…成できます。例えば、トレース付きモノイド圏〈traced monoidal category〉のための計算系を構成できます。そのとき、ループ辺縮減がトレース〈trace〉を、非ループ辺縮減が結合〈composition〉を、頂点マージがモノイド積〈monoidal product〉を実現します。 [BM06-11] Title: Generalized operads and their inner cohomomorphisms Authors: D. Borisov, Y…

…また、テンソル計算やトレース付きモノイド圏のストリング図における縮約は、外部辺の架橋〈bridging〉（または架橋した後で縮減）に対応します。架橋と縮減は別な操作です。といった事情で、半グラフに対して「縮約〈contraction〉」は使いません。切断、架橋、実縮減、仮想縮減を組み合わせた半グラフの変形操作を半グラフ変形〈semi-graph deformation〉と呼びます。半グラフ二重圏のプロ射は半グラフ変形です。以下に、半グラフ変形の例を挙げます。上の図の半グラフ変…

…言えば、モノイド圏やトレース付きモノイド圏の射のことです。幾つかのインデックス〈添字〉が付いた配列みたいなモノと思ってもいいです。絵に描くと、脚〈legs〉が出た“テンソルボックス”達をワイヤーで繋いだ図形になります。脚がたくさんあったり、複雑なワイヤリングをすることもあります。テンソルの計算法則の絵をまとめたものがないかと探したら、意外に見つからない。なので、手描きで描いてみました。トレース（ワイヤーをループ状にする操作）は含まれていませんが、他の演算と法則は絵にしています…

…ック付きモノイド圏 トレース付きモノイド圏 部分トレース付きモノイド圏 コンパクト閉圏 $`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\twoto}{\Rightarrow } \newcommand{\In}{\text{ in } } \newcommand{\Imp}{ \Rightarrow } \newcommand{\Iff}{\Leftrigh…

…圏、コンパクト閉圏、トレース付きモノイド圏などのあいだの親族的関連性を調べたい、という動機から資料を探しているうちに、二重圏を使う手法に出会いました。そのことを前の記事に書きました。 グリッド計算とコーナリング、そして二重圏 モノイド圏を調べるために、単一対象二重圏に埋め込んでみる、というのは良い方法だと感じました。各種モノイド圏のあいだの親族的関連性も見えやすくなります。モノイド圏を埋め込む先の二重圏は、コーナーと呼ばれる特別な2-射の族を持っています。コーナー（の族）を備…

…圏、コンパクト閉圏、トレース付きモノイド圏などのあいだの親族的関連性に興味を持っています。なんか資料がないかな、と探していたら次の論文を見つけました。 Title: Cornering Optics Authors: Guillaume Boisseau, Chad Nester, Mario Roman Submitted: 2 May 2022 Pages: 14p URL: https://arxiv.org/abs/2205.00842 コレ、おもしろーい。実用上も役…

…圏、コンパクト閉圏、トレース付きモノイド圏のあいだには親族的関連性があるようです。テレオロジー圏の（親族内での）位置付けはまだハッキリしませんが、コンパクト閉圏とトレース付きモノイド圏のあいだの関連性はよく知られています。コンパクト閉圏は標準的にトレース付きモノイド圏です。トレース付きモノイド圏が与えられたとき、そのトレース付きモノイド圏からコンパクト閉圏を作る処方箋があります。それがInt構成（GoI構成ともいう）です。テレオロジー圏を含めた親族構造を探る準備として、Int…

…$ の間違いです。 トレース付きモノイド圏に倣って、4つの法則を次のように呼びます。 バニシング〈Vanishing〉 バンドリング〈Bundling〉 タイトニング〈Tightening〉 スライディング〈Sliding〉 左作用の拡張左作用 $`(\lact)`$ を $`\cat{C}\times \cat{C}^\op`$ に拡張します。拡張した左作用の中置演算子記号は '$`\odot`$' とします。$`\quad (\odot) = (- \odot [-, -…

