…ています。「圏係数の行列の圏」にも類似の話題があります。必要なら参照してください。今回の記事と上記の過去記事では、用語、記号法、定義の記述などを少し変えたところがありますが、ささいな違いです。I, Jなどは添字（インデックス）の集合とします。Xがナニモノカだとして、写像 φ:I→X をIで添字付けられた族（I-indexed family）と呼び、(i∈I | φ(i)) のように書くことにします。φ(i) は φi と書くこともあります。基数条件という概念は「形式言語理論の…

…の圏論 その第2歩：行列の圏」を事前に読んでおくと理解が早いでしょう。χを基数条件として、半環Hはχ-総和可能だとします。以下、S, T, UなどはSETχに属する集合とします。AがS列T行の行列だとは、Aが S×T→H という写像であることです。(s, t)∈S×T に対するAの値（成分）は、A(s, t)と書きますが、A[t, s] := A(s, t) という記法も導入します。tとsの順序が逆になっていることに注意。χ-総和可能な半環Hに対するS列T行の行列の全体を M…

…は限らない）確率遷移行列の圏を構成できるかもしれません（未確認、アヤシイ）。ところで、確率遷移行列の列ベクトルは、成分が非負で総和ノルムが1のベクトルです。つまり、ノルム球と正錐（非負錐と言うべきか？）の共通部分、正球面とでも呼ぶべき図形に入るベクトルです。そういう正単位ベクトルを何個か並べると（正方行列とは限らない）確率遷移行列が出来るわけです。ここで、総和ノルム以外、二乗和ノルム（ユークリッド／ヒルベルト・ノルム）とか最大値ノルムでも同じような議論ができるでしょう。ノルム…

…ング）が付いた絵図的行列の圏で考えることにして、f:2→1 （fは、1行2列の行列）のとき、fの不動点は、Tr(f;Δ) で与えられます。ここでΔは対角(コピー）です。絵としては次のようになります。f† = Tr(f;Δ) と置くと、f† = Δ;(I×f†);f が絵で示せるので、f† はfのパラメータ付き不動点です。fを行列表示すると1行2列の行列なので、f = [b a] と書くとして、f† = [b a]† は1行1列の行列です。特に b =1 のケースを考えて f†…

…適当な係数半環上の）行列の圏なので、行列圏に特殊化すると： Cはトレース付き行列圏 ⇔ Cはコンウェイ行列圏 同値性（⇔）の半分だけにして、 Cはトレース付き行列圏 ⇒ Cはコンウェイ行列圏 とすれば予備知識は減らせるでしょう。でも、こうするとコンウェイ代数（コンウェイ半環）の出番が不明になるなー。トレース Trn,mk を、Trn,m1 から作り上げることにすると、その過程でクリーネスターが出てくるはずだけど、不動点と無関係にクリーネスターが登場したら唐突すぎるか？ ウーム…

…ト圏と呼びましょう。行列の圏は双デカルト圏になります。双デカルト圏にトレースを入れると、トレース付き双デカルト圏＝双コンウェイ圏となります。トレースが付いた行列計算を展開するにふさわしい場は双コンウェイ圏です。実際、双コンウェイ圏の一般論から、具体的な行列計算の公式やスカラーの性質*4などがワラワラと出てきます。クリーネスターもトレースから計算できること、また逆にクリーネスターからトレースや不動点演算子が定義可能なことも（KSHH定理から）分かります。力学 力学系とは、運動な…

…く引き合いに出すのは行列の圏： はじめての圏論 その第2歩：行列の圏 単なる集合（離散圏）、モノイド（対象が1個の圏）、順序集合（やせた圏）も圏の仲間です。 はじめての圏論 その第3歩：極端な圏達 アミダクジとそのつなぎ合わせを考えると圏になります。 はじめての圏論 第7歩：アミダの圏 アミダの発展形にブレイド（組み紐）の圏があります。 はじめての圏論 中間付録B：アミダとブレイド さらに変わりモノとして、単純平面タングルの圏なんてのを紹介しこともあります。 田辺さんの圏論デ…

…するのです。圏係数の行列の圏は、それ自体としても興味深いですが、いろいろな用途のために特殊化したり一般化したりする足場になります。具体的な計算をしたいときの計算の道具にもなります。ラベル付き集合IとLが集合のとき、写像 a:I→L をI上のラベリングと呼び、組 (I, a) をラベル付き集合と呼ぶことにしましょう。ラベル付き集合 (I, a) もラベリングaも同じ事で、定義からは単に写像に過ぎません。あえて、「ラベル付き集合」と呼ぶのは、まー気分の問題です。ラベルの集合Lを強…

