…法」で述べたように、ストリング図／ストライプ図のよる計算を、2次元的テキスト表示で（かなり苦しいのだけど）なんとか伝えようと思います。計算はモノイド圏 のなかで行います。等式の左辺 は、 のなかで次のように表示できます。これは、 の定義を使って展開しています。縦方向の繋ぎ目部分を短縮します。書き方を短くしているだけ。ひとつの行列にまとめます。ここまでは、テキスト表示の書き方・レイアウトを変えているだけで何も行ってません。 の自然性から、 を“上に移動”します。 が“下に移動”…

…プ図を知っていれば思い出すキッカケにはなるでしょう。 反ラックス・モノイド関手の余乗法と対称との強調 が特定の対象 を左から掛ける関手のときは、この等式は次のストリング図で描けます（「準マルコフ圏の掛け算関手」参照）。比較的素直なストライプ図なら、ギリ再現できる感じですね。 *1:homotopy.io（globularの後継）、quantomatic、CATEGRAPHER、DisCoPy などの証明支援系は描画機能を備えてますが、描画用には効率的でもお手軽でもありません。

…、 の定義を展開してストリング図を眺めれば割と明らかでしょう。反ラックス・モノイド性： 準備前節で、 が自然変換であることは分かりました。しかし、単なる自然変換では2-圏 の2-射にはなりません。自然変換が反ラックス・モノイド性を持つ必要があります。自然変換が反ラックス・モノイド自然変換であるとは、反ラックス・モノイド関手が持つ余乗法・余単位と協調することです。ここで、「余乗法・余単位」が2つの意味で出てきて混乱しそうなので整理しておきます。 反ラックス・モノイド関手 の余乗…

…ciator〉です。ストリング図を描いてみることをおすすめします。次に余単位 は以下のような射達の結合です。 の自然性は次の形になります。反ラックス・モノイド関手の余乗法と余単位が満たすべき代数法則を可換図式で書くと以下の形です。ストライプ図のあいだの等式で描くと分かりやすいでしょう。余結合律：左余単位律：右余単位律： の場合は次のようになります。余結合律：左余単位律：右余単位律：先に具体的に定義した に関する を使って、これらの等式を示すことになります。テキストの式や可換図…

…ので…この記事の話はストリング図／ストライプ図で記述し考えるのが便利です。つうか、ストリング図／ストライプ図なしで理解するのはすごく辛いと思います。だがしかし、僕がストリング図／ストライプ図を描く気力がないので、MathJax で容易に書けるテキスト数式で記述します。毎度愚痴っていることですが、ストリング図／ストライプ図を手軽に描けるツール／環境がないのがホーントに困ってる。ハァー（ため息）。ストリング図／ストライプ図を含む絵図の描き方については、以下の過去記事を参照してくだ…

…、コンピュータッド、ストリング図 圏の種別としてのドクトリンドクトリン〈2-セオリー〉が必要な場合、難しい議論は無しにして、「圏」という言葉の前に付く形容詞がドクトリンだと考えればだいたい大丈夫です。「ナントカ圏」のナントカにはどんなものがあったでしょうか。ナントカ部分をブラケットで囲んで強調するとして： [モノイド]圏 [厳密モノイド]圏 [対称モノイド]圏 [コンパクト閉]圏 [マルコフ]圏 [デカルト]圏 これらのナントカ部分を、英字大文字からはじまり英字小文字で終わる…

…：ペースティング図とストリング図 グラフィック表現と図面 2-図面と2-コンピュータッド 2-図面と2-指標 2-図面のテキスト記述 おわりに バタニンの例：ペースティング図とストリング図次のバタニンの論文は、コンピュータッドについて記述されている資料のひとつです。 Title: Computads for Finitary Monads on Globular Sets Author: M.A. Batanin Date: 1998 Pages: 21p URL: http…