…： テレオロジー圏 トレース付きモノイド圏の法則 両側テレオロジー圏 プレオートマトン ミーリ－型とムーア型： 言い訳 履歴付きプレオートマトン 事後ミーリ－型からムーア型へ テレオロジー圏テレオロジー圏〈teleological category〉については、次の過去記事で述べています。 圏論的レンズ 4： テレオロジー圏 テレオロジー圏はヘッジーズ〈Jules Hedges〉*1によって導入されましたが、ここではロマン〈Mario Roman〉の定義を採用します。レンズや…

…ド／長谷川の定理」 トレース付き対称モノイド圏とはこんなモノ アフィン型不動点方程式圏 $`\cat{C}`$ の対象 $`X`$ は、順序だけでなくて足し算も備えているとします。つまり $`\quad (+):X\times X \to X \In \cat{C}\\ \quad 0:{\bf 1}\to X \In \cat{C}`$ があり、可換モノイドになっているとします。この状況で、パラメータ付き不動点方程式の $`g`$ を次のように置くことができます。$`\qu…

…する射が存在します。トレース付きモノイド圏なら曲がりは仮想スパイダーです。この図のラベルをよく見てください。ワイヤーにはラベルが付いてません。ワイヤーが四角形（キャンバス境界と穴の境界）を通過する場所にラベルが付いています。スピヴァック達は、キャンバス境界や穴の境界のような四角形をボックス〈box〉と呼んでいます。ボックスには、ワイヤーの通過点もマークされます。ワイヤーの通過点をポート〈port〉と呼びます。先のストリング図（ワイヤリング図）では、ポートにラベルが付いていたの…

…せん。モノイド閉圏やトレース付きモノイド圏の定義では、スパイダー（特別な射）を使うのではなくて、オペレーターの振る舞いを公理化します。一般的トレース付きモノイド圏の場合、コンパクト閉圏の場合とは違って、曲がったワイヤーに相当するスパイダー（特別な射）は存在しません（正確に言えば、存在を仮定していません）。しかし、ストリング図を描くときは曲がったワイヤーを描いています。その例は例えば以下の過去記事を眺めてください。 トレース付きモノイド圏の新しい定義 デカルト閉圏の場合でも、僕…

…・スタイルのモナド トレース付き対称モノイド圏とはこんなモノ マルコフ圏におけるベイズの反転定理 コンピュータ科学や組み合わせ論を“微分幾何”とみなす：CADGの夢 コンストラクタのプロファイル記述プロファイルとは域と余域の情報です。関手や自然変換のプロファイルは次のように書きます。$` \quad F:\cat{C} \to \cat{D} \In {\bf CAT}\\ \quad G:\cat{C} \to \cat{D} \In {\bf CAT}\\ \quad \…

…んな圏ならいいのか トレース付きデカルト圏 実用上必要そうな型プログラミング言語でサポートされているのが望ましい型には、次のものがあるのでしょう。 幾つかの組み込み型 直積型 関数型 シグマ型 パイ型 再帰的型 組み込み型については特に議論する気はありません。整数型、ブール型、実数型（浮動小数点数型）など、目的・用途に応じて決めればいいですね。直積型の圏論的な対応物はデカルト構造で、関数型の圏論的な対応物はデカルト閉構造です。したがって、デカルト閉圏をモデル〈意味論的世界〉に…

…の反転定理」参照）やトレース付き圏のトレース・オペレーター（「トレース付き対称モノイド圏とはこんなモノ」参照）は、そのような具体的な表示を持ちません。転置行列の構成 が行列とします。行列は、プロファイルが単元リスト（長さ1のリスト）で与えられるようなテンソルと同一視します。つまり：ワイヤーベンディング・オペレーター と をこの順で適用すると転置になる（はず）ですが、それは次のように描けます。テキストで書くなら： を絵に描けば以下のようです。全体が で、濃いオレンジ色の枠で囲ま…

