共変微分の接続係数が絡んだ計算を、インデックス〈添字〉無しで出来ないか？ -- 行列成分／テンソル成分を表すインデックスの使用は抑えることが出来ます。成分にバラさないで、まるのまま計算すればいいからです。インデックスを使わないことと、基底を取…

昨日の記事「グロタンディーク流サイトについて調べてみた」の続きです。内容： 色々な方法 使いやすい方法 開射の圏 まとめ 色々な方法集合Xがあるとき、Xに位相を載せる〈位相構造を与える〉標準的な方法は、開集合の集合 O⊆Pow(X) を特定することです。こ…

サイト〈site〉とは、圏であり、その対象が位相空間のように扱える構造を備えたものです。“位相を持った圏”とも言われます。“サイト＝位相を持った圏”はグロタンディークのアイディアですが、本来のグロタンディーク位相以外に、様々な変種があるので、それ…

おそらく2019年最後の記事。別に総括とかを意識はしてないですが、結果的にそれらしい記事になったかも知れません。自分で書いた過去記事を読んで「なんだこれ？」と思うことがあります。内容が分からないというよりは、動機を思い出せないのです。「何のた…

なにかについて伝える・語るとき、書き方・言い方を決めておかないと、行き違いや混乱が起きて苦労します。なので、記事タイトルにあるモノ達の「書き方」を決めておきます。扱うモノは、バンドルのセクション空間から派生するモノ達だけです。つまり、バン…

「複体、複体、複体 … なんとかしてくれ！」を書いているときにふと思ったことがあるんですが、横道にそれるので書きませんでした。そのことをこの記事で書きます。ふと思ったこととは、「圏C内のモノイド対象と、圏C内の単体的対象は酷似した概念だなー」。…

ホモロジー／コホモロジーの文脈で、「複体」という言葉が出てくるのですが、この言葉は多義的でいくつもの意味があります。大げさな言い方をすると、「出てくるモノはなんでも『複体』と呼んでいる」ようです。僕自身も混乱・困惑しましたし、コミュニケー…

曖昧な記法だと、ほんとに話がグチャグチャになって、考えがまとまりません。記法の整理・整備は大事です。内容： 飾り文字 注釈飾り文字 識別飾り文字 関手飾り文字 微分幾何からの例 まとめ 飾り文字上付き・下付きで小さく書く文字・文字列を飾り文字と呼…

「ビッグサイト微分幾何と自然変換の上付き添字」の続きです。ビッグサイトを作るもとになるサイトがあるので、それを巨大サイトと呼び、巨大サイトに注目しようという話です。内容： 巨大サイト 開射を持つ圏 被覆 被覆の圏 巨大層へ 巨大サイト（なめらか…

多様体M上のベクトルバンドルEに対して、そのセクション空間を対応させる関手 E ΓM(E) がメチャクチャに便利です。なんで、こんなにも便利なんだろう？ と考えてみました。マクロレベルで（多様体の圏、ベクトルバンドルの圏、可換環の圏、加群の圏、それら…

ここ最近書いている一連の記事はゆるく関連しています。 コジュール接続の圏 代数的平行移動 騙されるな、接続係数（クリストッフェル記号）の仕掛け 「共変微分と平行移動は同値な概念である」というよく知られた事実を、できるだけハッキリと記述したいな…

「コジュール接続の圏」で、共変微分の話をしました。そこで次のようなことを書きました。 選んだひとつの共変微分に対する、他の共変微分の“差分”（End1Form(E)Ab の要素）がいわゆる“接続係数”を定めます。ただし、共変微分の空間 CovDer(E) には、特別な…

最近、ベクトルバンドルと共変微分、つまりコジュール接続について考える機会があったのですが、共変微分と同値な概念として平行移動があります。共変微分の代わりに平行移動が使えるのなら、 コジュール接続 = ベクトルバンドル＋共変微分 ＝ ベクトルバン…

カリー化と線形代数と微分幾何に関する小ネタです。内容： 設定と約束 カリー化 共変微分 設定と約束RとFは可換環で、R⊆F （RはFの部分可換環）だとします。A, B などはF-加群だとします。R⊆F だったので、A, B などはR-加群でもあります。文字の使用法は次…

先週ボンヤリと考えていたことがあったんですが、ちょっと面倒になってきて気力萎え。だけど、いつかまた興味と気力が湧いたときに参照できるようにメモ書きを残しておきます。思い出すときのヒントは書きますが、詳しい話ではありません。あやふやなところ…