…、コンピュータッド、ストリング図 圏論的ドクトリンの安直な導入 グラフと圏の自由忘却随伴グラフには無向グラフと有向グラフがあります*1が、ここでは有向グラフしか考えないので、グラフと言えば有向グラフです。グラフを、4つ組 で表します。ここで： は、辺の集合。 は、頂点の集合。 は、辺に始点を対応させる写像。 は、辺に終点を対応させる写像。 グラフとグラフ準同型写像からなる圏を とします。小さい圏とそのあいだの関手からなる圏を とします。“圏の圏”は、自然変換まで入れて2-圏と…

…見ていたら、さかんにストリング図に言及しておきながら図が描いてなかったので、僕はちょっとガッカリしました。ストリング図を描くのはけっこうな労力なのはよく分かるのですが、それだけ色々言っているなら絵も描けよー。（ちなみに、下のほうに描いてあるのはケリー／マックレーン・グラフ〈Kelly-Mac Lane graph〉で、関係はありますがストリング図とは別物です。）実際にストリング図について語っている文言は： One intuitive approach to them is t…

…ちゃんと抑えよう： お絵描き完全解説 // 対象と射の格上げ」参照。 *6:描画法のバラエティは「絵算（ストリング図）における池袋駅問題の真相」参照。 *7:同様な描画法はクライスリ射の描画にも使います。 *8:オプティックの状況では、Gは圏論的作用（双関手）をカリー化した関手です。 *9:「モノイド関手／ラックス・モノイド関手とその実例 // マッカーディのストライプ図」参照。ストライプ図を使った実例は「モノイド圏と加群圏に関するフォークロアとマックレーン五角形・三角形」。

…ます。この記事では、ストリング図で記述されているマルコフ射（マルコフ圏の射）を、テキスト式に翻訳して計算する手順とコツを述べます。ここでのコツとは、「変数に名前を付けないで番号で済ませる」という（割とくだらない）方法です。内容： マルコフ圏とその多圏 マルコフ・テンソル 例題： 同時化 総和の計算規則 変数に名前を付けない 例題： 周辺化 まとめ マルコフ圏とその多圏マルコフ圏についてはここでは説明しません。「マルコフ圏 A First Look -- 圏論的確率論の最良の定…

…ロー図＋随伴記号： ストリング図（のつもり）: 典型的事例は、F:C → D in CAT が自由生成関手、G:D → C in CAT が忘却関手のときです。モナド T/C が、随伴系 (F -| G, η, ε)/(C, D) から得られるとき、逆に考えて、モナド T/C は随伴系 (F -| G, η, ε)/(C, D) に分解される、あるいは随伴系への分解〈adjunction resolution〉であると呼びます。モナド T/C を固定したとき、Tの随伴系への分…

…て描いておきます。（ストリング図を図式順記法で写し取ったものです。）ジリィ・モナドの Giry(X)∈|Meas| for X∈|Meas| は、可測空間X上のすべての確率測度の集合に可測構造を入れたものです。確率測度の代わりに有限測度にしたものを QGiry(X)∈|Meas| for X∈|Meas| とします。ジリィ・モナドと同様な構成法で、QGiry:Meas → Meas in CAT を台関手とするモナド (QGiry, ν, δ)/Meas が作れます（記号 '…

…的には自然な操作で、ストリング図で分かりやすく表現できます。モノイド圏Cが半デカルト圏で、対称射 σA,B:A$`\otimes`$B → B$`\otimes`$A in C と終射 !A:A → 1 in C を備えているとします。このとき、余複圏Mの余複射に対して置換〈permutation〉と選出〈selection〉という操作を定義できます。ψ:{1, ..., n} → {1, ..., n} in Set が全単射〈双射〉のとき、ψを置換といいます。ψが置換のと…

…クで見栄えが良くないストリング図は、「カリー／ハワード対応のための記法・図法」で述べた方法で描いています。カクカクが気になるかたは、手描きか頭のなかでなめらかに補正してください。説明不十分な記事ですが、とりあえず投稿した理由はこのリンクが参照している過去記事の冒頭と同じ意図です。内容： 述語論理のモデル ベック／シュバレー条件 述語論理のモデル述語論理の（構文ではなくて）モデルについて説明します。古典的真偽値の集合を B = {0, 1} とします。0は偽で、1は真を表します…

