For f, g∈ParAES(X, Y),
f $\sqsubseteq$ g :⇔ def(f)⊆def(g) で、f = g|_def(f)

つまり、f $\sqsubseteq$ g とは、gの定義域を狭めたものがfということです。

いま定義した ParAES は、“具体的な計算ができる圏”です。射が部分写像なので、結合は部分結合、逆は部分逆を使いますが、実際の計算でもそうしているので、部分写像の圏のほうがむしろ自然です。

関数表示オペレータ F

表示オペレータを定義する前に、座標変換の表示〈presentation〉を定義しておきます。

For x, y∈Chart(M), T^y_x := y $\circ$ x^-1

x, y :M⊇→R^m であり、定義の右辺の' $\circ$ ', '^-1' は部分結合、部分逆です。T^y_xを、チャートxからチャートyへのチャート遷移〈chart transition〉と呼びます。局所座標の取り替えに伴う変換関数です。次が成立します。

T^y_x ∈ ParAES(R^m, R^m) = End_ParAES(R^m)
T^z_y $\circ$ T^y_x $\sqsubseteq$ T^z_x in ParAES
T^x_x $\sqsubseteq$ id_R^m in ParAES
T^x_y = (T^y_x)^-1

部分結合と部分逆に関する法則なので、キッチリとした等式にはならないことに注意してください。とはいえ、 $\sqsubseteq$ は、定義域の大小を無視すればイコールのようなものなので、イコール気分で扱ってもだいたい大丈夫です。

さて、関数表示オペレータ〈function presentation operator〉 F を次のように定義します。

For x∈Chart(M), z∈Chart(N),
F^z_x:Man(M, N)→ParAES(R^m, Rⁿ), F^z_x[f] := z $\circ$ f $\circ$ x^-1

オペレータに渡す引数は角括弧〈ブラケット〉に入れることにします。F^z_x[f] は、多様体の射（なめらかな写像）f:M→N のチャートxとチャートzによる表示です。fの表示は、ユークリッド空間のあいだの部分写像です。ユークリッド空間のあいだの（なめらかな）部分写像は、初等微積分で扱える対象物なので、“具体的に計算できる”と言っていいでしょう。

実際の計算では、f(def(x))⊆def(z) となるようにチャート x, z を選ぶのが良いですが、いまはこの条件に拘らないことにします。def(F^z_x[f]) が空集合になってしまこともありますが、そういうことも特に排除しません。次が成立します。

For x, y∈Chart(M), z, w∈Chart(N),
T^w_z $\circ$ F^z_x[f] $\circ$ T^x_y $\sqsubseteq$ F^w_y[f]
For x∈Chart(M), z∈Chart(N), s∈Chart(P),
F^s_z[g] $\circ$ F^z_x[f] = F^s_x[g $\circ$ f]

微分表示オペレータ D

f:M→N in Man に対して、その接写像〈tangent map〉を Tf:TM→TN in VectBundle とします。接バンドルや接写像を、座標に（できるだけ）依存しないで定義するのはなかなかに難しいです。次の記事と、そこから参照されている記事に書いています。

微分はライプニッツ法則に支配されている

微分表示オペレータ〈differential presentation operator〉D は、Tf:TM→TN in VectBundle に対する表示を与えるオペレータです。微分表示オペレータは、次の可換四角形の対角線として与えられます。

$\begin{CD} {\bf Man}(M, N) @>{F^z_x}>> {\bf ParAES}({\bf R}^m, {\bf R}^n) \\ @V{T_{M,N}}VV @VV{\underline{D}}V \\ {\bf VectBundle}(TM, TN) @>{TB^z_x}>> {\bf ParAES}({\bf R}^m\times {\bf R}^m, {\bf R}^n) \\ \end{CD}$

ここで、Dは、圏ParASEて定義された微分コンビネータです。Dは、「コンピュータ科学や組み合わせ論を“微分幾何”とみなす：CADGの夢」で述べたデカルト微分圏における微分コンビネータとして定式化できます。TB^z_xは、接バンドルのあいだのバンドル射をチャートによって表示する表示オペレータです。