…tはMatPなので、行列の圏に関する一般論をすべて使えます。行列の圏に関しては次の記事を参照してください。 はじめての圏論 その第2歩：行列の圏 また、「これならいじれるぞ、2-圏の簡単な例」の最後には、その他の参考エントリーもまとめてあります。NNMatの圏としての構造、ホムセットNNMat(n, m)、単位行列In、行列Aに対する width(A), height(A)、B・A、A;B などの記法に関しては、いま挙げた記事群を参照してください。以下で「行列」と言えば、それ…

…ります。この骨格は、行列の圏MatKと同型です。したがって、VectKの代わりにMatKを調べればたいていはOKということになります。VectKの理論であるK-線形代数がK-行列の話でだいたい済んでしまうのはこの事情です。でも、骨格はやはり骨格で肉が付いてないので、もとの圏を完全に置き換えるものではありません。例えば、MatKしか考えないと、基底（枠）とか基底の変換なんて出てきませんからね。[追記]「MatKしか考えないと、基底（枠）とか基底の変換なんて出てきませんからね。」…

…かで、ハランの方法は行列の圏を使う比較的に分かりやすい方法です（圏論知っていれば）。ハランはF1という代数系を直接定義することはやめて、足し算なしの線形代数を行列計算を使って導入しています。ハランが定義した行列の圏はFという名前を持ちます。行列のインデックスは自然数（番号）に限らず、任意の有限集合の要素を使えます。つまり、Fの対象の集合Obj(F) = |F|は、有限集合の集まりです。X, Y∈|F| に対してホムセットF(X, Y)を、FY,X（XとYの順序に注意）とも書き…

…みます。内容： 非負行列の圏 非負行列の順序 ホム圏と横結合 2-圏の法則 参考エントリー 非負行列の圏ゼロまたは正の数を非負の数といいます。整数でも実数でも、非負ならなんでもいいです。成分がすべて非負の数からなる行列を、ここでは非負行列と呼ぶことにします。非負行列を掛け算しても非負行列です。単位行列は非負行列です。よって、非負行列の全体は圏となります。行列の圏の部分圏です。この圏をNNMat（NonNegative Matrix）と呼ぶことにすると： |NNMat| = O…

…ール代数を係数とする行列の圏と同型になります -- この事実は説明したいけど、そこから行列の圏へと入り込むのは止めておきます。当初僕は、リストモナドを例にモナドを導入しようと思っていたのですが、MapFO, PMapFO, RelFO を前提とするなら、単純エラー（例外）モナド（Maybeモナドと同じものです）と有限パワーセットモナド（関手としては共変のほう）を題材とするのが繋がりがスムーズでしょう。パワーセットモナドはコレクションモナドの一種なので、まーリストモナドの代わり…

…密モノイド圏 実例：行列の圏 実例：非負の実数 実例：釘にラベルが付いたブレイド図の圏 ほんとに面白いのは モナドはモノイドだ -- 言ってるだけ実は、「モナドはモノイドだ」ということは、アッチコッチで断片的に述べてます。「無理して(圏論的)モナドをJavaで説明してみる」の「モナドの効用」のところで、 モナド結合律とモナド単位律が、通常の（例えば整数の掛け算の）結合律・単位律とほんとに同類であることを納得するには、相当に抽象的な定式化が必要です。 「圏、関手、モナドはどうし…

…の圏論 その第2歩：行列の圏」参照）から集合圏Setへ、次に関手を考えます。 対象nに対して、集合Rnを対応させる。 行列A:n→mに対して、行列が定義する線形写像を対応させる。 この関手はMat→Setの埋め込みとなっており、行列を線形写像と同一視する根拠を与えています。埋め込み関手は、対象パートが単射である忠実関手ですが、さらに充満関手でもあるとき、充満埋め込み関手（full embedding functor）と呼びます。F:C→Dが充満埋め込みなら、Fの像であるDの部…

…は文字、射は文字列 行列の圏： 対象は非負整数、射は行列 圏としてのモノイド： 対象は何でもいい（ひとつの）モノ、射はモノイドの要素 やせた圏＝圏としてのプレ順序集合： 対象はプレ順序集合の要素、射はプレ順序関係 変換キューの圏： 対象はデータ型、射はプログラム ブレイド図の圏： 対象は有限個の点（釘）、射は曲線（紐）のたば こういう圏達を、集合と写像で表現する（具象圏への忠実関手を構成する）ことはとても大事ですが、最初から集合と写像として与えられているなら、表現もあまり面白…

