…ノイド圏の組としてはフレイド圏（Freyd category）があります。余可換コモノイド・モダリティを持った対称モノイド圏は、フレイド圏とかなり似ています。そういえば、フレイド圏に非自然な対角や余対角を載せることはやったことがありました。 アローの3文字演算子と対角付きプレモノイド圏 プレモノイド圏上の擬余対角 プレモノイド圏やバイノイド圏は、関手性が破れた積を扱う仕組みでした。どうも、非関手的（no-fanctorial）／非自然（non-natural）な対応や族を扱う…

…key）は、アローはフレイド圏やその変種でモデル化できると言っています。また "Freyd categories are enriched Lawvere theories" (Sam Staton)は、フレイド圏が豊饒ローヴェル・セオリーだと主張しています。アローがプロ関手の圏のなかに棲んでいる生き物だとすると、同種の存在物らしきフレイド圏／ローヴェル・セオリーもプロ関手の圏のなかで飼えるでしょう。垣間見えたり、見えなかったりプロ関手の圏（双圏）をProfとして、Set ：…

…あるデカルト作用圏やフレイド圏と相性が良さそうです。それと、積分を入れたラムダ計算とも何か関係がありそうな予感。レヴィのCBPV言語は、ラムダ計算の項言語の拡張ですが、かなり現実の言語に近いものです。そのまま実装しても実用になりそうです。どんな構文かを紹介します。僕の好みを入れて少し変形します。内容： 前置き 文と式の区別 式の型付け 文の種類と型付け 文に対する補足説明 抽象と呼び出し 前置きCall-By-Push-Valueについては、Call-By-Push-Valu…

…か、また考えてます。フレイド圏を基本的な道具にしようかと。ベーシックなフレイド圏に対して追加したい構造には次のようなものがあるでしょう。 閉構造（指数構造） トレース インデキシング（パラメータ化） 強度 強度（strength）は、関手のテンソル強度以外にプロ関手の強度（プロ強度とでも呼ぶべきか）ってのもあります。「アローの3文字演算子と対角付きプレモノイド圏」では、フレイド圏に対角構造という小物を追加しました。こういった小物もけっこう使い道があったりします。そこで、対角構…

… によれば、アローはフレイド圏やその変種と同等なようです。アローやその拡張では、アスキー文字を3つ続けた中置演算子が使われます。>>>、***、&&& です。これらの演算子の意味を考えてみたら、アトキーの言うフレイド圏では不足があります。対角（diagonals）という構造を入れないと、うまく説明できません。内容： フレイド圏 対角構造 対角付きフレイド圏と対角順次積 フレイド圏フレイド圏と、そのもとになるバイノイド圏、プレモノイド圏については、「非交替的な積を持つ圏達」で説…

…C[A] とすると、フレイド圏 (C, C[A], JA) がパラメータAによって束になっているような状況となります。以上にようにしてデカルト圏Cから作られたインデックス付き圏 C[-] が、不動点理論を展開するのにふさわしい舞台なんじゃないかと思います。自己プロ関手と対角自然変換一般に、Cop×D→Set という混合変性（反変-共変）の二変項関手をプロ関手（profunctor）と呼びます。distributor、correspondence、bimodule あるいは単に…

…とを主張しています。フレイド圏の場合は、Cがデカルト圏であることを仮定します。Kのほうにもモノイド積（またはプレモノイド積）を仮定するので、モノイド構造に注目するわけです。今は単なる拡張構造に注目しているので、モノイド構造抜きフレイド圏となります。「モノイド構造抜き」じゃフレイドじゃねー、と思うので、単にクライスリ拡張と呼んでおきます。本来の（モナドによる）クライスリ拡張よりは抽象化／一般化されています。クライスリ拡張の圏とインデキシングCを固定して、Cのクライスリ拡張の全体…

…うしてこういうモノに名前が要るかというと、クライスリ拡張手を対象とする圏を考える必要があるからです。圏の対象に呼び名がないのはとても不便です。クライスリ拡張手を対象とする圏の射は、クライスリ拡張構造を保つような自然変換です。拡張手の（関手としての）結合は、この圏の非対称モノイド積になるでしょう。クライスリ拡張手を対象とする圏は、対応するクライスリ圏をインデックス（パラメータ）で束ねた構造を導くので、インデックス付きフレイド圏と似たような議論ができるんじゃないかと期待してます。

