「米田テンソル計算 3： 米田の「よ」、米田の星、ディラックのブラケット 再論」にて： 圏の対象・射の{余}?米田埋め込みと関手・自然変換の{余}?米田埋め込みの両方に米田の星を使ってますが、これはオーバーロードです。両者はすこし別な対応です。僕は、第一種{余}?米田埋め込み〈type-1 {co}?Yoneda embedding〉／第二種{余}?米田埋め込み〈type-2 {co}?Yoneda embedding〉と区別してますが、それらの関係はまた別な記事で述べます。…

…しています。また、「米田テンソル計算 3： 米田の「よ」、米田の星、ディラックのブラケット 再論」では、米田の「よ」記法について説明し、ニンジャ米田の補題にも触れました。この記事では、ニンジャ米田の補題を主題的に扱い、その証明もします。上記の過去記事の内容は仮定しますが、必要に応じて拾い読みすればいいでしょう。$` \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\id}{\mathrm{id} } \newcommand{\op…

…関手のカリー化である米田埋め込み／余米田埋め込み、ホム関手を典型例とするプロ関手などに進むことが困難です。感覚と感情でも納得できるように、色々な絵図やテキスト表現をいじり回してみてください。 *1:“巨大な集合圏”なんて存在するのか？ -- 実在が信じられないなら、単なる約束として $`\In {\bf SET}`$ という書き方をするのだ、と思ってください。 *2:稀に、$`f`$ と $`f^\op`$ のように区別して書くこともあります。 *3:本来 $`\mrm{Mo…

…ます。表題に挙げた 米田の「よ」、米田の星、ディラックのブラケット の概念と記法について述べます。$` \newcommand{\CoEnd}{\underline{\sum} } \newcommand{\from}{\lt:} \newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow } \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\In}{\t…

… は（一般化した）余米田埋め込みを表します（説明は省略）。プロ関手の圏で考えたこの自然変換も通常はラックス左強度と呼びます。図式レベルで見ると、関手に対する強度もプロ関手に対する強度も同じですが、具体的に書き下すとだいぶ違うので、ここでは、プロ関手に対する強度をプロ強度〈prostrenght〉と呼ぶことにします。プロ強度を備えたプロ関手がプロ強プロ関手〈prostrong profunctor〉です。強関手の場合と同様に、強度の種類に応じて様々なプロ強プロ関手があります。こ…

…う関手のことです。「米田テンソル計算 2： 準備 // 修飾付き矢印」で述べたように、プロ関手のプロファイルは修飾付き矢印を使います。次はすべて同じ意味です。 $`P`$ は、$`\cat{C}`$ から $`\cat{D}`$ へのプロ関手 $`P: \cat{C} \qto{p} \cat{D}`$ $`P: \cat{C}^\op \times \cat{D} \to {\bf Set}`$ 修飾されてない矢印は関手を表します。次もすべて同じ意味です。 $`P`$ は、…

米田テンソル計算の内容について書こうと思ったら、けっこう色々準備が必要みたい。「圏論からの準備」というより、もっとツマラナイこと、しかし無視できないことに関する細々とした準備です。記述や計算のためのツマラナイ道具（いや、ツマラナクないが）も、意外と整備されてないのです。結果的にこの記事は、米田テンソル計算に限らず使えそうな基本的な用語・記法の約束を集めたものになっています。内容： 方向付き区切り記号 修飾付き矢印 無名ラムダ変数 論理式から作る述語関数 行列記法と行列計算 単…

…してきた絵算の技法と米田ご利益ツールズを動員すれば、割と気持ちいい計算体系が作れそうです。今回は実質的な説明はしてません。米田テンソル計算を思いついた経緯を述べ、インフォーマルに発想を語り、使う予定の技法・道具達を紹介するだけです。内容： 米田テンソル計算の発端 オックスフォード／ケンブリッジ流の三角・菱形 関手ボックス 米田ご利益ツールズ シーケント構成 米田埋め込みと図式変形 おわりに 追記（ネーミングで悩む） シリーズ目次（リンク）： 米田テンソル計算 1： 経緯と発想…