ここでは、DやTBにはこれ以上は踏み込まないで、直接的に D^z_x:Man(M, N)→ParASE(R^m, Rⁿ) を定義します。そのためには、「接バンドルのホロノーム座標」で説明したホロノーム座標を使います。ホロノーム座標を、次の全域写像とみなします。

(H_x)^-1:def(x)×R^m→TM|_def(x)
H_z:TN|_def(z)→def(z)×Rⁿ

これらを使って、D^z_x[f] for f∈Man(N, M) を次のように定義します。

D^z_x[f] := π₂ $\circ$ H_z $\circ$ Tf $\circ$ (H_x)^-1

全域写像として、D^z_x[f]:def(x)×R^m→Rⁿ であり、部分写像としては D^z_x[f]:R^m×R^m→Rⁿ となり、つまり D^z_x[f]∈ParAES(R^m×R^m, Rⁿ) です。

これで、微分表示オペレータの定義は出来るのですが、あまり分かりやすくはないですね。やはり、上記の可換四角形を丁寧に追いかけるべきですが、今日のところはこの定義にしておきます。もっと具体的な計算例はまたいずれ。

ヤコビアン表示オペレータ J

D^z_y:Man(M, N)→ParAES(R^m×Rⁿ) が定義されれば、ヤコビアン表示オペレータ〈Jacobian presentation operator〉J^z_y:Man(M, N)→ParAES(R^m, Mat(m, n)) の定義は簡単です。なぜなら、J^z_y を得るには、D^z_y の後にカリー化コンビネータを結合するだけですから。

curry::ParAES_RL(R^m×R^m, Rⁿ)→ParAES(R^m, Mat(m, n))

このカリー化は一般的なカリー化ではなくて、第二変数に関しては全域線形な関数でないとこのカリー化はできません。ParAES_RL(R^m×R^m, Rⁿ) は、右側〈Right〉の変数に関して線形〈Linear〉な関数の集合です。関連する議論は、ヤコビ微分圏の話のなかでもしています。

ヤコビ微分圏：取り急ぎ概要と課題

実際の計算ではヤコビアン表示オペレータが非常のよく使われます。ヤコビアン表示オペレータは、以下のような可換図式のなかに位置付けられるでしょう。左上から右下に向かう対角線がヤコビアン表示オペレータになります。ラベルがない矢印と疑問符の部分は、ちゃんと確認してないものです。

$\begin{CD} {\bf Man}(M, N) @>{F^z_x}>> {\bf ParAES}({\bf R}^m, {\bf R}^n) \\ @V{T_{M,N}}VV @VV{\underline{D}}V \\ {\bf VectBundle}(TM, TN) @>{TB^z_x}>> {\bf ParAES}_{\mbox{RL}}({\bf R}^m\times {\bf R}^m, {\bf R}^n) \\ @VVV @VV{curry}V \\ \mbox{?} @>>> {\bf ParAES}({\bf R}^m, Mat(m, n) ) \\ \end{CD}$

この可換図式で、左の縦列は座標非依存に定義できます。右の縦列も自己充足的な定義ができます（例えば、「快適な微分計算のための圏と微分公式」参照）。左右を繋ぐ横矢印をちゃんと定義するのが若干面倒そうです。が、計算デバイスとしては、横矢印こそが問題になります。

構文論と意味論

大ざっぱに言えば、Manは意味論（概念的実体）の世界、ParAESが構文論（表示と計算）の世界であると言えるでしょう。通常の（論理やプログラム理論で出てくる）構文論／意味論とは違い、構文に意味を対応させる意味写像が単純ではありません。チャートを指定しないと、“意味←→構文”の対応が決まりません。チャートの選択はいくらでもあるので、ものすごくたくさんの“意味←→構文”対応を取り扱うことになります。

ものすごくたくさんの“意味←→構文”対応が、どのように組織化され統御されているか？そのメカニズムが興味あるところです。そのメカニズムから、本来の（論理やプログラム理論で出てくる）構文論／意味論に対するフィードバックが得られるかも知れません。