…調べたい。これって、フレイド圏にモノイド構造を入れたようなものじゃないのかな？ 相対モナドと組み合わせたらいいような気もするけど、僕は相対モナドを使えないので練習しないと何もできそうにないです。もともとモナド（End(C)のモノイド）の圏をファイバーとするインデックス付き圏が欲しかったのは、模倣／双模倣とかリスコフ置換可能性とか、状態遷移系の類似性を測る手段がないかなーと思ってでした。行列計算でなにかできそうかな、と。インデックス付き圏のベース圏が計算的なEP圏（embedd…

…態遷移系」を作用圏やフレイド圏の枠組みで使えないか、というのが問題意識です。メイヤー先生の「Command-Query分離された状態遷移系」に対応する代数構造を考えることができます*1。その代数構造を、基礎となる圏の自己関手圏に埋め込むことができます。すると、モナド類似物になります。モナド類似物はいっぱいあるので、そのなかで「Command-Query分離された状態遷移系」から作られたものを特定できるといいな、と思うのです。それができないにしても、メイヤー先生の教えを圏論的に…

…は、インデックス付きフレイド圏が良さそうです。 大量のモナド類似物を取り扱う方法：参考文献 不純な計算モデルに何を採用するにしても、その部分圏（あるいは係数圏）として“きれいな”モノイド圏が含まれます。このモノイド圏が純粋な計算に対応します。さて、大域と局所、不純と純粋という分類を考えたとき、どのような組み合わせがよいのでしょうか？ もちろん目的・用途によりけりですが、僕の当面の目的では、次を使おうと思っています。 ＼ 大域 局所 不純 デカルト半環作用圏 Command-Q…

…、Atkeyによる「フレイド圏をインデックス化（パラメータ化）したり豊饒化したりする」ものです。時期的には、デカルト作用圏が面白いと言っていた2010年末から2011年初めくらいでしょう。 題名とリンク 著者 時期 ページ数 What is a Categorical Model of Arrows? Robert Atkey MSFP 2008 18ページ Parameterised Notions of Computation Robert Atkey ?2006 - 2…

…したあたりから、僕はフレイド圏（Freyd category）*1に興味を失ったのですが、最近また「フレイド圏て便利だな」と思い直しました。というのも、モナドと余モナドと双モナドと、その他なんかモナド類似のナニカとかを使い分けるのにウンザリしてしまったからです。「モナド的代数系と一般化クライスリ圏」において、モナド、余モナド、双モナド、その他モナド類似の諸々をモナド的代数系と呼ぼうとか言っているのですが、そもそも、そういうモナド類似物を引き合いに出すのがめんどくさいのです。フ…

デカルト作用圏やフレイド圏は随分と役に立つなー、と実感。リアルな（現実をうまく写す）計算モデルを簡単に作れるようになりました。 デカルト作用圏によるプログラムの意味論 （たぶん、その1） デカルト作用圏が面白い デカルト半環圏の定義を確認してみる（デカルト半環作用圏のために） さてところで、デカルト作用圏（Cartesian effect category）、バイノイド圏（binoidal category）、プレモノイド圏（premonoidal category）、フレイ…

… 今年中に、作用圏とフレイド圏を使えるようになる。 と書いたが、それは達成できず。正月にやろう、っと。しかし、「クリスマスは終わってしまったので、正月にでも(?)」（http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20101230/1293682058）では： クリスマスにトポスを勉強しなかった人は正月にでも勉強したほうがいいのでしょうかね。 そして、「ハイパースキーマまでの道」（http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20110102/1…

…"でも言及されているフレイド圏（Freyd category）、Arrowsは、外側の圏と部分圏を考えるので、圏の埋め込み J:C→K を使っています。ニック・ベントン（Nick Benton）の線形非線形圏（linear non-linear category； http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/15/42/29/PDF/catmodels.pdf などを参照）では、随伴で結ばれたデカルト圏と対称モノイド閉圏を使っています。フォ…