…い回しは、ヨーロッパの型理論のコミュニティで使われているようです。 *4:単元集合なら何でもいいのですが、1 = {0} という定義のほうが多いかも。 *5:経験分布と呼ばれるものです。有限個の点以外での値は0で、比率である値（凸結合の係数）は有理数です。 *6:ストリング図でワイヤーを曲げる操作は色々な場面で登場します。デカルト閉圏におけるカリー化／反カリー化、トレース付き圏のトレース、コンパクト閉圏の単位・余単位など。そして、ワイヤー曲げが重要なオペレーションとなります。

…算）やトレース計算（トレース付き圏の計算）にならって、コンビネータ〈オペレーター〉を使って定義してみました。これはうまくいくようです。構造の中核となるコンビネータは「カップル化コンビネータ」と名付けました。カップル化コンビネータを備えた圏がカップル化可能圏です。カップル化可能圏は、自己双対コンパクト圏やハイパーグラフ圏より弱い〈一般的〉概念です。カップル化可能圏が、実は、よく知られた圏の別定義だったという可能性はあります。そうであったとしても、カップル化コンビネータを使った定…

… 2005年より前、トレース付きモノイド圏〈traced monoidal category〉やコンパクト閉圏〈compact closed category〉をベースに考えていた内容の一部は、キマイラ・サイトに残骸が残ってます*12が、僕も、その頃のことはあんまり憶えてません。ただ、このブログ内（2005年以降）でも、トレース付きモノイド圏やコンパクト閉圏の話はけっこうしています。ソフトウェアによる何らかの処理があるとき、その抽象モデルとして、トレース付きモノイド圏／コンパ…

…性を表す言葉です（「トレース付き対称モノイド圏とはこんなモノ」参照）。簡略なラムダ式で表すなら： λa.f(v(x'), a) = (λa.f(x, a))[v(x')/x] ここで、[v(x')/x] は、変数xにv(x')を代入するオペレーターです。 カーブに沿ったスライディング 絵だと、ノードpを曲がったワイヤーに沿って滑らしているのでカーブに沿ったスライディング〈curved sliding〉と呼びます。移動後のpは指数の内部に入ります。簡略なラムダ式で表すなら： λ…

…*の不動点等式です。 (ab)* = 1 + a(ba)*b 大雑把に言えば、クリーネ流はアフィン不動点の不等式的な性質に注目し、コンウェイ流は等式的な性質に注目しています。この流儀の違いはどうも後々まで影響しそうで、「不等式でも等式でも同じ」とは言いにくいのです。トレース付きデカルト圏のような不動点理論の圏論的な定式化は、等式的なので、クリーネ代数よりコンウェイ半環の圏化（亜化）と言えそうです。クリーネ代数の圏化では、順序／不等式を、どのように表現するかが鍵となるでしょう。

…たのかも知れません。トレース付きデカルト圏は、クリーネ代数の圏化と捉えることができます。クリーネ代数より強力で使いやすいです。で、それで「めでたし、めでたし」なのかと言うと、そうでもないのです。クリーネ代数の圏化がトレース付きデカルト圏だけでよいのか？ どうもそうじゃない。クリーネ代数の特徴的機能であるクリーネスターに関しては、大規模な一般化ができそうな気配があります。 圏のクリーネスター構成 -- エフイチに触発されて 圏のクリーネスター構成 もっと -- エフイチに触発さ…

…しては、「より強力なトレース付きデカルト圏に乗り換えればいい」と思っていました。このような印象や対処は、間違っているとは思いませんが、別な見方がありそうです。別な見方とは、マイクロコスモ原理の観点からの解釈です。マイクロコスモ原理は、次のように主張します。（例えば「マイクロコスモ原理の恐怖」参照） 特定の代数構造は、その代数構造を圏化した構造を備える圏のなかで定義可能である。 クリーネ代数も代数構造なので、次のように言えます。 クリーネ代数は、クリーネ代数を圏化した構造を備え…