…はもっと具体的です。ストリング図をたくさん描いて、行列・テンソルの計算をたくさんしましょう、といったことになると思います。1月30日(土曜)18時が第1回で、原則2週間おき1回2時間半、全10回です。告知とより詳し予定などを述べるために第0回（無料）を1月16日(土曜)18時にZoomで行います。Zoom URLなどのお知らせは、このブログやロマ数サイト http://romanticmathnight.org/でも行いますが、Twitterのフォローが確実で手っ取り早いと思…

…Jaxで描く 貧相なストリング図 ワイヤーは矢印付き 曲線の代わりに折れ線 ループの中間部分を省略する 入れ子は使えない 変数無しスタイルと変数使用スタイル ストリング図のススメ 関連する記事： 確率論のカリー／ハワード／ランベック対応 ラムダ計算と論理冒頭で触れた「単純型付きラムダ計算 ←→ 連言含意論理」という同型対応を念頭に話をします。ラムダ計算と論理は、まったく異なる言語・文化を持ちます。概念的には同一なものを異なる名前で呼び、概念的に同一なことを違う記法で表現します…

…などに関わる法則は、ストリング図等式や可換図式で表現されます。ストリング図ノードや図式矢印が行列計算や積分計算を含む複雑なものになることもあります。それらの関数をテキストに写し取るとき間違いを犯すことはよくあります。絵図と親和性が高くて視認性が良いテキスト記法を採用すれば、間違いを減らせます。ブロックラムダ記法は、この目的で使えると思います。 *1:キーワードの競合を避けるために、given x∈X とすることも考えられますが、語感としては for が自然な気がします。 *2…

…記事にあります。 対称モノイド多圏（簡約版） 我々に馴染みの集合圏（モノイド積は直積）に対しても、対応する複圏 MultiSet、多圏 PolySet を作れます。ほとんど使われないのは、得られるメリットと煩雑さの代償を天秤にかけて、あまり嬉しくないからです。メリットが大きいときは、圏だけではなくて複圏／多圏も使うと話がスムーズに進みます。特に、モノイド圏を多圏化するとストリング図との相性がより高まります。 *1:圏論では、直和ではなくて双積〈biproduct〉と呼びます。

…う。これを例として、ストリング図からテンソルの計算式に翻訳するやり方を説明します。まず、一時的にですが、実数（[0, 1]区間内の実数）の掛け算の記号として '' と '' の2つの演算子記号を使うことにします。それは、実数の掛け算が何の意味だったかを表すためです。モノイド積〈テンソル積〉由来の掛け算なら ''、結合由来の掛け算なら '' を使うことにします。例えば、idAh の成分表示なら、 のように '' で掛け算を書きます。一方、p;w = wp の成分表示なら、 とし…

…と、圏論で使用されるストリング図を相互に（ある程度は）翻訳したい、という要求が動機です。確率グラフィカルモデルに出てくるグラフとしては、無向・有向の因子グラフを選び、それと（だいたい）対応するストリング図のクラス（ここでのクラス＝図の集合）としてアレンジメント図／二部アレンジメント図のクラスを設定したのです。単一のアレンジメントは、因子ノードを一つだけ持つ境界付き無向因子グラフに翻訳されます。以下のようです。図内で、因子ノードに接続する辺のうちの1本の根本に赤いマーク（バッテ…

…、スパイダー射を表すストリング図をスパイダー図〈spider diagram〉と呼びます。ひとつのスパイダー射を表すスパイダー図は一般にはたくさんあります。逆向き「スパイダー図 → スパイダー射」の方向の対応ならば一意に決まります。スパイダー射をスパイダー図で表すのは分かりやすくて良いのですが、毎回絵を描くのはめんどうです。スパイダー射を、非常に効率的にテキスト表示する方法があります。その表示には番号列を使います。Seq(n) := List({1, ..., n}) と定義…

…ックス化今、目の前にストリング図があるとしましょう。そのストリング図の一部分、つまり部分ストリング図〈subdiagram〉を“ひとまとまり”にしたいとき、当該の部分ストリング図を境界線で囲めばいいでしょう。こうやって識別した部分ストリング図をクラスター〈cluster〉と呼びます。クラスターはGraphvizで使っている用語です。このご時世（つまり、新型コロナウィルス禍のなか）、「クラスター」には悪い印象が付着してしまいましたが、「何かが集まったかたまり」というだけです。一…

