…代数 思い起こせば ニョロニョロ線形代数 お絵描き線形代数 同一じゃなくて同型、これがイヤ！ おわりに 古式テンソル計算のモダン化ここ最近、「古典的微分幾何・ベクトル解析のモダン化」というシリーズ記事を書いています。この一環として、古式テンソル計算のモダン化をやりたいな、と思っています。古式テンソル計算ってなに？ -- 古いスタイルの（古典的、古式）微分幾何・ベクトル解析には、通常の（オーソドックスな）線形代数とはだいぶ違った線形計算体系が付属しています。これを、古式テンソル…

…ット同型方式、またはニョロニョロ方式で定義されます。 ホムセット同型方式のとき： (C, D, F, U, Φ)が随伴系 ニョロニョロ方式のとき： (C, D, F, U, η, ε)が随伴系 ここで： Cは圏 Dは圏 Fは、D→C という関手 Uは、C→D という関手 Φは、ΦA,X:C(F(A), X)→D(A, U(X)) という同型写像の族で、C(F(-), -)⇒D(-, U(-)):Dop×C→Set という自然変換 ηは、D^⇒F*U:D→D という自然変換（D…

…す。 単位／余単位とニョロニョロ関係式を絵（ストリング図）で描けば次のようです。これらの公式は、絵（ストリング図）を使うと自然に解釈できますが、その話は次の機会にします。絵（ストリング図）で計算すれば楽です。絵算（pictorial/graphical/diagrammatic calculation）の話はいずれまとめてする予定です（今日はしない）。絵が描けるので、随伴系の計算は絵算（pictorial/graphical/diagrammatic calculation）…

…単位 転置と反転置 ニョロニョロ方式の定義 ニョロニョロ方式のメリット 随伴系の書き方を約束する お絵描き完全解説の内容： 圏の圏における絵算 対象と射の格上げ 図式順記法と混合記法 絵算で何をやるのか 転置オペレータ／反転置オペレータとその描画 転置と反転置の自然性 ホムセット同型からニョロニョロへ 絵算のススメ 関連する記事： 双対と随伴、そして左と右 随伴系の書き方 随伴に関する注意事項 随伴系の圏の多様性 随伴系の二重圏 圏論における随伴もともと、デカルト圏に関する記…

…UPWARDS' (U+21C0)です→⇀ ハープーンに'h'を乗せて、8種の方向で描くとこんな感じ↓双対性／随伴性を表すニョロニョロの左右ひっくり返しなら：紙ナプキンは、向きを変えたり裏返しがすぐに出来るし、薄くて透けているので、正しく鏡映が描けているかの確認も楽です。コーヒーを飲み終わって、紙ナプキンを数枚消費したら帰ります。 *1:画像は http://www.forest.impress.co.jp/img/wf/docs/401/540/image1.jpg より。

…位 述語論理におけるニョロニョロ おわりに 命題論理まずは命題論理の話からはじめましょう。用語の整理をするだけなので、ご存知の方はこの節は飛ばしてもかまいません。命題論理を構成する基本概念は次のようなものです。 基本命題： a, b, c, ... 論理結合子： ∧（連言）、∨（選言）、¬（否定）、⊃（含意） 論理定数： T（真）、⊥（偽） 推論／証明 基本命題（{atomic, primitive, basic} proposition）は内部構造をもたない（仮にあっても考…

…しょうか？ 随伴性をニョロニョロスタイルで書いてみましょう。関手の図式順結合と自然変換の横結合は*で書くことにして、ε::IdS→F*G:S→S を随伴の単位、η::G*F⇒IdV:V→V を随伴の余単位とします。([追記]ウギャッ、ε, ηの使い方が普通の習慣と逆でした。ηが単位、εが余単位のときが多いです。めんどうだから直さないけど。[/追記])このとき、ニョロニョロ関係式（snake relation）は次の2つの等式となります。（「;」は自然変換の図式順縦結合です。）…

…と。双対／随伴を表すニョロニョロ法則を表す図形の動画もあります。動画タイトルは、zigzagerator。ニョロニョロ法則はジグザグ法則とも呼びますからね。もちろん、snakerator（ニョロニョロ律子）と呼ぶ人もいます*2。次の図もニョロニョロ律子と同じ形ですよね。この絵は、ルネ・トムのカタストロフ理論を象徴する図形のひとつです。高次圏の法則に対する律子は、典型的な特異点パターンに対応するようなので、ニョロニョロ律子がカスプ特異点を持ち上げた形状なのはその一例なんでしょう…

…。双対性には何らかのニョロニョロ関係（snake relations）が必要です。対象Aごとに、evとcoevを与えます。 evA:AA'→I coevA:I→A'A ひっくり返しと組み合わせて、ev'とcoev'も定義しておきます。 ev'A := (τA-1τA);evA : A'A→I coev'A := coevA;(τA-1τA) : I→AA' ベント（曲がった形状の射）が4種あるので、ニョロニョロ関係が4つ出てきますが、ひつとだけ書いておくと（idA'を単にA'…

