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参照用 記事

半加法圏 の検索結果:

ヤコビ微分圏: 下部構造としての芯付きラムダ圏

…: はじまり// 準半加法圏など」では「準半加法圏〈qusi-semiadditive category〉」「閉準半加法圏〈closed qusi-semiadditive category〉」という奇妙な名前を提案しています -- 過去記事を読めば、名称に悩んでいる様子がうかがえるでしょう。概念は変えませんが、命名の方針は変えることにします。我々が扱う圏は、デカルト圏Cと、Cの部分デカルト圏Aのペア (C, A) で、様々な構造を持つものです。部分圏Aが半加法圏のとき、Cは…

クリーネ代数の圏化: ちょびっと

…ース付きデカルト圏、半加法圏〈双積圏〉などは、亜X化の意味でのクリーネ代数の圏化です。つまり、KleeneAlgebra-oidを求める方向ですね。それとは別に、KleeneAlgebraCategoryを求める方向もあるわけです。どうも僕は、KleeneAlgebra-oidとKleeneAlgebraCategoryをゴッチャにしてきたようです。関連はあるでしょう*1が、KleeneAlgebra-oidとKleeneAlgebraCategoryは区別しないと混乱します…

マイクロコスモ原理とクリーネ構造

…ります。そんな環境は半加法圏〈semiadditive category〉だと言っていいでしょう。次の記事で書いています。 テンソル半加法圏とプログラム意味論 テンソル半加法圏と半環のあいだの対応 クリーネ圏が在るとすれば、それは半加法圏の構造を備えているはずです。クリーネ圏とクリーネ構造のタワークリーネ代数Kを、K = (K, +, 0, ・, 1, (-)*, ≦) と書きました。これは、足し算(中立元は0)/掛け算(中立元は1)/クリーネスター/順序を持つ構造であること…

『圏論による量子計算と論理』はエキサイティングだ (1/2)

…ログ内ではそれぞれ、半加法圏とテンソル半加法圏と呼んでいた圏です。第3章では、ダガー圏とその変種が登場します。ダガーは、内積をシミュレートする仕掛けです。アーベル圏が最初から足し算・引き算を仮定しているのに対して、有限双積をもつ圏は足し算だけを仮定します。また、アーベル圏はホモロジー代数を意識していて、完全列がやたらに出てくるのですが、ヒューネン本では完全列/完全性に注目してません。今言った「引き算」と「完全列」は、僕がアーベル圏を敬遠する理由でした。計算科学への応用上は邪魔…

ヤコビ微分圏: はじまり

…手法が活躍する。 準半加法圏など ヤコビ微分圏の抽象的構成・具体的構成 続きの記事: ヤコビ微分圏: 下部構造としての芯付きラムダ圏 ヤコビ微分圏: 取り急ぎ概要と課題 CADGとデカルト微分圏CADG(Categorical Abstract Differential Geometry)は、微分や“なめらかさ”の概念を圏論的に定式化して、微分幾何を抽象的に展開する試みです。90年代のリソース・ラムダ計算(resource lambda-calculus, 1993)や80年…

ラックス・モノイド関手をシッカリ調べるべき

「半加法圏の圏」で、半加法圏(=双積モノイド圏)の圏はデカルト閉圏になるだろう、とか書いたんですが、それは僕の勘違いでした。デカルト閉圏にはなりません。しかし、なにかうまいモノイド積が存在すれば、そのモノイド積に対してモノイド閉圏になる可能性はあります。つまり、次の随伴性が成立するかも知れない、ということです。 SemiAdd(CD, E) SemiAdd(C, [D, E]) ここで、が「なにかうまいモノイド積」、[-, -]は指数です。上記の「なにかうまいモノイド積」は、…

半加法圏の圏

…すけど、これは特定の半加法圏Cに注目して云々つうより、半加法圏の全体からなる圏SemiAddの構造をとらまえる話だろう、と思います。双積(biproduct)の定義としては、直積と直和のあいだの同型を与えるとか双極限を使うとか、有限極限ベースの定義がありますが、ものごとがup-to-isoでしか決まらないので面倒です。議論を単純化するには、双積がモノイド積としてアプリオリに与えられている状況、つまり双積モノイド圏(biproduct monoidal category)を考え…