…内容： 因子グラフ、ストリング図へのラベリング アレンジメント、その直感的な導入 マルコフ行列 マルコフテンソル マルコフテンソルのプロファイル アレンジメントの組み立て方 今回のセッティング シリーズ第1回 兼 リンクハブ： アレンジメント計算 1： 確率グラフィカルモデル 因子グラフ、ストリング図へのラベリング因子グラフの因子ノード／変数ノード、ストリング図のノード／ワイヤーにラベルを付ける際に重要な注意事項があります。それをこの節で述べます。実数の足し算を、関数 add…

…す。圏論で常用されるストリング図のほうが使い勝手がいいですね（もちろん、僕の圏論バイアスが含まれる意見ですが）。既存の図法はストリング図で置き換えてしまっていいと思います（同じくバイアス付き意見）。とはいえ、既存の図法とストリング図の相互翻訳は必要でしょう。既存の図法が何種類もあるので、翻訳の構成は大変です*1。 色々な既存の図法 ←(めんどう)→ ストリング図 色々な図法からひとつだけ選んでみます。ストリング図との相性から言うと、因子グラフ（「ストリング図と因子グラフ」参照…

…モノイド閉圏におけるストリング図の描き方が説明されています。このテの絵はもう珍しくはないのですが、「おおっ」と思ったことがあります。サムソン・アブラムスキー／ボブ・クック率いるオックスフォード量子組〈Oxford Quantum Group〉の描画方向は ↑→ です。射の方向は下から上に描くのです（「絵算（ストリング図）における池袋駅問題の真相」参照）。ところがなんと、上記の論文内では上から下の方向が採用されています。珍しい！それが嬉しくって（なぜ嬉しいかは後述）、第7節のス…

…に比べて扱いやすく、ストリング図との対応もより直接的になります。カップリング計算の計算デバイスを組み立てる目的では、対称モノイド多圏を最初から準備して、その上にカップル化コンビネータ、反カップル化コンビネータを与えるほうがよさそうです。おわりに急ぎ足でカップル化可能圏の説明をしました。公理的定義は思い付いたばかりなので、不足や冗長性があるかも知れません。公理の妥当性を確認するには、具体例、特に「確率グラフィカルモデルの背後にある圏は何か？ // 見通し」の (1/D)/=a.…

…点〈ドット〉を含めたストリング図は同じものですから、ストリング図で考えてもかまいません。上の箇条書きで列挙した射は黒丸で描く約束になり、黒丸とワイヤーだけで構成されるストリング図に対応する射がスパイダー射となります。ダンジョン圏は再配置可能な圏になります。この事実は、有向ストリング図（通常のストリング図）と無向ストリング図を行き来するときに使われます。無向ストリング図に特定の向きを付けて議論しても、再配置オペレーターを施しても議論が変わらないなら、向き付に依存しない議論になり…

…クの有向グラフは圏のストリング図と解釈できます。フォングはクセのあるストリング図を使っていますが、独特なストリング図を使った理由は「因果セオリー論の語法・記法・図法（修正案付き）」で説明しました。無向グラフを使うグラフィカルモデルの圏論的定式化はどうでしょうか？ 無向グラフはそのままではストリング図とみなせません。向きを付ける必要があります。逆に、向きが付いているストリング図から無向グラフを得るには、向きを取り去ります。グラフに向きを付けたり取り去ったりが自由に出来るためには…

…T 等式＝3-射は、ストリング図の変形として表現されます。モナド法則（結合律と2つの単位律）がどのような変形かは後で出てくるので、絵は省略します。拡張スタイルのモナドの定義拡張スタイルのモナドを (T, η, (-)#)/C とします。Cは圏ですが、Tは関手ではないし、ηの自然性も仮定せず、(-)# は関手でも自然変換でもないオペレーターです。(-)# をExtとも書くことにします。T, η, Ext は、次のような形で定義します。 For A∈|C|, T(A) in C …