本日二投目。まだ、米田の「よ」だったりします。過去の2つの記事は： 米田の「よ」 ≒ ディラックの「δ」 米田の「よ」、米田の「米」、米田の「Yo」 上記2つの過去記事で、次のようなことを言いました。$`\newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} }`$ 米田の「よ」はディラックの「δ」やクロネッカーの「δ」に似ている。 ディラック密度に似ていることから、「よ」を米田密度と呼んでよいだろう。 米田密度「よ」はエンド／コエンドと一緒に使うと便利。 米田…

「米田の「よ」 ≒ ディラックの「δ」」の話をもう少し引っ張ります。今回は、上付き・下付きの約束を決めよう、という話です。内容： はじめに 明示的な記法 「よ」記法と米田密度 「米」記法 おわりに はじめにジョンソン・フレイド〈Theodore Johnson-Freyd〉、リ・ブランド〈David Li-Bland〉、ロージエン〈Fosco Loregian〉などにより提唱・使用された「よ」記法はある程度は普及したようです。しかし、米田埋め込み〈Yoneda embeddi…

米田埋め込みをひらがなの「よ」で書く例はチラホラと見るようになりました。最初に使い出したのは（おそらく）リ・ブランド〈David Li-Bland〉（https​://davidlibland.github.io/）です。$` \newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1}} \newcommand{\In}{ \text{ in }} `$ Title: The stack of higher internal categories and stack…

…「確率変数」の正体は米田埋め込み 確率空間の凸結合と分割 統計的独立性と線形独立性を共通に語ることは出来るのか？ シンプソンはあまり論文を書かない人で、統合確率論に関して口頭発表のスライドしかありません。 Title: Synthetic Probability Theory Author: Alex Simpson URL: https://mysite.science.uottawa.ca/phofstra/Simpson.pdf フリッツとは違って、トポスを使ったアプロ…

…「確率変数」の正体は米田埋め込み 確率変数 f:ΩA→ΩB があると、(ΩB, ΣB) 上の確率測度 f*(μA) （前送り測度と呼ぶ）が誘導されます。μB := f*(μA) と置けば、(ΩB, ΣB, μB) は確率空間になります。確率測度μBがfで誘導されたのではなくて、最初からμBがあったと考えると、fは、確率空間のあいだの測度を保存する可測写像となります。このことから、確率変数とは“確率空間のあいだの準同型写像”だと定義することもできます。以下、確率空間／可測空間に…

…、“無根拠”とならざるを得ません。そもそも、外延化をする必要があるのか？ という疑問もありますが、ファジーな世界をシャープに見ることは難しそうではあります。 *1:2はBooleanなのでBとも書きますが、ここではワン・ツー・スリーとしました。 *2:シャープなチャンネル、つまり確率的雑音がない決定性のチャンネルを「確率変数」と呼びます。非確率的な関数を「確率変数」と呼ぶという、冗談のようなネーミング。確率変数の曖昧さに関する解説は「「確率変数」の正体は米田埋め込み」を参照。

…積分記号も、創始者は米田信夫です。以下の記事参照。 偉大なり、米田 射のパートと方向平坦化圏 の射は、f:X→Y in B と φ:A→C[f](B) in C[X] のペアでした。fをベースパート〈base part〉、φをファイバーパート〈fiber part〉と呼ぶことにします。ベースパートはベース射〈base morphism | 底射〉とも呼びます。代数幾何では、ファイバーパートを余射〈comorphism〉と呼ぶようです*1。平坦化圏の射の作り方として、ファイバー…