…めました。その後も、行列の圏、圏としてのモノイド、やせた圏（プレ順序集合）、とてもやせた圏（順序集合）、変換キュー（バッファ付きフィルター）など、具体的に手で触れるような素材を選んできました。これには、それなりの意図と理由があります。従来、圏の事例というと、集合と写像の圏、位相空間と連続写像の圏、アーベル群と加法的（線形）写像の圏などが引き合いに出されていました。これらの例を僕は個人的に“重い圏”と呼んでいます。“重い”理由は： 予備知識がないと事例を理解できない。つまり、ヘ…

…番多いと思いますが、行列の圏では A:n→m と大文字／小文字の使い方が逆でした。僕自身は、対象も射も小文字を使うことが多いです（対象も射も大文字を使うケース／人もいます）。その他、細かい“揺れ”を挙げだすとキリがありません（困った状況だけど、しょうがない）。用語／記法の差異にはとらわれないで、圏の概念そのものを把握するようにしてください。●アミダ下の図は、お馴染みのアミダクジです。アミダクジの図形を単にアミダと呼ぶことにしましょう。 アミダの縦線には、左から順に 1, 2,…

…入力と出力 第2歩：行列の圏で行列の話をしました。そのとき、「B・A」と「A;B」という2つの記法の説明をしたけど、その説明。A:n→m（n列m行）、B:m→k（m列k行）だとして： 普通のB・Aだと、まずAの上からn個の数値が同時にドカッと入力されて、左横にm個の数値がバコッと出る感じ。その後、信号（数値達）が90度方向転換してBに入り込む、と。 図式順記法だと、「上から入って左横に出る」みたいな回りくどいことはしないで、素直に左から右に信号（数値達）が流れていく感じ。 離…

…なる“お遊び”だし、行列の圏Matは所詮（高校の）“数学”だし、やっぱり現実離れしているじゃん -- と思ってます？ そうでもないのよね。多くの物理現象／計算現象、電気回路のような工学的な対象までも圏で定式化できるんですよ。例えば、量子テレポーテーション／エンタングルメントの、コンパクト閉圏を使った計算（「幼稚園児のための量子力学とその周辺」参照）はその良い例でしょう（つっても、僕は物理がサッパリわからんのだけどさ）。それでまー、第三の例として今回はソフトウェア的なネタを出そ…

…を含みます。例えば、行列の圏Matを考えて、({2}, Mat(2, 2), dom, cod, id, ;)を考えると、{2}⊆N、Mat(2, 2)⊆Mat であり、dom, cod, id, ; は、{2}とMat(2, 2)の範囲内でうまいこと働きます。つまり、2行2列の行列達は、あらゆる行列からなる圏Matの部分圏をなすわけね。極端な部分圏達しりとりの圏に固有名詞を付けてなかったので、以下、しりとりの圏をHShiri（Hiragana Shiritori; また劣情…

…とするモノイドです。行列の圏なら、Mat(1, 1), Mat(2, 2), Mat(3, 3)などが、“行列の掛け算”と“各サイズごとの単位行列”に関してモノイドになっています。射が少ないやせた圏離散圏は射が最小限しかなくて、いわば「射の砂漠」状態。では、離散圏よりはましだが、射が少ない圏として、次の条件を満たす圏Tを考えましょう。 どんな対象a, bに対しても、ホムセットT(a, b)はたかだか1個しか射を持たない。 「射がたかだか1個」とは、言い換えると次のことです。 …

…内容： 行列の復習 行列の圏 圏の名前付けとか記号とか ホムセットと矢印記法 図式順記法と反図式順記法 全体目次 行列の復習行列は、数を四角形に並べたモノです。ここで、「数」は実数だとしておきます。横の並びが行で、縦の並びが列です。このことを忘れてしまう人は次の図を見れば二度と忘れないでしょう*1。 行列のサイズ（行の数と列の数）は非常に重要です。よく「2×3行列」とか「2-3行列」とか書きますが、ここではより明白に「2行3列の行列」、あるいは「3列2行の行列」のように表現し…

…ントリー） 第2歩：行列の圏 第3歩：極端な圏達 第4歩：部分圏 第5歩：変換キューの圏 第6歩：有限変換キューと半圏 第7歩：アミダの圏 第8歩：順序集合の埋め込み表現 第9歩：基本に戻って、圏論感覚を養うハナシとか 付録／番外など： 中間付録A：絵を描いてみた 番外：同期／非同期の結合 中間付録B：アミダとブレイド 番外：米田の補題に向けてのオシャベリ 一部のプログラミング言語の背景として、圏論（カテゴリー論）が使われたりするせいか、以前に比べれば多少は圏論に興味を持つ人…