微分インフラとはカルタン微分計算系 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

「シュバレー／アイレンベルク関手の話 // 微分インフラとシュバレー／アイレンベルク関手」に次のように書きました。

多様体上で微分計算をするときに必要な演算〈操作〉には何があるでしょうか。並べてみます。

関数の偏微分

ベクトル場のリー微分

微分形式の外微分

微分形式の内微分

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上記の4種の微分操作〈導分〉達〈four derivation operators〉を備えたシステムを微分インフラ〈differential infrastructure〉と呼びましょう。「微分インフラ」は、厳密な定義を持つ言葉ではなくて、雰囲気な言葉ですが、上記4種の微分操作の存在は念頭に置きます。

モヤッとした概念に名前を付けたのですが、もっとハッキリした定義があるようです。Cartan calculus というものです（昨日知った）。

https://planetmath.org/cartancalculus

"calculus"を「微分計算系」と訳してカルタン微分計算系と呼ぶことにします。リー微分、外微分、内微分を持つような計算系であり、それらの微分達の相互関係が次の等式達で規定されています。

$d\circ d = 0$
$d\circ L_X - L_X \circ d = 0$
$d\circ i_X - i_X \circ d = L_X$
$L_X \circ L_Y - L_Y \circ L_X = L_{[X, Y]}$
$L_X \circ i_Y - i_Y \circ L_X = i_{[X, Y]}$
$i_X \circ i_Y + i_Y \circ i_X = 0$

nLab項目 Cartan calculus には次の形の等式が載っています。

$[d, i_X ] = L_X$ （上記 3）
$[L_X, L_Y] = L_{[X, Y]}$ (上記 4)
$[L_X, i_Y] = i_{[X, Y]}$ (上記 5)
$[i_X, i_Y] = 0$ （上記 6）

等式の左辺で使われている括弧積は交換子積で、 $[X, Y] := X\circ Y \pm Y\circ X$ と定義されて、プラスかマイナスかは X, Y の次数〈grade | degree〉で決まります。ただし、等式の右辺に出てくる括弧積はリー代数組み込みの括弧積です。

最初に挙げた6つの等式はすべてが独立（依存関係がない）ということではなくて、最終的にこれらが揃えばいい（カルタン微分計算系と呼ぶにふさわしい）ということでしょう。実際の例においては、幾つかの等式は自明になることがあります。キモとなる等式は $[d, i_X ] = L_X$ で、カルタンのマジック公式〈Cartan's magic formula〉と呼ばれています。他の等式もカルタン由来です。

モヤッとした概念“微分インフラ”を、カルタン微分計算系と定義すれば、構成素と構造、満たすべき性質（等式的な公理）がハッキリして、（オフィシャルに）議論の対象にできます。よかった、よかった。