…とのところ」は分かりませんが、「従う」という特殊な言葉を使うのは、言及してない背後の構造の存在を暗示しているのかも知れません。関連する過去記事「確率変数」について： 「確率変数」と言うのはやめよう 「確率変数」の正体は米田埋め込み 「分布」について： 確率・統計の「分布」の意味と使用法 心が安らぐ「分布の空間」を定義してみる 分布から拡散へ： ミシェル・ジリィを巡って 「母集団」「標本」について： 超曖昧語「母集団」「標本」にケリをつける IIDな確率変数達はどこから来るのか

…「確率変数」の正体は米田埋め込み 確率・統計の「分布」の意味と使用法 超曖昧語「母集団」「標本」にケリをつける フランツの定義とシンプソンの定義統計的独立性（の一般化）を、圏論的に定義したものとして、ウヴェ・フランツの論文があります。 Title: What is Stochastic Independence? (3 Jun 2002) Author: Uwe Franz Pages: 17p URL: https://arxiv.org/abs/math/0206017 …

米田の補題は（名前は「補題」ですが）、圏論の中心的な概念です。その重要さはジョークのネタにされるほどです。 米田、米田、米田 象を冷蔵庫に入れるには？ 米田の補題の米田信夫さん（肖像のお写真はコチラ）は、エンド／コエンド〈end/coend〉とグロタンディーク構成〈Grothendieck construction〉の創始者でもあるんですよね。エンド／コエンドに関しては、ロアギアンロージエン論文から引用します。強調（太字＋下線）は檜山。 Title: This is the …

…とみなしたものです。米田の補題から、Nat(C(-, A), F) F(A) なので、同型をあたかもイコールのように扱えば、最後のプロファイル行は次のように書けます。 ∈Set(F(A)×|C|, F(A)) Set(F(A)×|C|, F(A))は、必要に応じて Set(F(A), Set(|C|, F(A))), Set(|C|, Set(F(A), F(A))) とみなすことができます。おわりに定義コンテキスト、定義ヘッドの仮引数リスト、定義ボディのラムダリストがいずれ…

…上付きの米〈コメ〉は米田の星です（「困った時の米田頼み、ご利益ツールズ // ラムダ記法と米田の星」参照）。固定していたAを動かした X|→X米 が米田埋め込み〈Yoneda embedding〉 (-)米:C→[Cop, Set] （[-, -] は関手圏） を与えます。そして、X|→X米 が余米田埋め込み〈coYoneda embedding〉 (-)米:Cop→[C, Set] （[-, -] は関手圏） を与えます。なので、固定したAに対する A米, A米 は、（余）…

…「確率変数」の正体は米田埋め込み 「分布」に関しては： 確率・統計の「分布」の意味と使用法 心が安らぐ「分布の空間」を定義してみる 今回この記事では、残る2つの超曖昧語「母集団」「標本」について、出来る限りの解明を試みます。中心的話題は、「標本」に対するまったくかけ離れた2つの定義を結びつけることです。2つの定義を結びつけるために、「独立ベキ測度の前送り定理」を紹介します。内容： 諸悪の根源： 構造と台集合の混同 「母集団」の背後にある構造 母集団に関する記法と概念 母集団か…

今日書いた記事「米田、米田、米田」のジョーク "all theorems are Yoneda." に関して検索しているときGoogleブックス検索で見つかったのが次の本 "Encyclopedia of Humor Studies"：Encyclopedia of Humor Studies作者: Attardo出版社/メーカー: SAGE Publications, Inc発売日: 2014/05/01メディア: ハードカバーこの商品を含むブログ (2件) を見るこの本の…

米田埋め込みは頻繁に登場するので、短く印象的な記法を使いたいのは人情でしょう。「米田の「よ」とか： ちょっと変わった記法・名前達」で、ひらがな「よ」を使う書き方を紹介しました。僕も「よ」を使ってみたのですが、ちょっと問題があるのに気付きました。英文（より一般には非日本語文）内では、「よ」は目立つのですが、日本語のなかだと地の文にまぎれてしまうのです。太字にして「よ」ならいいかも知れません。頻繁に使う操作なら、演算子記号を割り当てるのも良い方法ですね。下の引用（PDFの画像コピ…

