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［参照用 記事］

オプティックの絵図

雑記／備忘

オプティック〈optic | optics〉というプログラミングのデザインパターン（広義）があるらしい。僕は知らなかったのですが、「オプティックを勉強したい」という人達がいたので、ちょっとお付き合いしてみました。

オプティックで使う（かも知れない）絵図〈diagram | picture〉が出てきたのですが、初見ではなんだかワカラナイ。しばらく考えて、だいたいは分かったので、それをメモしておきます。他の記事への参照は脚注にあります。

絵図が出ていた論文は次です。これはドラフトらしく、ミスが散見します。しかし、おおよその考え方を知るためなら、些細な間違いは問題にはならないでしょう。

この論文に次のような絵が出てきます*1。

ℓ = left、r = right の2つの部分があるのは、左パートと右パートがペアになっていることを示すだけなので、どちらか一方だけ考えれば十分です。左パートだけ取り出して時計回りに90度回転します（右パートでも同様に時計回り90度回転します）。

この形を解釈すればいいわけです。

まずは一般論から*2。圏Cのなかに 射 f:A → B in C があれば、それは次のように図示されます。

描画法はいつも僕が使っている方式で、射の方向は上から下、ノード形状はオダンゴです*3。

この射 f in C を、圏の圏（2-圏）Cat または CAT *4へと格上げ〈promote | bump up〉*5します。

2-圏 CAT における描画法は、関手の方向は左から右、自然変換の縦結合方向が上から下です*6。上の絵のなかで：

次に、F:C → C in CAT が自己関手〈endofunctor〉だとして、C 内で次のような射を考えます。

  • g:A → F(B) in C

それを格上げすると次のように描けます*7。

絵では、関手は左から右に走り、結合〈合成〉や適用も左から右です。関手の図式順結合記号をスター '＊'、対象・射を関手に渡す図式順適用記号をドット '.' とすると、次が成立します。

  • B~＊F = (B.F)~ = F(B)~

この理由から、F(B) の格上げの図が B~ F の順序で描かれているのです。

さて、G:M → [C, C] in CAT という関手を考えましょう*8。ここで、[C, C] は圏の圏 CAT の内部ホム対象〈指数対象 | ベキ対象〉、つまり関手圏です。対象 X∈|M| に対して、G(M) はCの自己関手です。F := G(X) :C → C in CAT として、先程の F を G(X) で置き換えると次の図になります。

G(X) を、青い関手シース〈functor sheath〉で心線〈芯線 | cable core〉X をくるんだ形で描いています。この描画法はストライプ図*9です。

最初に挙げたロマン〈Mario Roman〉の図（下に再掲）は、すぐ上の図と同じです。ワイヤーやエリア（平面内の領域）のラベルは省略されています。圏 C 内で描画しているわけではなくて、圏の圏 CAT 内で描画しています。絵図を見るときは、「どこで、何を、どのように描いているのか？」を最初に確認しないとワケワカランことになります。注意しましょう。

*1:実は絵しか見てません。

*2:絵の読み書きに関する一般的注意は「絵算をはじめた人への注意」参照。

*3:ノードは幾何的には点〈point〉です。広がりを持たせるのは、ラベルを記入したり形状で種別を表すためです。

*4:サイズ問題が気になるなら、小さい圏の圏 Cat を使ったほうがよいでしょう。

*5:「圏論の随伴をちゃんと抑えよう： お絵描き完全解説 // 対象と射の格上げ」参照。

*6:描画法のバラエティは「絵算（ストリング図）における池袋駅問題の真相」参照。

*7:同様な描画法はクライスリ射の描画にも使います。

*8:オプティックの状況では、Gは圏論的作用（双関手）をカリー化した関手です。

*9:「モノイド関手／ラックス・モノイド関手とその実例 // マッカーディのストライプ図」参照。ストライプ図を使った実例は「モノイド圏と加群圏に関するフォークロアとマックレーン五角形・三角形」。