…列代数を使った定義、トレース付きモノイド圏を使った定義などもあります。正規表現（とオートマトン）の基本的なことは次の記事にあります。 この機会にマスターしようぜ、正規表現、構文図、オートマトン ポンプの補題 再度ポンプの補題〈pumping lemma〉は、正規言語の性質を述べているものです。ただし、有限な正規言語（有限言語はすべて正規言語）では成立しませんたいして意味を持ちません。正規言語Lが集合として無限集合のときだけポンプの補題が成立しますを考えることにします。[追記]…

…category） トレース付きブレイド付きモノイド圏（traced braided monoidal category） トレース付き対称モノイド圏（traced symmetric monoidal category） バランス（ひねり）付きモノイド圏（blanced monoidal category） 自律圏（autonomous category） 旋回圏（pivotal category） コンパクト閉圏（compact closed category） リボン圏…

…ことはできません。 トレース付き対称モノイド圏とはこんなモノ 絵算で見る「カザネスク／ステファネスク／ハイランド／長谷川の定理」 トレース付きモノイド圏の新しい定義 こんな簡単なトレース付きモノイド圏があったなんて トレースのタイトニングが自然変換であること 不動点理論と対角自然性（dinaturality） 不動点の対角自然性（dinaturality）はやっぱり五角形可換らしい CADGの微分オペレータ（微分コンビネータ）については、いずれまた述べる機会があるでしょう。モ…

…るセマンティクスは、トレース付きモノイド圏やデカルト閉圏なので、素直に「ストリング図」と呼んでおけばいいじゃないか、という意見は「そりゃそうだ」と思います。こころ穏やかに図式の話をするために、呼び名を変えるのは現実的な対処法でしょう。でもね、「平凡で標準的なイメージだと思う」に書いたとおり、描画のお作法を除けば、いわゆるフローチャートとストリング図に差はないですよ。内実が同じモノの呼び名を変えただけで批難の対象になってしまう、という状況が、すっげー苦々しいわけ。呼び名「フロー…

…論を整備しています。トレース付きモノイド圏（traced monoidal category）としては、90年代にハイランド、長谷川などが不動点理論を完成させています（「トレース付き対称モノイド圏とはこんなモノ」、「絵算で見る「カザネスク／ステファネスク／ハイランド／長谷川の定理」」参照）。「フローチャートを復権させよう -- 2020年代のプログラミングへ」より： 1990年代以降、トレース付きモノイド圏／前モノイド圏の計算科学への応用は長足の進歩をしました。いまや、フロー…

…]）ストリング図は、トレース付きモノイド圏、コンパクト閉圏、デカルト閉圏などの計算でよく使われますが、ここでは「圏、関手、自然変換」の計算にストリング図を使う場合を扱います。「圏、関手、自然変換」をセルと呼び、それぞれ、0次元セル、1次元セル、2次元セルといいます。n次元（n = 0, 1, 2）セルを絵に描くときは、(2 - n)次元の図形を使います。n←→(2 - n) の対応はポアンカレ双対と呼ばれます。 セル セルの次元 双対次元 図示すると 圏 0 2 面、領域、エ…

…数では表せない現象 トレース付きデカルト圏とデカルト半加法圏 並列実行と同期通信 条件付き実行はどこに行った？ 時分割実行と待ち合わせ クリーネ代数は足りないけど素晴らしい プログラムの代数としてのクリーネ代数クリーネ代数が素晴らしいのは、プログラムの代数的取り扱いを可能としたことです。プログラムの組み合わせや制御方法には次のものがあります。 順次実行 選択的実行 繰り返し実行 条件付き実行 クリーネ代数による定式化では、これらの実行制御を代数演算で表します。 プログラム ク…

…, μA) に対してトレース付きの可換環を対応させるだけでなく、トレース付き可換環を最初に与えて、そこから通常の確率空間を構成することが主眼です。そこまで抽象化しないまでも、確率空間には「確率変数の代数」が付随するという発想はけっこう使われているのでしょう。L(A)の要素としての確率変数は、系の観測量（observable）とか座標に近いものです。この意味の確率変数は足したり掛けたり平均したりすることができます。 確率変数の意味その3： 適当な条件を満たす実数値可測関数であり…