…上の豊饒圏としては 米田埋め込みへの影響 たいした問題ではない dom/codを使った定義ではf∈C(A, B)∩C(C, D) とすると： dom(f) = A かつ cod(f) = B dom(f) = C かつ cod(f) = D なので、 dom(f) = A = C cod(f) = B = D となるので、 C(A, B)∩C(C, D) が空でないならば、A = C かつ B = D です。対偶をとれば： A ≠ C または B ≠ D ならば、C(A, B…

…ルト閉にならない。 米田の補題がうまく定式化できない。 そのくせ、比較的簡単に病的例を作れる。 もう散々ですよ。レヴィは、ZFC+Uだけを前提としてます。ZFC+MUまで使えば解決できる問題もありますが、ZFC+MUには次の難点があります。 複数の小宇宙を使うので、今どの小宇宙で議論しているかを常に意識しなくてはならない。めんどくさい。 ある小宇宙での議論が、そのまま他の小宇宙でも通用するとは限らない。めんどくさい。 素のZFC上の理論と、複数小宇宙を使った理論との対応関係が…

…ナドの別な話題： 「米田埋め込み、米田拡張、そして米田モナド」において、米田埋め込みを単位とするモナドについて（曖昧に）述べていますが、これは普通のモナドとして定義できません。大規模な相対モナドになるはずです。その定義には、米田埋め込みに沿ったカン拡張＝米田拡張が使われるでしょう。相対モナドのまた別な話題： ホモトピー型理論のヴォエヴォドスキーは、相対モナドに注目していたようです。残念ながら、2017年9月30日に彼は亡くなりましたが、2016年に相対モナドの論文を書いていま…

…辺D(-, r)は、米田埋め込み〈Yoneda embedding〉による r∈D の像です。「米田の「よ」とか： ちょっと変わった記法・名前達」と「困った時の米田頼み、ご利益ツールズ」の記法で書くなら： D(-, r) = λx.D(x, r) = よ(r) = r米 いま、Fの表現対象をもうひとつ取ってきてsとします。rもsも表現対象であることから、 K r米 in [Dop, Set] K s米 in [Dop, Set] したがって、 r米 s米 in [Dop, S…

…（なんたる偶然）。 米田の「よ」 赤線が引いてあるところに注目。平仮名の「よ」ですね。これは、次の論文からの引用（PDFを画像でコピー）です。 Title: This is the (co)end, my only (co)friend Author: Fosco Loregian Pages: 84p URL: https://arxiv.org/abs/1501.02503 「よ」の意味は米田埋め込み（Yoneda embedding）です。yとかYとかで表記されることが…

どうやら、米田埋め込みを単位とするモナドがありそうです。ちゃんと構成するのはけっこう大変。このモナドを定義するためのアウトラインを示します。内容： 伝説としての米田モナド 前層構成子の上のモナド： 楽観的な導入 サイズの問題とフレイド／ストリートの定理 相対モナド 相対モナドとしての米田モナド 左カン拡張の存在 残るは 伝説としての米田モナドCを圏として、米田埋め込み〈Yoneda embedding〉yCは、Cから“Cの前層の圏”PSh(C)への関手 yC:C→PSh(C)…

米田埋め込みはやっぱり役に立ちますね。米田埋め込みを利用するときに便利なツールを幾つか紹介します。それらのツール達は： 関手に使うラムダ記法 米田の星 (-)米, (-)米 関手・自然変換のテンソル積 マルチ米田埋め込みのドット記法 内容： 過去の事例： CPSと確率変数 困った時の米田頼み、もうひとつの例 米田埋め込み ラムダ記法と米田の星 超巨大圏CATと直積 関手・自然変換のテンソル積 マルチ米田埋め込みとテンソル積 前層の圏とマルチ米田埋め込み おわりに 過去の事例：…