…スペースは、「3Dでニョロニョロしたい： 随伴・双対・ガロア接続」に書いた内容に対するGlobularを使った補足説明です。「3Dでニョロニョロしたい： 随伴・双対・ガロア接続」を書いた時点ではGlobularを知りませんでした*1が、この話題はGlobular向きです。言いたいことは、「圏論における随伴関手対」と「線形代数における双対空間対」は同じような定式化が出来るよ、ということです。その定式化一式を、Globularワークスペース内に揃えました。オマケとして、自然変換 …

…F⇒IdD:D→D ニョロニョロ関係式（snake relations）を満たすとき、x∈|C|, b∈|D| に対して、次の同型（双射）が作れます。 D(F(x), b) C(x, G(b)) ただし、対象 x, b と射 f∈C(x, G(b)), g∈D(F(x), b) は、格上げして考えます。要するに、関手の随伴対に対する「ニョロニョロによる定義」から「ホムセットの同型による定義」が導ける、ってことです。ほんとは、ホムセット同型の自然性も必要ですが、それはやってませ…

…ηと余単位εを使ってニョロニョロ関係式を随伴の定義に採用します。（[追記]ニョロニョロを随伴対の定義として採用すると、ホムセットの同型は定義から導出できることは、「Globularのサンプルを追加： 随伴対の二種類の定義」で示しています。逆の命題の絵証明は、ホムセットの絵による定義がよく分からなくて出来てません。[/追記]） η::IdC⇒F*G:C→C ε::G*F⇒IdC:C→C 上記のテキスト記法は、絵算と相性が良いDOTN二号記法で、例えば F*G は、FとGのこの順…

「随伴のニョロニョロ関係をTypeScriptで確認する」で話題にした2つのニョロニョロ関係式： εP(X) P(ηX) = idP(X) E(εX) ηE(X) = idE(X) 一番目だけをTypeScriptで書いてみました。TypeScriptプログラムで出来ることは、幾つかの個別事例を確認することだけで、等式の証明ではありません。手と紙を使えば等式の証明も出来るだろうとやってみると、二番目の等式が難しい。「難しい」と言うより、計算の道具が揃ってない、というのが実状で…

…。ところで、随伴性はニョロニョロ関係式によっても定義できます。型付きラムダ計算が行えるプログラミング言語では、掛け算関手と指数関手に関するニョロニョロ関係式が成立しているはずです。このニョロニョロ関係式を、当のプログラミング言語のなかで確認することができるでしょうか？ TypeScriptで試してみました。内容： 掛け算・指数、随伴、ニョロニョロの復習 ニョロニョロ確認作戦 確認方法とソースコード 人類が犯した過ちについて 掛け算・指数、随伴、ニョロニョロの復習Cをデカルト閉…

…一番目の等式の絵は、ニョロニョロ関係式を使ってワイヤーの引き伸ばしをしてますが、ニ番目の等式では何もしません。「あー、確かに等しいね」と目視確認するだけです。なので、絵の等式は左右が同じトートロジーになっています。一応、最初に注目する場所が違うことを示すために、点線枠が描かれていて、この枠（目線のガイド）は等号の左と右で違います。「何もしなくても分かってしまう」ので、ニ番目の等式のほうが絵算の威力を示すのに好都合です。というわけで、二番目の等式について詳しく説明して、一番目は…

…随伴や双対を表現するニョロニョロ関係（snake relation、「双対とニョロニョロ」参照）は次のようです。[キュリア p.34] [マースデン p.10] キュリアのはオダンゴが大きすぎて邪魔くさいですね。マースデンのほうがずっと見やすい。ただ、マースデンは、ワイヤーのラベル（関手の名前）を枠の外にだけ書くようにしているらしく、無名のワイヤーの意味が取りにくいことがあります。一番左の絵で言えば、ηとεを繋ぐワイヤーはGなのですが、それが明示されていません。ラベルの付け方…

…と呼びます。共通性はニョロニョロいずれの事例でも、なんらかのペア（カップル）が出てきて、相方を、それぞれの立ち位置から見て「左パートナー／右パートナー」と呼んでいる点は共通しています。この状況を記号「-|」を使って次のように書きます。 F -| G A -| B f -| g とはいえ、各事例のセッティングはかなり違います。これら3つの事例が単一の抽象化に統合できるのは信じがたい気もします。3つの事例を統合する方法はニョロニョロ関係（「双対とニョロニョロ」参照）です。ニョロニ…

…いう人もいます。ウィラートン（Simon Willerton）はヘビの関係式（snake relation）と呼んでました。おー、なるほど。ヘビが蛇行（「馬から落馬」表現）しているサマに似てますよね。というわけで、僕は「ヘビの公式」と呼ぶことが多いのですが、「ヘビの補題」なんてのもあるので「ニョロニョロ公式」がいいんじゃないか、というのが最近の僕の意見。双対性の本質はニョロニョロなんです。[追記]双対に関わる左と右の話は「双対と随伴、そして左と右」に書いてあります。[/追記]