上空にいる足し算の親玉を捕まえる

…算を持つ圏というと、半加法圏(semiadditive category)と加法圏(additive category)があります。その定義は、nLabやWikipadiaを参照してください。 https://ncatlab.org/nlab/show/biproduct#SemiadditiveCategories https://ncatlab.org/nlab/show/additive+category https://en.wikipedia.org/wiki/Ad…

関係圏 -- toward 量子と古典の物理と幾何@名古屋

…ます。このような圏は半加法圏と呼びます。「半加法」という名称が腑に落ちないですが、それについては次を参照: 「テンソル半加法圏とプログラム意味論」の冒頭 「「余」と「双」の使い方がバラバラ」の「積、余積、双積とデカルト性」 圏のデカルト構造と足し算構造 関係圏では、射(関係)の転置(transpose, converse)ができます。R:A→B の転置をRtと書くと、 Rt := {(y, x)∈B×A | (x, y)∈R } 対象(集合)Aに関してはAt = A と定義し…

プログラムの同時実行をチャンと理解しよう: 並列と並行の違いなんて、どうでもいいからさ

…す。例えば、テンソル半加法圏は並列性を含むモデルです。でも、並列性の議論であることが分かりにくかったかも知れません。今回の超単純モデルとテンソル半加法圏の中間に位置する話題をいつか扱いたいですね。 *1:初期状態を1つに決めるのがいつでも良いとは限りません。複数の初期状態を持たせるのが自然な場合もあります。 *2:正確には、リフル・シャッフル(riffle shuffle )というらしいです。 *3:オリジナル画像: http://www.geocities.jp/magic…

クリーネ代数への批判と賞賛: プログラムのモデル色々

…デカルト圏とデカルト半加法圏 並列実行と同期通信 条件付き実行はどこに行った? 時分割実行と待ち合わせ クリーネ代数は足りないけど素晴らしい プログラムの代数としてのクリーネ代数クリーネ代数が素晴らしいのは、プログラムの代数的取り扱いを可能としたことです。プログラムの組み合わせや制御方法には次のものがあります。 順次実行 選択的実行 繰り返し実行 条件付き実行 クリーネ代数による定式化では、これらの実行制御を代数演算で表します。 プログラム クリーネ代数 順次実行 掛け算 何…

その後の抽象スカラー、それとダガー圏

…象スカラー「テンソル半加法圏と半環のあいだの対応」において、アブラムスキーの抽象スカラー(abstract scalar)という概念を紹介しました。(C, ×, 1) がモノイド圏のとき、モノイド単位1の自己射(endomorphism)をスカラーと呼ぶのでした。EndC(1) = C(1, 1) は、ケリー/ラプラザ(Kelly and Laplaza)の補題から可換モノイドとなり、これをCのスカラー系と呼びます。スカラー(射)はC内に存在しますが、スカラー系は、Cを外から…

「余」と「双」の使い方がバラバラ

…ようです。「テンソル半加法圏とプログラム意味論」より: 零対象と双積を持つ圏なら名前がありますね。半加法圏(semiadditive categories)です。 http://ncatlab.org/nlab/show/biproduct#SemiadditiveCategories 僕は、双デカルト圏(bicartesian category)と呼ぶのかと思っていたのですが、双デカルト圏の定義に双積は出てこないようです。 http://ncatlab.org/nlab/s…

いろいろな総和可能性

…豊饒圏の総和可能性 半加法圏の総和可能性 準備この話題の基本的なことは、「可算な総和可能性」で扱っています。「圏係数の行列の圏」にも類似の話題があります。必要なら参照してください。今回の記事と上記の過去記事では、用語、記号法、定義の記述などを少し変えたところがありますが、ささいな違いです。I, Jなどは添字(インデックス)の集合とします。Xがナニモノカだとして、写像 φ:I→X をIで添字付けられた族(I-indexed family)と呼び、(i∈I | φ(i)) のよう…

「M.W.ホプキンスの観察」への気長なアプローチ

…パクト閉圏、テンソル半加法圏などをベースに、形式言語やプログラムの意味論を展開するのも代数化のあり得る方向性です。使える方法があまりに多様過ぎて、相互の関係が掴み切れなかったり、方向が定まらないのが問題です。断片的でも面白いトピックを拾っていくのも健全なやり方かも知れません。正値TQFT(Positive TQFT)というヒントを手に入れたとはいえ、僕が使える時間も気力もごく僅かです。滞っているブログがアクティブに復活するとも思えません。となると、「M.W.ホプキンスの観察」…

テンソル半加法圏と半環のあいだの対応

「計算科学における半加法圏の位置付け」からだいぶ時間がたってしまい、その間ダイアリーも更新してなかったのですが、あの頃(4月末)考えていたことを記録に残しておきます。まー、興味を持つ人がいるかは疑問だけど、少なくとも自分が後で読みたいことがありそうなので。テンソル半加法圏と半環は似てるわけです。どのような意味で似てるのか? なんで似てるのか? これが知りたい事なのです。いろいろな見方があると思いますが、アブラムスキーの抽象スカラー(abstract scalar)という概念を…

計算科学における半加法圏の位置付け

「テンソル半加法圏とプログラム意味論」で述べた半加法圏(semiadditive category)とテンソル半加法圏(tensor semiadditive category)の計算をチョビチョビとしています。割と昔から知っているものなんですが、あらためて計算してみると面白いことがけっこう見つかります。一方で、分からない事が増えたりもします。半加法圏/テンソル半加法圏をプログラム意味論に使いたい、というのが僕の希望です。そして、使えるだろう、というのが僕の見通しです。なぜそ…

テンソル半加法圏とプログラム意味論

…ら名前がありますね。半加法圏(semiadditive categories)です。 http://ncatlab.org/nlab/show/biproduct#SemiadditiveCategories 僕は、双デカルト圏(bicartesian category)と呼ぶのかと思っていたのですが、双デカルト圏の定義に双積は出てこないようです。 http://ncatlab.org/nlab/show/bicartesian+category 半加法圏の条件は、標準的に決…

代数、モノイド、マグマ

…スとなる圏が加法圏や半加法圏であるときには「代数」を使い、足し算が入ってないときは「モノイド」を使うのが良さそうですが、曖昧なケースもあるのでどうせ徹底はできません。それと僕は、「代数」という呼び名が好きではなくて、足し算と掛け算を持つような代数系には古臭い言葉「多元環」を使っています*1。自己関手のマグマと代数Cの自己関手Fがあると、A∈|C| と a:F(A)→A の組 (A, a) はFマグマと呼びます。これをF代数と呼ぶこともあります。何の法則もないならマグマ、(暗黙…

圏のデカルト構造と足し算構造

…、もとの圏C上のデカルト構造、余デカルト構造、双デカルト構造に対応します。双デカルト構造は足し算の構造であり、半加法(semiadditive)構造と言ってもおなじです。さらに、ホップモノイド (IdC, Δ, !, ∇, i, n) があれば引き算が定義できて、もとの圏は加法圏になります。まとめると次の表になります。 有限極限による構造 代数による構造 備考 デカルト構造 余モノイド 余デカルト構造 モノイド 双デカルト構造 双モノイド 半加法圏 - ホップモノイド 加法圏

アーベル圏わかりませーん

…ませーん。それでも、半加法圏にはなっている実例は多く、引き算は無理でも足し算がモノイド演算になっています。感覚的な比喩で言うと: 加法圏が整数アーベル群Zみたいなもので、半加法圏が自然数モノイドNのようなものです。小学校の算数だと負の数が出てこないのにけっこうな計算ができるのと同様に、半加法圏でもけっこうな計算ができます。自然数係数/ブール値係数の行列計算の類似物は、半加法圏においてほぼ完全に再現できます。アーベル圏/加群の圏で図式を追い回す計算に比べると素朴な話ですが、それ…